自动控制原理31稳定性和代数稳定判据

1、 第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 3-1 稳定性和代数稳定判据稳定性和代数稳定判据 3-2 典型输入和阶跃响应性能指标典型输入和阶跃响应性能指标 3-3 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 3-4 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 3-5 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析 3-6 稳态误差分析稳态误差分析 3-7 基本控制规律的分析基本控制规律的分析 3-8 利用利用matlab进行时域分析进行时域分析研究自动控制系统在典型输入信号作用下研究自动控制系统在典型输入信号作用下输出信号随时间的变化，称为自动控制系统的输出信号随时间的变化，称为自动控制系统的时域分析。时

2、域分析。 时域分析是一种直接在时间域中对系统分时域分析是一种直接在时间域中对系统分析的方法，可根据响应表达式和曲线分析系统析的方法，可根据响应表达式和曲线分析系统的稳、快、准等性能，具有准确、直观等优点。的稳、快、准等性能，具有准确、直观等优点。第三章 控制系统的时域分析重重 点点1. 二阶系统的阶跃响应（尤其是欠阻尼）分析二阶系统的阶跃响应（尤其是欠阻尼）分析及动态性能的改善方法及动态性能的改善方法2. 稳定判据及其应用稳定判据及其应用3. 稳态误差的计算与减小稳态误差的计算与减小ess的措施的措施难难 点点第三章 控制系统的时域分析 3 - 1 稳定性和代数稳定判据稳定性和代数稳定判据线性

3、系统稳定的充要条件：线性系统稳定的充要条件：11()( )( )( )( )()miignjjszc ssr ssksp 11111()( )( )()jminp tigjnjjjszc tlslka esp 设系统处于全零平衡状态，现选单位脉冲信号作设系统处于全零平衡状态，现选单位脉冲信号作为输入信号，即为输入信号，即 ，则系统输出响应为：，则系统输出响应为：( )1r s 假设系统特征根无重根，则假设系统特征根无重根，则11lim ( )limlim0jjnnp tp tjjtttjjc ta eae稳定的充要条件稳定的充要条件（续）（续）1( )jnp tjjc ta e即单位脉冲响应为

4、：即单位脉冲响应为：系统稳定系统稳定jp具有负实部具有负实部系统稳定的充要条件为：系统稳定的充要条件为：系统特征方程的根（即闭环极点）都为负实数或系统特征方程的根（即闭环极点）都为负实数或都都具有负的实部。亦即，特征根都严格位于具有负的实部。亦即，特征根都严格位于s左左半面上。半面上。从系统稳定的充要条件看，要判断一个系统是否稳从系统稳定的充要条件看，要判断一个系统是否稳定，需求出系统的全部特征根。且稳定性是系统的定，需求出系统的全部特征根。且稳定性是系统的固有特性，与系统的结构和参数有关，而与初始条固有特性，与系统的结构和参数有关，而与初始条件和外作用无关。件和外作用无关。稳定的充要条件（续

5、）稳定的充要条件（续）22100a sa sa211201.2242aaa asa二阶系统：二阶系统： 210,aaa当当均大于零时，特征根为负实数或具有负实部，均大于零时，特征根为负实数或具有负实部，系统稳定。系统稳定。010110aa sasa 稳定的充要条件（续）稳定的充要条件（续）一阶系统：一阶系统：当当大于大于0时，特征根为负，系统是稳定的。时，特征根为负，系统是稳定的。01,a a高阶系统的稳定性需借助于稳定性判据。高阶系统的稳定性需借助于稳定性判据。即，若果系统特征方程出现即，若果系统特征方程出现缺项缺项或或系数符系数符号互异号互异的情况，系统肯定是不稳定的。的情况，系统肯定是不

6、稳定的。劳斯（劳斯（routh）于）于1877年提出的稳定性判据能够判定一年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程是否存在位于复平面右半部的正根，而不个多项式方程是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。但把它应用于判定系统的稳定性时，又称必求解方程。但把它应用于判定系统的稳定性时，又称为代数稳定判据。为代数稳定判据。劳斯稳定判据的应用程序如下：劳斯稳定判据的应用程序如下：（1）写出系统特征方程：）写出系统特征方程： 。并整理成如。并整理成如下形式：下形式：1( )0kgs111100nnnna sasa sa即，若系统特征方程出现即，若系统特征方程出现缺项缺项或或系数符号互异系数符号互

