立体几何---平行与垂直专项训练

1、立体几何-平行与垂直专项训练1.如图1,在矩形ABCD中，E, F分别是AB , CD的中点，沿EF将矩形BEFC折起，使 .CFD =90，如图2所示：(I)若G , H分别是AE, CF的中点，求证： GH /平面ABCD ;(n)若AE = 1，.一 DCE = 60，求三棱锥C - DEF的体积.图1图2SA=2AD , AB_SD交 SC2.如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面PDC E为棱PD的中点.(1)求证：PB/平面EAC(2)求证：平面 PADL平面 ABCD3.如图，已知 ASCD中，SD=3, CD=J5 , cosSDC=丄丿5 ,5于B ,

2、M为SB上点，且SM =2MB，将 SAB沿AB折起，使平面SAB_平面ABCD(1) 求证：AM /平面SCD ；(2) 求三棱锥S -CDM的体积D4. 如图，在多面体 ABCDM中， BCD是等边三角形， CMD是等腰直角三 角形， .CMD =90，平面CMD _平面BCD , AB _平面BCD，点0为 CD的中点，连接0M .(I )求证：0M /平面ABD ;(n )若AB =BC =2，求三棱锥 A - BDM的体积5. 如图，在四棱锥 P- ABCD中，四边形 ABCD是平行四边形，三角形 AD=AP=5 PD=6 M N分别是 AB PC的中点.(1) 求证：MIN/平面P

3、AD(2) 求异面直线 MN与AD夹角的余弦值.6.在如图所示的四棱锥 P- ABCD中，已知PA丄平面ABCD AD/ BC, / BAD=90 , PA=AB=BC=1 AD=2 E为 PD的中点.(I)求证：CE/面 PAB(n)求证：平面 PAC丄平面 PDC(川)求直线EC与平面PAC所成角的余弦值.7.已知四边形 ABCD为平行四边形， BD _ AD , BD二AD ,AB =2，四边形ABEF为正方形，且平面 ABEF _平面ABCD .(1)求证:BD _ 平面 ADF ;(2)若M为CD中点，证明：在线段 EF上存在点N，使得MN /平面 ADF，并求出此时三棱锥N - A

4、DF的体积.8.如图，在四棱锥P ABC中，PM平面ABCD四边形ABC为正方形，点M, N 分别为线段PB, PC上的点，MNL PB.(I)求证： 平面PBCL平面PAB ;(H)求证：当点 M不与点P , B重合时，M N /平面ABCD(川)当AB= 3, PA= 4时，求点A到直线Mf距离的最小值。9.如图1,在梯形ABCD 中,AD 二 BC , AD DC ,BC二2AD，四边形ABEF是矩形将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABEf的位置，使平面ABEF 一平面ABCD ,M为AR的中点，如图(I)求证：BE DC ；2.图(n)求证：DM / 平面 BCE1 ；(川)判断直线

5、CD与MEi的位置关系，并说明理由.10.如图，已知AF丄平面ABCD四边形ABEF为矩形，四边形 ABCD为直角梯形，/DAB=90；，AB/CD，AD= AF= CD= 2，AB= 4.(I)求证：AC I |平面BCE(n)求三棱锥 A-CDE的体积；(川)线段EF上是否存在一点 M,使得BMCE ?若存在，确定M点的位置；若 不存在，请说明理由.11.在直三棱柱 ABC- A Bi Ci中，AB=AC=AA=3, BC=2 D是BC的中点，F是CQ上一占八、(1 )当CF=2求证：BF丄平面 ADF；(2)若FD丄BQ,求三棱锥 B1- ADF体积.C12.如图，在长方体 ABC- A

6、B1C1D1中，AB=AD=1 AA=2，点P为DD的中点.(I)求证：平面 PACL平面BDD ;(n)求证：PB丄平面PAC(山)求Vc PAB13.如图，在四棱锥 P ABCD中, PD丄平面 ABCD PD=DC=BC=1 AB=2, AB/ DC, / BCD=90°(1) 求证：PCL BC(2) 求点A到平面PBC的距离.试卷答案1试题解析：（i）法一：取 AB中点P，连结PG、PC 1分.G,H分别是AE, CF的中点.CH /-BE，且 CH =-BE ,.四边形CPGH为平行四边形，PG/-BE，且 PG =BE2 2.PG / CH , PG 二 CH.GH /

