八上培优5半角模型

1、实用标准文档八上培优5 半角模型 方法：截长补短图形中，往往出现 90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有 2套 的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第34页14题1 .如图，四边形 ABCDh ZA=Z C=90 , /D=60 , AB=BC E、F,分别在

2、AD CD上，且/EBF=62 .如图2,在上题中，若 E、F分别在AR DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF3 .如图，ZA=Z B=90° , CA=CB=4, ZACB=120 , E ECF=60 , AE=3, BF=2,求五边形 ABCDE 的面积.4 .如图1.在四边形 ABCD43. AB=AD Z B+Z D=180f , E、F分别是边 BC CD上的点，且/ BAD= /EAF.(1)求证：EF=BE+DF(2)在(1)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点 E、F分别运动到BC CD延长线上时， 如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关

3、系.文案大全5 .如图3,在四边形 ABD什，/ B+/ 0=180 , DB=D，/BDC=12 0 ,以D为顶点作一个 60°的 角，角的两边分别交 AB AC于E、F两点，连接EF,探索线段BE CF、EF之间的数量关系，并加以证明.勤学早第40页试题1 . (1)如图，已知 AB= AC, /BAC=90 ,/ MAN=45 ,过点 C作 NC LAC交 AN于点 N过点B作BM 垂直 AB交AMT点M,当/ MAN4/ BAC内部时，求证： BM+CN =MN;证明：延长 MB 到点 G 使 BG=C址接 AG 证 4AB竽 ACN(SAS),： AN=AG BAG=,/N

4、AC. L / GAM = GAB + / BAMN CAN+Z BAM=45 = L / MAN,证4 AM阵 AMG(SAS), ' ： MN= MG= BM + BG= BM NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第 27页例3)(2)如图，在的条件下，当 AMB AN在AB两侧时，的结论是否成立？请说明理由 基本模型二 120 °套60 °解：不成立，结论是：MN=CNH BM, 证明略.2 .如图， ABC中,CA=CB,/ACB=120 ,E 为 AB上一点，/ DCE=60，/DAE= 120° , 求证：DE=BE证明：（补短法）延长EB至

5、点F,使BF=AD连接CFS CB除 CAD CEN CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3.如图， ABC中,CA=CB,/ ACB=120 求证：AD+DE= BE.，点 E 为 AB上一点，/ DCE=/ DAE= 60° ,证明：（截长法）在BE上截取BF=AD连接CF,易证 CB阵 CAED CED ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版 27页例4如 图， ABC是边长为1的等边三角形， BDC是顶角，/ BDC= 120°的等腰三角形，以 D为顶点作一个 60°角，角的两边分别交 AR AC于M N,

6、连ZMN,试求 AMN勺周长.分析：由于/ MDN=60 , /BDC=120 ,所以/ BDM/ CDN=60 ,注意至U DB=DC考虑运用“旋转法”将/ BDM和/ CDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面,AMN的周长 AM+AN + MN= AB+AC+MN-BM- CN.猜想MN= BM+CNE三角形全等解决.新观察培优68页 例5 如图， 点A B(2,0)在x轴上原点两侧，C在y轴正半轴上，OC平分/ ACB.求A点坐标；(2)如图1, AQ在/ CAB内部，P是AQ上一点，满足/ ACB= AQB,AP=BQ试判断 CPQ勺形状, 并予以证明；如图2. BD ± B

7、C交y轴负半轴于 D. / BDO=60 , F为线段AC上一动点，E在CB延长线上， 满足/ CFD吆E=180° .当F在AC上移动时，结论：CE+CF直不变；CE- CF值不变，其中只 有一个正确结论，请选出正确结论并求其值 分析:(1)由/ A08 BOC导 AO= BO=2, A(- 2,0).(2)由 AC国 BCQ导 CP=CQ.(3)由BD±BC,/ BDO=60 ,可证得等边 ABC.由角平分线和 DBBC的条件，运用对称性知 DA ± AC,连结 DA,力口上条件/ CFD吆 E=180° ,可证得 ADF BDE,于是 CE+CF=

8、2AC= 2AB= 8.基本模型三 2°套14.(1)如图1,在四边形 ABC前，AB=AD,/ B+/ D=180 , E,F 分别是BC,CDk的点，且/ EAF三2/ BAD,求证:EF= BE+ DF;(2)如图2,在(1)的条件下，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，贝U EF,BE,DF之间的数量关系是 EF=BE- DFG解:(1)EF=BE+DF,延长 FD到点 G,使 DG=BE连接 AG,证 ABEAADG (SAS), . ：AE = AG,/ ,1 , 一/ BAE方 DAG ''/ EAF= / BAD,2

