九年级同步第2讲：三角形一边的平行线(一)-教师版

1、10， DE/BC， BD 6，求 CE .【例1】如图，在 ABC中，AB 15, AC【难度】【答案】4.【解析】BD CE，代入可得：CE=4.AB AC【总结】考查三角形一边平行线的性质定理.【例2】阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下2.7米宽的亮区（如图）已知亮区一边到窗下的墙角距离 CE 8.7米，窗口 AB 1.8米，求窗口底边离地面的高BC .【难度】【答案】5.8m.【解析】射入的光线平行，则有 -AB -DB，代入可求得:AC CEAC 5.8m, BC AC AB 4m.【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到.【例3】在 ABC中，点D、

2、E分别在AB、AC的反向延长线上，DE/BC,若AD : AB 2:3 , EC 12厘米，则AC .【难度】【答案】7.2cm.【解析】由DE/BC，可得AE 匹 -，故EC 5，代入求得AC 7.2cm .AC AB 3 AC 3【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用.5 / 23【例4】如图在 ABC中，CD平分ACB,ADDE/BC, AC 5 厘米，3:5 ,求DE的长.【难度】【答案】2 cm.【解析】Q DE/BC ,AEACADAB由AC 5cm，代入可求得:AE3cm,CE 2cm .又 CD 平分 ACB, ECD DCB .ECD EDC , DE

3、CE 2cm .【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平分线一起会产生等腰三角形，同时应用三【例5】如图，已知在角形一边平行线的性质定理.ABC 中，DE/BC, EF/AB, AE 2CE , AB 6, BC 9 ,求四边形BDEF的周长.【难度】【答案】16.【解析】Q AE 2CE ,AE 2 CE 1AC 3，AC 3又 DE/BC , EF /AB ,AD AE 2 EF CE 1AB AC 3，AB AC 3四边形BDEF为平行四边形.代入可求得：DE 6, EF 2 ,C四边形 BDEF 2 DE EF =16 .【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用.【例6】如图

4、，在 ABC中，AB 10 , AC 8，点D在直线 AB上，过点D作DE/BC交直线AC与点E .如果BD 4，求AE的长. 【难度】【答案】24或56 .55【解析】(1) D在线段AB上时，AD AB BD 6,ADAE24由DE/BC ,可得：,代入可得：AE一;ABAC5(2) D在线段AB延长线上时， AD AB BD 14 ,ADAE56由DE/BC，可得：-AD芈，代入可得：AE56 ;ABAC5(3) D在线段AB反向延长线上的情况不存在.【总结】题目中的点是在直线或者射线上时，要注意仔细看题，考虑多解情况的出现.【例7】如图，在 ABC中，AB AC , AD BC于点D，

5、点F是BC中点，过点F作BC的垂线交 AB于点E , BD:DC 3:2，贝U BE: EA【难度】【解析】由 BD: DC 3: 2 , BFFC ,即得：BF FD 3，可得：BF 5BF FD 2FD 1又ADBC , EFBC ,【答案】5:1 EF/AD，BE: EA BF:FD 5:1.【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用.【例8】如图，已知 AB/CD/EF , OA 14, AC16, CE 8, BD 12,求OB、DF的长.【难度】【答案】OB 21 , DF 6 .2【解析】由AB/CD/EF ,OA OBAC BD .n代入可得:OB14 122116 2同时

6、根据比例的合比性，可得:OA ACACOB BDBDODBDOC ODCE DFAC BDCE DF代入求得：DF 8 126.16又根据平行，可得:【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用,实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例.由DE/BC , BC 2 , ABC为等边三角形, ECAC AE【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形.【例10】如图，P为YABCD对角线BD上任意一点. 求证：PQgPI PRgPS .【难度】【答案】略.【解析】证明：Q四边形ABCD为平行四边形，AB/CD, AD/BC ,RB/DI , SD/BQ .根据三角形一边平行

7、线的性质定理，则有PI PD PSPR PB PQPQ PI PR PS .【总结】初步认识相似三角形中的等比例转化.X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行3：4 ,【例9】如图，已知ABC是边长为2的等边三角形，DE/BC, S ecd ： S bcd求EC的长. 【难度】 【答案】1 .2【解析】 VECD和VBCD为等高三角形,DE SVECD 3BC Svbcd 4可知VADE也为等边三角形,7 / 23【例11】如图，在平行四边形 ABCD中，CD的延长线上有一点 E , BE交AC于点F ,交AD于点G .2求证：BF FGgEF .【难度】【答案】略.【解析】证明：Q