7、 PC4分又GH二平面ABCD , PC 平面ABCD.GH / 平面 ABCD 6 分法二：取CD中点Q，连结QA, QH 1分 QH DF，且 QH =-DF , AG/1DF ,2 2 21且 AG DF2.AG/QH ,AG =QH ,四边形AGQH为平行四边形.GH / AQ又GH二平面ABCD , AQ 平面ABCDGH / 平面 ABCD法三：取DF中点M，连结MG , MH' G , H分别是AE, CF的中点,BH-FD.GM /AD , MH /CD又GM二平面ABCD , AD 平面ABCDMH 二平面 ABCD, CD 二平面 ABCD.GM /平面ABCD ,

8、 MH /平面ABCD4分：GM - MH -M ,.平面GMH /平面ABCD而GH 平面GMH.GH / 平面 ABCD 6 分(n) ； . CFD =90. CF _ DFv CF _ EF, EF - DF =F.CF _ 平面 ADFE 8 分又 AE =EB =1,.CE =DE =因 EF2，且 CF 二 DF =1J-' DCE =60： DCE为等边三角形而 Rt CDF 中，CD1 EF 2 ,.EF =1 10 分1 11-Vc _defEF DF CF =_3 261故三棱锥C - DEF的体积为丄. 12分考点：1.平行关系、垂直关系；2.几何体的体积2.【

9、解答】证明：(1)连接BD交AC于F，由E为棱PD的中点，F为BD的中点，贝U EF/ PB又EF?平面EAC PB?平面EAC贝U PB/平面EAC(2 )由PAL平面PCD贝U PAL CD底面ABCD矩形,贝U CDL AD又 PAH AD=A则有CDL平面PAD由CD?平面ABCD则有平面PADL平面ABCD【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系，主要考查线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理， 注意定理的条件的全面性是解题的关键.3试题解析：(1 )如图：过C作CO_SD交SD的延长线于0，在BC上取点N使BN : NC = 1: 2 连接 MN，由于 SM : MB = 2:1

10、二 MN / SC在平面 SCD中，由 CD = J5， cosZSDC = 1J5得 DO =1,CO =25即 SA = AO 又 AB _ SD得 SB 二 BC，又 SM : MB =2:1，BN :NC =1:2 二 SN: NC =2:1 二 AN /CD=平面AMN /平面SCD= AM/平面SCDCA到平面SCD的距离,(2)由AM/平面SCD知M到平面SCD的距离等于转化 Vs_GDM = VM -SCD =VA_SCD = VS ACD考点：1、直线与平面平行的判定；2、求三棱锥的体积.4. ( I)证明： CMD是等腰直角三角形， CMD =90，点O为CD的中点,二 O

11、M _CD.1分平面CMD _平面BCD，平面CMD I平面BCD =OM _平面BCD. 2分AB _ 平面 BCD ,OM / AB. 3分AB 二平面 ABD, OM 二平面 ABD,OM /平面ABD. 4分（n ）解法1由（i ）知OM /平面ABD,点M到平面ABD的距离等于点 O到平面ABD的距离 5分过O作OH _ BD，垂足为点H , AB _ 平面 BCD, OH 平面 BCD,OH _ AB.AB 二平面 ABD , BD 二平面 ABD , ABR BD = B ,OH _平面 ABD.AB二BC = 2 , BCD是等边三角形，BD = 2 , OD =1, OH =

12、OD sin 602J 1 AB BD OH3 2Va _BDM =VM -ABD1 2 2乜2 26分7分9分10分11分12分三棱锥A-BDM的体积为3解法2:由（i ）知OM /平面ABD,点M到平面ABD的距离等于点 O到平面ABD的距离. 5分 AB二BC=2 , BCD是等边三角形，- BD =2, OD =1. 6 分连接 OB,则 OB_CD, OB=BD sin60'h.：；. 7 分VA -BDM VM -ABD 二 VOABD 二 VA_BDO 10 分1 1 OD OB AB 11 分3 2=1 1 1：丿 3 2 =3 23 '三棱锥A-BDM的体积为