7、异的的情况，系统肯定是不稳定的。不必再使用稳定判情况，系统肯定是不稳定的。不必再使用稳定判据进行判断。据进行判断。（2）特征方程所有系数均存在且大于特征方程所有系数均存在且大于0，这是系统稳定，这是系统稳定的必要条件。的必要条件。（3）若特征方程所有系数均存在且大于）若特征方程所有系数均存在且大于0，则按下面的，则按下面的方式编制劳斯表：方式编制劳斯表：（2）、劳斯判据）、劳斯判据nn-2n-1n-3n-1n-2nn-31n-1n-1nn-3n-2n-1aaaaaa-a ab = -=aaa a= a-ann-4n-1n-5n-1n-4nn-52n-1n-1nn-5n-4n-1aaaaaa-a

8、 ab = -=aaa a= a-a三、劳斯判据的应用三、劳斯判据的应用 例例13232100a sa sa sa解：解： s3s2s1s0a3 a1a2 a0 0a012302a aa aa由劳斯判据得三阶系统稳定的条件为：由劳斯判据得三阶系统稳定的条件为：12301. 0 (0,1,2,3); 2. 0iaia aa a 例例205432234 ssss0554356110412462101234 sssss解：解： 所以系统不稳，所以系统不稳，且有两个右根。且有两个右根。 例例302233234 ssss解：解：3026223274718147373293101234同乘以同乘以 sss

9、ss所以系统不稳，所以系统不稳，且有两个右根。且有两个右根。 为简化计算，可用某个正数去乘或除劳斯表中任意一行，为简化计算，可用某个正数去乘或除劳斯表中任意一行，不会改变稳定性的结论。不会改变稳定性的结论。1、如果劳斯表第一列中出现、如果劳斯表第一列中出现0，则可用一个小的，则可用一个小的正数正数 代替它，然后继续计算。代替它，然后继续计算。这种情况系统肯定是不稳定的，当第一列元素无符这种情况系统肯定是不稳定的，当第一列元素无符号改变，表明系统有一对纯虚根；有符号改变时，号改变，表明系统有一对纯虚根；有符号改变时，表明系统有表明系统有s右平面的根。右平面的根。劳斯判据两种特殊情况的处理劳斯判据

10、两种特殊情况的处理i： 显然系统不稳，且有两个右根。显然系统不稳，且有两个右根。010121102202101234 sssss0122234 ssss 解：解： 例例4 3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析劳斯判据两种特殊情况的处理劳斯判据两种特殊情况的处理i：2、劳斯表的某一行各元素均为零，说明特征方程、劳斯表的某一行各元素均为零，说明特征方程 有关于原点对称的根有关于原点对称的根.处理方法：利用全零行的上一行构筑处理方法：利用全零行的上一行构筑一辅助多项式一辅助多项式，再用该，再用该辅助多项式的导函数辅助多项式的导函数替代全零替代全零行，行， 继续计算。继续计算。 3-5 线

11、性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析劳斯判据两种特殊情况的处理劳斯判据两种特殊情况的处理ii：在这种情况下，系统肯定不稳定；而且对称于原点的在这种情况下，系统肯定不稳定；而且对称于原点的根可用辅助方程求得。根可用辅助方程求得。sssss5432533220例例。解：解： 3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析. 064. 02322263323223411324012345 ssssssssss求导：求导：辅方：辅方：全全0行行4322( )32 (1)(2)0q sssss 由由得关于原点对称的根为：得关于原点对称的根为：, 2jj劳斯判据两种特殊情况的处理劳斯判据两种特殊情况的

12、处理ii： 1、判断系统稳定性（前述）、判断系统稳定性（前述）2、分析系统参数变化对稳定性的影响：、分析系统参数变化对稳定性的影响：利用判据可确定个别参数变化对系数稳定性的利用判据可确定个别参数变化对系数稳定性的影响，影响，以及以及使系统稳定的参数取值范围使系统稳定的参数取值范围。 稳定判据的应用：稳定判据的应用： 3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析3、确定系统的相对稳定性、确定系统的相对稳定性4、结构不稳定系统及其改进措施、结构不稳定系统及其改进措施试确定使系统稳定的开环放大系数试确定使系统稳定的开环放大系数k的取值范围及临界值的取值范围及临界值kp 例例6单位反馈系统的开环传