8、四边形ABCD为平行四边形,AB/CD, AD/BC ,AB/CE, AG/BC .根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF CF BF,BF AF FG2BF FGgEF .【总结】初步认识相似三角形中的X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化.【例12】如图,求证：(1)点C在线段AB上， AMC和 CBN都是等边三角形.MD AM ；DC CN ；(2) MDgEB MEgDC .【难度】【答案】略.【解析】证明：(1) Q AMC和CBN是等边三角形,ACM NCB AMC60 .点C在线段AB上,MCN 180AM /CN ,ACMMD AMDC CNNCB60

9、AMC .(2 )同(1)易证得CM / /BN ,则有匪EBMCNBQ AMC和 CBN是等边三角形,MC AM, NB CN ,MD MEDC EBMDgEB MEgDC .【总结】初步认识相似三角形中的X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化.13 / 23【例13】如图，ABC的面积是10，点D、E、F (与A、B、C是不同的点)分别位于AB、BC、CA各边上，而且AD 2 , DB3，如果面积相等，求 ABE的面积.【难度】【答案】6.【解析】连结DE ,由SvabeS四边形DBEF '可得SvADF两三角形同底，可得两三角形等咼，故DE / /AC ,根

10、据平行于三角形一边的直线性质定理,BD BE 3+存 Svabe BE 3可得：，故AB BC 5Sv abc BC 5ABE的面积和四边形DBEF的SVAEF ，3求得 Svabe =10=6 .5【总结】注意等咼(同底)二角形面积比等于底边(咼)之比.【例14】如图，在 ABC中，BC 6 , AC 4 2 , C45，在BC边上有一动点 P ,过P作PD/AB与AC相交于于点 D，联结AP，设BP x ,并指出自变量x的取值范围；APD的面积为y .(1 )求y与x之间的函数关系式,(2) P点是否存在这样的位置,使APD的面积是APB的面积的2-?若存在，求出BP的3长；若不存在，【难

11、度】请说明理由.【答案】(1) yx2 2x 03(2)存在,BP 2.【解析】(1)过点P作PE AC于点E .由BP x，可得：PC 6又 C 45，故PECEx ,-pc 22 2丄，BP又 PD/AB，故BC11故y 1PE ADADAC斗，代入可得AD2 22 .2x3(2)过点A作AFBC于点F2 2x 0 x 6 .由 C 45 , AC 4.2 可得 AF CF 4,1故 SvabpAF BP 2x ,22 APD的面积是 APB面积的_ ,31 22二 y x 2x 2x ,33解得：x 2，即BP 2 .【总结】考查三角形中一边平行线性质的综合应用，同时在题目中，注意对于特

12、殊角的利用.【例15】如图，D、E分别是 ABC的边AB、AC上的点，且 DE/BC .(2)如果DE2 , BC6 ,BD8，求AD、AB的长；(3)如果AD3，求DE的值.BD5BC【难度】【答案】(1)9；(2) AD4,AB312 ;( 3) 3 .8【解析】(1)-DE/BC,ADDE1-,AB 9 ;ABBC3ADDE1(2 )TDE/BC,，二 AD 4，二 ABADBDBC3DEAD33(3 )DE/BC,BCAB35 8(1)如果 DE 2 , BC 6, AD 3，求 AB 的长;【总结】考查三角形一边平行线的性质定理.AD BD 12 ；【例16】如图，BE、CF是 AB

13、C的中线，交于点 G .GE GF 1 求证：GB GC 2【难度】【答案】略.【解析】证明：过点F作FD / /BE交AC于点D .Q F是AB中点,D是AE中点，故DFBEAD 1AE 2又E是AC中点，FD /EG,GFDE 1EGCE2GCCE2FDCD3即1 EG22，整理得:GEGF11-EG BG3GBGC22【总结】考查三角形重心性质的证明，通过一个中点作对边的平行线即可.【例17】已知小智的身高是 CD 1.6米，他在路灯下的影长 DE 2米，小智与路灯灯杆的底部B的距离为DB 3米, 【难度】则路灯灯泡A距地面的高度AB【答案】4.【解析】CD AB / /CD，二ABDE

14、 2BE 2 3【总结】考查三角形一边平行线定理的实际应用.米.25【例18】如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针反向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化设AB垂直于地面时的影子为 AC （假定AC AB）,影子的最大值为 m ,最小值为n ,有下列结论： m AC ;m=AC ;n AB ;影子的长度先增大后减小.其中正确的序号是【难度】 【答案】.【解析】木杆绕点 A逆时针旋转时，当 AB与BC光线垂直时，m最大，则m AC，成立，不成立；最小值为AB与AC重合，故成立；由上可知，影子长度先增大后减小，故成立.【总结】找准临界值，注意进行思维分析.【例