13、. 12分35. 解答】证明：（1 ）取CD中点O,连结NO MQ/ M N分别是AB, PC的中点, NO/ PD MO/ AD/ NOA MO=O PDA AD=DNQ MO 平面 MNO PD AD?平面 APD平面MON平面ADP/ MNP 平面 MON - MIN/ 平面 APD解：（2）v MIN/平面 PAD AP与 MN共面， MIN/ AP,/ PAD是异面直线MN与AD夹角，三角形 ADP中 AD=AP=5 PD=6 cos/ PAD*= I2AP-AD 2X5X5 2E异面直线MN与 AD夹角的余弦值为25P【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，

14、是中档题，解题时要认真审 题，注意空间思维能力的培养.6. 【解答】证明：（I）取 PA的中点M,连接BM ME/人血.匸三二.BC/ AD 且 S二 ME/ BC且 ME=BC四边形MEBC为平行四边形，（2分）平面 BM/ CE CE?面 PAB BMP面 PAB CE/面 PAB-（ 4 分）（n）：T PAL平面 ABCD PAL DC （ 5 分）又 AC+CD=2+2=AD , DCLAC, （ 7 分）/ AS PA=A DCL平面 PAC-（ 8 分）又DC?平面PDC所以平面 PACL平面 PDC（9分）（川）取PC中点F,贝U EF/ DC由（H）知DC1平面PAC则EF丄

15、平面PAC所以/ ECF为直线EC与平面PAC所成的角，（11 分）CF= PC=:即直线EC与平面PAC所成角的正切值为；,（ 12 分）（13 分）【点评】本题主要考查空间角，线面平行，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象 能力、计算能力，分析解决问题能力空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法.7试题解析：（1）证明：正方形 ABEF中，AF丄AB,平面 ABEFL平面 ABCD 又 AFU 平面 ABEF平面 ABEF'平面 ABCD=AB 1分 AF丄平面ABCD 2分又BD 二平面 ABCD AF丄 BD 3 分又 BD 丄 AD , AFCAD=

16、A AF、ADD 平面 ADF,4分 BD _ 平面 ADF. 5 分（n ）解：当N为线段EF中点时，MIN/平面ADF. 6分11证明如下：正方形 ABEF中，NF BA,平行四边形形 ABCD中, MD/ BA,2 2二NF/MD二四边形NFDM为平行四边形，MN/DF. 7 分又DFU平面ADF, M率平面ADF, MN/平面 ADF,过D作DH_ AB于H,ABEF 9 分在 Rt?ABD中, AB=2 BD=AD 二 DH=1 10 分、 1 1 1 1所以 VN 公df =Vd anfDH S anf 11 2. 12分平面 ABE吐平面 ABCD 又 DHu平面 ABCD平面

17、ABEK 平面 ABCD=AB / DHL平面3 323考点：线面垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积8.【试题解析】（I）证明：在正方形 匚中，丁 I.T： 因为打平面上丄，亠二平面丄，所以J一二1< 又平面上,所以丄亠平面弋因为亠二平面丄I，所以平面.：5<： |平面（n）证明：由（I）知，亠亠平面 U1 平面亠m 在"1中，匸亠，所以匸，又口二平面m立丄平面丄，所以初丿平面Jr,_j （出）解：因为匸,所以:二平面H , 而上：平面C所以:二I , 所以丄：的长就是点Z到的距离，而点t在线段J-i'上所以到直线上FJ距离的最小值就是 到线段，的距离，12

18、在二中，丄，所以到直线二j的最小值为9试题解析：（I）因为 四边形ABE1 F1为矩形，所以_ AB .因为 平面ABCD _平面ABE1 F1，且平面ABCD|平面ABE1F AB ,BE1 - 平面 ABE1 F-i ,所以BE_,平面ABCD . 3分因为DC二平面ABCD ,所以BE1 _ DC . 5分(IT)证明；因为四边形血E珂为距形,所以 AAff/BEy因次 ADUBC, ADVAAf=A, BC'BE1 =B,所以平面ADM / /平面BCEV.*分因为DM匸平面ADM、所1凯Df!/平面BCEVg分(III)直线CD与昭相交，理由如下：却分 取甘C的中点P,習的中

