高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方程学案 新人教A版选修21

1、2.4.1抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题(难点)自 主 预 习·探 新 知1抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点f叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线思考1：抛物线的定义中，若点f在直线l上，那么点的轨迹是什么？提示点的轨迹是过点f且垂直于直线l的直线2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p>0)fxy22px(p>0)fxx22py(p>0)f

2、yx22py(p>0)fy思考2：(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？提示(1)p的几何意义是焦点到准线的距离(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上基础自测1思考辨析(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线()(2)抛物线是双曲线的一支()(3)抛物线的标准方程有四种不同的形式，它们的共同点为“顶点在原点，焦点在坐标轴上”()答案(1)×(2)×(3)2抛物线y28x的焦点

3、坐标是()a(2,0)b(2,0)c(4,0)d(4,0)b抛物线y28x的焦点在x轴的负半轴上，且2，因此焦点坐标是(2,0)3抛物线y28x的焦点到准线的距离是()a1 b2 c4d8c由y28x得p4，即焦点到准线的距离为4.4抛物线x4y2的准线方程是()【导学号：46342105】ay by1 cx dxc由x4y2得y2x，故准线方程为x.合 作 探 究·攻 重 难求抛物线的标准方程根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(3)经过点(3，1)；(4)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点思路探究(1)(2)(3

4、)(4)解(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且，则p，所以所求抛物线的标准方程为x2y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y.(3)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为y22px(p>0)或x22py(p>0)若抛物线的标准方程为y22px(p>0)，则由(1)22p×(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p>0)，则由(3)22p×(1)，解得p.所求抛物线的标准方程为y2x

5、或x29y.(4)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，4，p8，此时抛物线的标准方程为y216x.所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.规律方法1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx或x2ny，这样可以减少讨论情况的个数(3)注意p与的几何意义跟踪训练1根据下列条件确定抛物线的标准方程(1)关于y轴对称且过点(1，3)

6、；(2)过点(4，8)；(3)焦点在x2y40上解(1)法一：设所求抛物线方程为x22py(p0)，将点(1，3)代入方程，得(1)22p·(3)，解得p，所以所求抛物线方程为x2y.法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2my(m0)又抛物线过点(1，3)，所以1m·(3)，即m，所以所求抛物线方程为x2y.(2)法一：设所求抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，将点(4，8)代入y22px，得p8；将点(4，8)代入x22py，得p1.所以所求抛物线方程为y216x或x22y.法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2nx(n0)，又

7、抛物线过点(4，8)，所以644n，即n16，抛物线的方程为y216x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2my(m0)，又抛物线过点(4，8)，所以168m，即m2，抛物线的方程为x22y.综上，抛物线的标准方程为y216x或x22y.(3)由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为(0，2)或(4,0)当焦点为(0，2)时，由2，得p4，所以所求抛物线方程为x28y；当焦点为(4,0)时，由4，得p8，所以所求抛物线方程为y216x.综上所述，所求抛物线方程为x28y或y216x.抛物线的定义的应用(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点m(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛

8、物线方程和准线方程(2)已知抛物线y24x的焦点是f，点p是抛物线上的动点，对于定点a(4,2)，求|pa|pf|的最小值，并求出取最小值时的p点坐标. 【导学号：46342106】(3)已知动圆m与直线y2相切，且与定圆c：x2(y3)21外切，求动圆圆心m的轨迹方程思路探究(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程(2)利用抛物线的定义，把|pf|转化为到准线的距离(3)利用|mc|的长度比点m到直线y2的距离大1求解解(1)设所求抛物线方程为x22py(p>0)，由35得p4，因此抛物线方程为x28y，其准线方程为y2，由m224得m±2.(2)如图，作pnl

9、于n(l为准线)，作abl于b，则|pa|pf|pa|pn|ab|，当且仅当p为ab与抛物线的交点时，取等号(|pa|pf|)min|ab|415.此时yp2，代入抛物线得xp1，p(1,2)(3)设动圆圆心为m(x，y)，半径为r，则由题意可得m到圆心c(0，3)的距离与直线y3的距离相等由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以c(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y.规律方法抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物

10、线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题跟踪训练2(1)已知点p是抛物线y22x上的一个动点，则点p到点a(0,2)的距离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为()ab3c da由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可得，点p到准线x的距离d|pf|，易知点a(0,2)在抛物线y22x的外部，连接af，交y22x于点p，欲使所求距离之和最小，只需a，p，f共线，其最小值为|af| .(2)若位于y轴右侧的动点m到f的距离比它到y轴的距离大.求点m的轨迹方程解由于位于y轴右侧的动点m到f的距离比它到y轴的距离大，

11、所以动点m到f的距离与它到直线l：x的距离相等由抛物线的定义知动点m的轨迹是以f为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y22px(p>0)的形式，而，所以p1,2p2，故点m的轨迹方程为y22x(x0).抛物线的实际应用探究问题已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？提示：以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？思路探究解如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x22py(p>0)，由题意，

12、将b(4，5)代入方程得p，抛物线方程为x2y. 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航设此时船面宽为aa，则a(2，ya)，由22ya，得ya.又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h|ya|2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航规律方法求抛物线实际应用的五个步骤(1)建立适当的坐标系(2)设出合适的抛物线标准方程(3)通过计算求出抛物线的标准方程(4)求出需要求出的量(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题跟踪训练3如图2­4­1是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为()图2­4

13、­1a2.2米 b4.4米 c2.4米 d4米b如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2my，将a(2，2)代入x2my，得m2x22y，代入b(x0，2.42)得x02.2，故水面宽为4.4 m，故选b当 堂 达 标·固 双 基1准线方程为y的抛物线的标准方程为()ax2ybx2ycy2xdy2xb由准线方程为y知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，则p.故所求抛物线的标准方程为x2y.2抛物线yx2的焦点坐标是()a bc(0,1)d(1,0)c抛物线的标准方程为x24y，从而焦点坐标为(0,1)3抛物线y224ax(a>0)上有一点m，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5

14、，则抛物线的方程为()ay28xby212xcy216xdy220xa由题意知6a35，解得a，因此抛物线方程为y28x.4已知抛物线y22px(p0)的焦点f1，若点a(2，4)在抛物线上，则点a到焦点的距离为_. 【导学号：46342107】4把点(2，4)代入抛物线y22px，得164p，即p4，从而抛物线的焦点为(2,0)故点a到焦点的距离为4.5若抛物线y22px(p0)上有一点m，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点m的坐标解由抛物线方程y22px(p0)，得其焦点坐标为f，准线方程为x.设点m到准线的距离为d，则d|mf|10，即(9)10，得p2，故抛物线方程为y24x.由点m(9，y)在抛物线上