9、：/ GAFh DAG+ DAFh BAE+ DAF BAD- / EAF= / EAF, ： / 'EAF= / GAF, 证AAEFGAF(SAS),.： EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF;EF=BE DF.外地试题:4.探究：如图，点E、F分别在正方形 ABCM边BC CD上，/ EAF=45 ,连ZEF,求证：EF=BE+DF ,，.1应用：如图，在四边形 ABCD43,点E、F分别在 BG CD上,AB=AD / B+Z D=90 , / EAFj2/BAR 若 EF=3, BE=2 贝U DF=国 图5.通过类比联想、引申拓展研究典型题目

10、，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补 充完整.原题：如图1,点E、F分另I在正方形 ABCM边BG CD上，/ EAF=45 ,连接EF,求证：EF=BE+DF (1)思路梳理,AB=AD，把 ABE绕点A逆时针旋转90°至 ADG可使AB与AD重合. /ADGh B=90° , .FDGW ADG吆 ADC=180 ,则点 F、D> G共线.根据,易证 AFG,从而得 EF=BE+DF(2)类比引申如图 2,四边形 ABCD43, AB=AD / BAD=90 点 E、F 分别在边 BG CD上，/ EAF=45 .若/ B、/D都不是直角，但当/ B与

11、/ D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF请给出证明； (3)联想拓展如图 3,在 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC 点 0 E均在边 BC上，且/ DAE=45 ,彳1想 BQ DE EC应满足的等量关系，并写出推理过程.7. (1)如图1,在四边形 ABCD, AB=AD Z B=Z D=90° , E、F分别是边 BG CD上的点，且AE=AF1 ,/EAF=/BAD现有二种添加辅助线的万式：延长 EB至G,使BG=BE连接AG延长 FD2至G,使DG=BE连接AG;过点A作AGL EF,垂足为G;选择其中一种方法添加辅助线，求证：EF=BE+FD(2)如图 2,在

12、四边形 ABCD, AB=AD 若/ B+/ D=180° , / EAF=1 / BA口 证明(1)中结论2是否还成立？(3)如图3,在四边形 ABCM, AB=AD Z B+Z ADC=180 , E、F分别是边 BC CD延长线上的点，且/ EAF=1/BAR (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间2的数量关系，并证明.8. (1)如图1,在四边形 ABCM, AB=AD / B=Z D=90° , E、F分别是边 BG CD上的点，且/_ _ 1EAF=-/BAD 求证：EF=BE+FD21(2)如图2,在四边形 ABCM, AB=AD

13、 / B+Z D=180 , E、F分别是边 BG CD上的点，且/ EAF2/BAR (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明.(3)如图3,在四边形 ABCD43, AB=AD Z B+Z ADC=180 , E、F分别是边 BC CD延长线上的点，r1且/ EAF=/BA口(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、2BE FD它们之间的数量关系，并证明.半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子?1.如图1,在平面直角坐标系中， AO昉等腰直角三角形，A (4, 4)图2国3(1)求B点坐标；(

14、2)如图2,若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角 ACD Z ACD=90 ,连接OD 求/ AOD勺度数；(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E, F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以 EG为直角边作等腰 RtEGH过A作x轴垂线交EH于点M连FM等式AM=FM+OF否成立？若 成立，请说明；若不成立，说明理由.解：(1)如图所示，作 AE± OB于E,-A (4, 4),.OE=4,. AOB为等腰直角三角形，且 AE± OB.OE=EB=4.OB=8,B (8, 0); / FDC吆 DCF=90 , / ACF=/ FDC又 / DFCh A

15、EC=90 ,.DFe ACEA (AAS ,EC=DF=4 FC=AE-A (4, 4), AE=OE=4 FC=OE 即 OF+EF=CE+EF OF=CE OF=DF/ DOF=45 ,. AOB为等腰直角三角形， / AOB=45 , / AODW AOB+Z DOF=90 ;(2)如图所示，作 AE! OB于E, DF±OB于F, . ACD为等腰直角三角形，.AC=DC / ACD=90即/ACF+Z DCF=90 ,(3) AM=FM+O成立，理由：如图所示，在 AM AE=OE=4上截取 AN=OF 连 EN又. / EANh EOF=90 , AN=OF.A (4,

16、 4),EAN EOF (SAS,/OEF4 AEN EF=EN 又. EG阴等腰直角三角形，GEH=45 ,即/ OEF-+Z OEM=45 , ./ AEN4Z OEM=45 又. / AEO=90 , ./ NEM=45 =/ FEM又 EM=EM.NE晔 FEM (SAS ,MN=MFAM-MF=AM-MN=AN AM-MF=O F即 AM=FM+QF【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综(1)解：.( a-b) C为线段AB上一点，C点的横坐标是 3, P是y轴正半轴上一点，且满足/ OCP=45 ,求P 点坐标；(3)在(2)的条件下，