19、点0连接肿，PO, QM所 PQHBE,且尸Q=；£E在矩黑应尽耳中，廣为咼的中最所型 血f打丹爲，且血f = 爲一所型 PQHAM、RPO = AM所以四边形APOM为平行四边形.MQ/AP , MQ =AP . 12 分因为 四边形ABCD为梯形， P为BC的中点，BC =2AD ,所以 AD / /PC , AD =PC .所以四边形ADCP为平行四边形所以 CD /AP，且 CD 二 AP .所以 CD /MQ 且 CD 二 MQ .所以CDMQ是平行四边形.所以 DM / CQ，即 DM / CE因为 DM - CE,所以四边形DMEQ是以DM ,为底边的梯形.所以直线CD

20、与ME,相交.考点：空间立体几何10.(试题分析：(1)过 C作CNAB,垂足为N,由AD_DC可知四边形 ADCh为矩形.AN二NB = 2.又由给定数据知，AC2+bC=A$，得到ACBC;所以14分根据AF丄平面ABCD AF/BE得到BE丄平面ABCD BE丄AC,即可得证；（n ）由AF丄平面ABCD AF/BE，得知BE丄平面ABCD利用“等体积法”得到1Va_CDE = VE _ACDEB S ACD .3（川）在矩形 ABEF中，因为点 M N为线段AB的中点，得到四边形 BEMN为正方形，Bd EN由AF丄平面 ABCD得到 AF丄AD.在直角梯形 ABCD中，可得 AD丄平

21、面ABEF而CN/AD，得到所以 CN丄平面ABEF CN丄BM进一步由 BM平面ENC即得 BM_CE.试题解析：（I）过 C作CN_ AB垂足为N,因为AD_DC所以四边形 ADCt为矩形.所以 AN=NB=2.又因为 AD=2, AB = 4，所以 AC=2.2 , CN=2 , BC=22, 所以 aC+b6，所以 AC_ BC;因为AF丄平面 ABCD AF/BE所以BE丄平面 ABCD所以BE丄AC,又因为BE二平面BCE BC二平面BCEbe I BC=B所以AC_平面BCE因为 AF_ 平面 ABCD AF/BE所以BE平面 ABCD Vade 二Vecd1EB SacD3C（

22、川）存在，点M为线段EF中点，证明如下:在矩形ABEF中,因为点 M N为线段AB的中点，所以四边形 BEMN正方形,所以bm_ein10分因为AF丄平面 ABCD ADU平面 ABCD所以 AF丄AD.在直角梯形 ABCD中, AD_ AB,又AF ' AB=A，所以 AD_平面ABEF,又CN/AD，所以 CN_平面 ABEF又 BM 平面 ABEF所以 CN_ BM12分又CNCEN= N,所以BM丄平面ENC 又ECU平面ENC所以bm_ce.14分考点：1.平行关系、垂直关系；2.几何体的体积.11.【解答】（1）证明：T AB=ACD是BC的中点, ADL BC在直二棱柱A

23、BC- A1BQ1中，/BiB 丄底面 ABC AD?底面 ABC 二 ADLB iB./ BCHB iB=B ADL平面 BBCC./BiF?平面 BBCC,： ADLB iF.在矩形 BiBCC中，/C iF=CD=1 BiC=CF=2 Rt DC 匿 Rt FC1B1./ CFDMC iBiF./B iFD=90 , /-B iF丄FD./ ADA FD=D /B iF丄平面 ADF(2)解：/ ADL面 BiDF,又、m, cd=i,/ FDLBQ, Rt CD印Rt BB iD , IU； j 二'；"奈"八匚牛牛葺叙字i2.【解答】证明：(I ) / DD丄平面ABCD AC?平面ABCD ACL DD,/ AB=AD/四边形 ABCD是正方形， ACL BD又 BD?平面 BDD, DD?平面 BDD, BDA DD=D, ACL平面 BDD,/ AC?平面 PAC平面PACL平面BDD.(II