15、19】已知：MN / PQ,c x，则满足关系式【答案】CB.xbcbc的图形是（D .【解析】交叉相乘，满足 axbe的是C选项.【总结】考查三角形一边平行线性质的简单应用.【例 20】如图， ABC 中，DE/BC , AE 3, DE 4 , DF 2, CF 5，求 EC 的长.【难度】【答案】EC 9 .2【解析】Q DE/BC ,DE DF AE 2BC CF AC 5， 即一32，求得：EC 9 .3 EC 52【总结】相似三角形中 “A ”字型和X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式.【例21】如图，在平行四边形 ABCD中，点E在边DC上，若DE : EC 1:2 ,贝U

16、 BF:BE19 / 23【答案】3:5 .【解析】DE: EC1:2，可知坐CD由 CE/AB ,可知BF ABEF CE3，故2CEAB【总结】初步认识相似三角形中的X ”字型.【例22】如图，在 ABC中，BC6 , G是ABC的重心,过G作边BC的平行线交 AC于D点H，求GH的长.【难度】【答案】2.【解析】连结AG并延长交BC于点D，根据重心的定义,1 可知D为BC中点，贝U DCBC 3 ,2根据重心的性质，又 GH / /DC ,可得：JAG -，求得GH 2 .DC AD 3【总结】考查三角形重心的性质.【例23】如图，已知 AB/CD/EF AB m , CD n，求 EF

17、 的长.（用m、n的代数式表示）【难度】【解析】由AB/CD/EF ,则有EFCFEFBFABBCCDBC即EFEF 1,得 EFmnmnmn【总结】考查相似三角形中X ”字型的综合应用，得到比例关系.【例24】如图，E为平行四边形 ABCD的对角线AC上一点，圧EC1，BE的延长线交CD3的延长线于点 G，交AD于点F，求BF:FG的值.【难度】【答案】1:2 【解析】由AF/BC，可得 AF AE1，即 AF 1BC EC3AD 3,AF故1，由 AB/DG ,FD2可得：BF:FG AF : FD 1:2 .【总结】考查相似三角形中X ”字型的综合应用，得到比例关系.【例 25】如图，I

18、1/I2 , AF :FB 2:5 , BC:CD 4:1，求 AE: EC 的值.【难度】【答案】2:1 .AG AF 2【解析】由li /I2，得：-，又BC:CD 4:1 ,BD FB 5AG 2可得故 AE: EC AG: CD 2:1 .CD 1【总结】考查相似三角形中X ”字型的综合应用，得到比例关系.【例26】如图，在梯形ABCD 中,AD / /BC，对角线 AC、BD父于点0，点E在AB上，#/23且EO/BC，已知AD 3 , BC 6 .求E0的长.【答案】2.【解析】由AD / /BC，可得：A0ADCOBCAO1丄小小EOAO故-,由 EO/BC ,AC3BCAC【难

19、度】【总结】相似三角形中“A ”字型和X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式.【例27】如图，在梯形 ABCD中,AD/BC , AD 3 , BCF是两腰上的点,且 EF/AD , AE:EB 1:2，求 EF 的长.【难度】【答案】口 .3【解析】过点 A作AH /DC交BC于H，交EF于G ,则有CH FG AD 3, BH2，又 EG/BH ,可得：eg ae1，解得：EG -,BH AB33故 EF EG GF113【总结】两条直线被三条平行线所截得的线段长对应成比例.【例28】如图，在 ABC中，D是BC边上的一点， BD: DC 3:1 , G为AD的中点，联结BG并延长 A

20、C交于E，求EG:GB的值. 【难度】【答案】1:7 .【解析】过点D作DF /BE交AC于F .此时则有匹CFDC1，又G为AD中点,BECEBC4GE1GE 1根据平行可得：故DF2BE 8EGEG GB 8可得 EG:GB 1:7 【总结】构造平行线，构造比例线段是解决这类问题的根本.27 / 23【例29】已知点 D是 ABC的BC边上的一点,线交AC于F，求AF : AC的值.【难度】【答案】2:5 .【解析】过点D作DM / /BF交AC于点M 1 CMCD1CD-BC ,3CFBC3，CM1MF 21CD BC , E是AD的中点，BE的延长3又E为AD中点，DM/BF , F为