17、过 B作BD± OC交OC OA分别于 F D两点，E为OA上一点，且/ CEA= ZBDQ试判断线段 OD与AE的数量关系，并说明理由.+|b-4|=0 ,a-b=0 , b-4=0 , %a=4, b=4,A (4, 0), B (0, 4);(2)3.如图，已知 A (a, b), AB，y 轴于 B,且?t足 |a-2|+(b-2) 2=0,(1)求A点坐标；(2)如图1,分别以AB, AO为边作等边三角形 ABC和 AOD试判定线段 AC和DC的数量关系 和位置关系，并说明理由；(3)如图2,过A作A已x轴于E,点F、G分别为线段 OE AE上两个动点，满足/ FBG=45

18、 , 试探究OF AG的值是否发生变化?如果不变，求其值；如果变化，请说明理由.FG2017-2018江汉期中 如图点 P为 ABC的外角/ BCD的平分线上一点， PA=PB(1)求证：/ PAC=/ PBQ(2)作 PE! BC于 E,若 AC=5 BC=11,求 S；A PCE SA PB(3)若M N分别是边 AG BC上的点，且/ MPN=L/APB则线段 AM MN BN之间有何数量关2系，并说明理由.解：(1)如图1,过点P作PU BC于E, PF，. PC平分/ DCB.PE=PR在 RtPAF和 RtPEB中, PF PEPA= PR.-.RtAPAF RtAPE / PAC

19、4 PBG(2)如图2,过点 P作PF，AC于F,. AC+CF=BC-C E. 5+CF=11-CE. CE=CF=3 PFe PEC S PFC=SPEC) Rt PAF RtAPEB Spaf=SPEB).S PCE： SPB=SaPFC： SPFA=1 CFX PF: 1 ACX PF22=CF: AC=3: (3+5) =3: 8;(3)如图3,在BC上截取 BQ=AM 在 PMA PQB 中，PA= PBPAM = PBQMA= BQ, . PMA PQB . PE± BC, CP是/ BCD勺平分线, PE=PR / PCF=/ PCE PC=PC . PC障 PCE.

20、CF=CE由(1)知，RtPA阵 RtAPE ，AF=BE . AF=AC+CF BE=BC-CEPM=PQ / MPA=QP,B / APM+ QPA=Z APQ吆 QPB即：/ APB4 MPQ/1 , . / MPN> / APB2/1, 八 / MPNa / MPQ2 ./ MPN= QPN在 MPN 4QPC 中,PN = PNMPN = QPNMP = QP, . MPN2 QPC .MN=QNBN=AM+M N【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全 等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平 分线的定义，解（1）的关键是判断出 PE=PR 解（2）的关键是求出 CE=CF=

21、3解（3）的关 键是构造全等三角形判断出/APB=/ MPQ是一道中等难度的中考常考题.2015-2016江岸八上期末 已知在 ABC中，AB=AC射线BM BN在/ ABC内部，分别交线段 AC于 点G H.（1）如图 1,若/ ABC=60、/ MBN=30 ,作 AE± BN于点 D,分另交 BG BMT点 E、F.求证：CE=AG若BF=2AF连接CF,求/ CFE的度数；（2）如图2,点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接 CF,若/ BFE=/ BAC=2 CFE,直接写出【解答】解：（1）: AB=AC / ABC=60 .ABC为等边三角形，贝U/ BAC4 ACB

22、=60 , AB=CA . AD）± BN / MBN=30 , ./ BFD=/ AFG=60 , / ABF+Z BAF=60° ,/ BAF+Z EAC=60 / EAC4 GBA在 GBA与 EAC中，【分析】（1）由AB=AC Z ABC=60得到 ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到/ BAC= /ACB=60 , AB=CA 求彳导/ BFD4AFG=60 ,推出/ EACh GBA证得 GB& EAG 根据全等三 角形的性质即可得到结论；如图1,取BF的中点K连接AK,由BF=2AF推出 FAK是等腰三角一 _1 . _形，根据等腰三角形的性质得到/FAK=/ FKA,求得/ AKF= - / BF4 30 ,根据全等三角2形的性质得到 AG=CE BG=AE /AGBWAEG推出 GA右 EFQ根据全等三角形的性质得到/ CFE=Z AKF即可得至ij结论；（2）如图2,在BF上取BK=AF连接AK,推出/ EACW FBA根据全等三角形的性质得到S-abk=Saacf, /AKBW AFG证得 FAK是等腰三角形，根据等