21、AM中点，即AF FM , AF :FC 2:5 .【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，通过构造平行线等比例转化即可得出答案.【例30】如图，路灯A的高度为7米，在距离路灯正下方 B点20米处有一墙壁CD , CD BD , 如果身高为1.6米的学生EF站立在线段BD上（EF BD，垂足为F , EF CD ），他 的影子的总长度为3米，求该学生到路灯正下方 B点的距离FB的长.F由 EF BD , AB BD ,可得EF/AB，则有匡竺,AB BM代入可求得：BM105 m ,8贝U FB BM FM81 m .8(2 )影子部分在地面，部分在墙面上时，如图，根据同一时刻同一地点任何物体

22、影长与其高度比值相同，设墙上部分影长ND x，则有DF 3 x , FB 17 x,则有ND GD ,AB GB即，可得GD竺,7 GD 207 x又根据ND/EF ,可得NDGD20x7 x3 xGF，即1.6 J0x7整理即得:10x 110，解得：XiX211 舍.故FB 18m.【总结】影长问题，注意同一时刻同一地点任何物体影长与其高度比值相同，有障碍物时, 障碍物上的影长仍满足这个条件，注意进行分类讨论.【例31】如图，平行四边形 ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，EF交AC于点G ,若 AE: EB 2:3 , AF : AD 1:2，求AG: AC的值.【答案】2:9 .【

23、解析】延长FE交CB的延长线于点23/ AF/BH巫些BH EBH .又AF : AD 1:2，故可得:AFCHAF2AF BH12cm，求DF的长.则有BDAB3，又 BD CE ,DHAC5则有CE3由 CE/DH ,DH5得EFCE3，代入计算得：DFDFDH512 5 3 20cm.【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“A ”字型或X ”字型，比例转化.【例33】如图，已知 ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD: DB 3: 2 ,AE: EC 1:2，直线ED和CB的延长线交于点 F ,【难度】【答案】1:3 .【解析】过点B作BG/FE交AC于G .根据三角形一边平行

24、线的性质定理，可得：AE AD 3EG，又 AE:EC 1:2，故EG DB 2EC求 FB:FC .由 BG/FE，可得：FB: FC EG:EC 1:3 .AG AF 2 AF/CH ,竺 工-，故 AG: AC 2:9 .GC CH 7【总结】构造与所求线段相关的“A ”字型或X ”字型，比例转化.【例32】如图，在 ABC中，设D、E是AB、AC上的两点，且BD CE，延长DE交BC的延长线于点 F , AB:AC 3:5 , EF【难度】 【答案】20cm .【解析】过点D作DH / /AC交BC于H ,【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化.【

25、例34】已知：在ABC中，D、E是BC上的两点，且AD/EG，EG交AC于F，交BA的延长线于G，若 EF EG 2AD .求证：AD是ABC的中线.【答案】略.【解析】证明：QBDADEGBEAD/EG,EF'ADCECDEGBEBDAD,EFAD .CDCQ EFBEBDEGCECD2AD ,be则有BE 1BDBE BDBDCE1CDCD CECD即匹匹BD CDBD CD .即AD是ABC的中线.【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，注意根据题目条件灵活进行比例转换，将条件转化到同一个量，得出结论.随堂检测【习题1】如图，在 ABC , DE/BC , DE与边AB、AC分别

26、交于点 D、E .(1)已知 AD 6 , BD 8, AE 4，求 CE、AC 的长;(2)已知AE:AC2:5,AB10 ,求AD的长【难度】r【答案】（(1) AE167，CE28T ；(2)4.【解析】(1)v DE/BC,.些 竺， CE 16 ；CE DB3(2 )T DE / /BC , AD AEAB ACAE:AC 2:5 ,-, AD 4 . 529 / 23【总结】考查三角形一边平行线的性质.(A)ADBF(B)AECEBDCFEDBC(C)AEBD(D)ADABECADEDBC【难度】【答案】A【习题2】如图，EF / /AB , DE/BC，下列各式正确的是（【解析】

27、根据三角形边平行线的性质进行比例线段转化可 知A选项正确；B、C、D错误.【总结】考查三角形一边平行线的性质的应用.)【习题3】如图，菱形 ADEF内接于ABC , AB 16, BC14 , AC 12，求 BE 的长.【难度】【答案】8.【解析】根据三角形一边平行线的性质,DEACBE EF CEBC，ABBC即有DC AB1，可解得菱形边长DE AD 487故 BD AB AD 64 ,业 BD, BE7 BC BAPE / /AB , PF /AC .【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用.【习题4】如图，P是 ABC的中线AD上一点,求证：BE CF .【难度】【答案】略.【解

28、析】证明：Q PE/AB , PF/AC,BE AP CF APBD DA，DC DA，BE CFBD DC，又 BD CD ,BE CF .【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用，用固定线段的比值作为中间量.ABC 中，DE/BC，且 AD:AB 2:3，求 EO:EB 的值.【难度】【答案】2:5 .【解析】由DE/BC ,可得DEAD 2 沖 EO DE 2 ，则BCAB 3BO BC 3根据比例的合比性，可得EO: EB 2:5 .【习题5】如图，在【总结】找准图形中的 A”字型和X ”字型进行比例线段的 转化构造.【习题6】在ABC中,一AGAB AC，如果中线 BM与高AD相

29、交于点G，求竺AD【难度】【答案】2 .3【解析】Q AB AC, AD BC ,BD CD .即D为BC中点，QM为AC中点，G为ABC重心，AG 2AD 3 .【总结】考查重心的意义和性质，先证明再利用性质.【习题7】如图 ABC，点D、E分别在BC、AC上，BE平分ABC , DE/BA .如果 CE 24 ,AE26 ,AB 45,求DE和CD的长【难度】【答案】DE108 “ ,CD1296565【解析】根据三角形一边平行线的性质,AB CE 45 24108-DEAC 24 265ABCEAC由BE平分 ABC，则有 ABE DBE ,由DE/BA，可得：DEBABE ,即 DEB

30、DBE，故BD108 DE5进而可得：CD CE ,BD AE CDBD CE1296AE65【总结】考查三角形一边平行线的性质定理的应用，同时考查平行线与角平分线一起出现会产生等腰三角形的基本图形.【习题 8 】 如图，梯形 ABCD 中，DC /EF/GH / /AB , AB 30cm , CD 10cm ,DE:EG:GA 2:3: 4 ,求EF与GH的长度.【答案】EF空 cm, GH9190 cm .9【解析】过点C作CP/ /DA分别交EF、GH、AB于点M、点N、占p八、I，则易得四边形DAPC为平行四边形.B则 EM GNAP由 FM /BP ,可得:DC 10cm,FMPB

31、CMCPPB 20cm .DE 2DA 9代入可得:40FM cm ,9EFEM FM130 cm .9由NH /PB，可得:NHPBG- A39 / 23代入可得：NH -00cm , GH GN NH -90 cm99课后作业【作业tnx【总结】夹在平行线间的线段对应成比例.(A)(B)(C)(D)【难度】【答案】C【解析】考查三角形一边平行线的性质定理，变形即为-n，可知C选项满足题意.m x【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，进行简单的变形应用，可知线段错位相乘满足题意的即为所求选项.【作业2】如图,ABC 中,ABAC，AC 3，曲叫求AB：BD的值.【难度】【答案】8:5 .【

32、解析】由ABACAB5可得BE5-,根据比BEEC，AC3'EC3例的合比性质,可得BE5，由DE / /AC ,BC8可得AB : BDBC:BE8:5BE【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用.【作业 3】如图， AB/EF/CD , AB 2 , CD 8 , AE :EC 1:5，求 EF 的长度.【难度】 【答案】EF 3.【解析】过点 B作BN /AC交EF于点M，交CD于点N ./ AB/EF/CD , 四边形 AEMB、ACNB、ECNM都为平行四边形,FM BM-CN EM AB 2，且有BFMNDN BNQ AE: EC 1:5 ,BMAE1BNAC6 FMBM

33、1-/NDBN6NDCDCN6 ,FM1 ,EFEMFM3【总结】三条平行线被两条直线所截，将其中一条直线平移，放到同一个三角形中解答.【作业4】平行四边形 ABCD，E是AB的中点，在直线 AD上截取AF 2FD， EF交AC于G ,求AG的值.GC【难度】【答案】2或2 .53【解析】（1）当点F在AD上时，如图.过点E作EM /BC交AC于点M ,由E为AB中点，贝U M为AC中点,Q四边形ABCD为平行四边形，AD/BC, AD BC .又 AF 2FD ,AF AF AF 2AD BC 2EM 3 '由 AF/EM ,AG AF 4丽 EM 3,AG AG 42gc gmAM 10 5(2)当点F在AD延长线上时，如图，过点E作EM /BC交AC于点M ，由E为AB中点，贝U M为AC中点,Q