13、递函数为：单位反馈系统的开环传递函数为：( )(0.11)(0.251)kkg ssss(0.11)(0.251)0sssk由劳斯判据确定某参数的取值范围由劳斯判据确定某参数的取值范围 3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析解：系统的特征方程为：解：系统的特征方程为：即即321440400sssk014 40 1 400kk 使系统稳定的开环放大系数使系统稳定的开环放大系数k的范围为：的范围为：014k临界放大系数为：临界放大系数为：14pk由劳斯判据确定某参数的取值范围由劳斯判据确定某参数的取值范围 ，确定使系统稳，确定使系统稳 定的临界值定的临界值 （k为开环放大系数）为开环放大

14、系数） 例例7单位反馈：单位反馈：gkkg ss ss( )(1)(2) , gppkkggkkkg sks ss2( )(1)(0.51)2解解：32( )320gd sssskigak100），要要求求； 3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析系统特征方程：系统特征方程：由劳斯判据确定某参数的取值范围由劳斯判据确定某参数的取值范围2) 32106; 06, 6ggggpkkkk 3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析系统参数变化对稳定性的影响系统参数变化对稳定性的影响gpkkkk03 32而而，所所以以有有，即即。 1、判断系统稳定性（前述）、判断系统稳定性（前述）2、

15、分析系统参数变化对稳定性的影响：、分析系统参数变化对稳定性的影响：利用判据可确定个别参数变化对系数稳定性的利用判据可确定个别参数变化对系数稳定性的影响，影响，从而从而给出使系统稳定的参数取值范围给出使系统稳定的参数取值范围。 稳定判据的应用：稳定判据的应用：3、确定系统的相对稳定性、确定系统的相对稳定性4、结构不稳定系统及其改进措施、结构不稳定系统及其改进措施系统的相对稳定性（稳定裕度）：系统的相对稳定性（稳定裕度）：确定系统的相对稳定性确定系统的相对稳定性虚轴是系统的临界稳定边界，我们以特征方程虚轴是系统的临界稳定边界，我们以特征方程最靠近虚轴的根与虚轴的距离最靠近虚轴的根与虚轴的距离 来表

16、示系统的来表示系统的相对稳定性或稳定裕度。一般相对稳定性或稳定裕度。一般 越大系统的稳越大系统的稳定度越高定度越高 。s z 确定系统稳定裕度的做法：确定系统稳定裕度的做法：以以 代入原特征方程，得到以代入原特征方程，得到以z为变量的方程；为变量的方程；把劳斯判据应用于把劳斯判据应用于z方程；方程；若满足稳定的充要条件，则系统具有若满足稳定的充要条件，则系统具有 的稳定裕度。的稳定裕度。解解: 系统特征方程为：系统特征方程为：32(1)14(1)40(1) 400zzzk 将将s=z-1代入特征方程得：代入特征方程得： 确定系统的相对稳定性确定系统的相对稳定性 例例8单位反馈系统的开环传递函数

17、为：单位反馈系统的开环传递函数为：( )(0.11)(0.251)kkg ssss 若要使系统具有若要使系统具有=1=1以上的稳定裕度，试确以上的稳定裕度，试确定定k的取值范围。的取值范围。321440400sssk整理得：整理得：321115(4027)0zzzk确定系统的相对稳定性确定系统的相对稳定性321115(4027)0zzzk4027011 15(4027)0kk0.6754.8kk=0.675时，系统有一特征根时，系统有一特征根-1；k=4.8时，系统有一对特征根时，系统有一对特征根-13.87j；041310223 sss1 设设例例9. ，检验之。，检验之。解解: 1)先判原

18、系统稳定与否：先判原系统稳定与否：0ia210 132 41220d 所以稳定。所以稳定。041310223sss014223zzz2)将将 s = z-1代入代入 中得到：中得到： 确定系统的相对稳定性确定系统的相对稳定性显然，系统不具有显然，系统不具有=1的稳定裕度。的稳定裕度。)10)(4()( sssksggk确定系统的相对稳定性确定系统的相对稳定性答案：答案：(1) 0560(2) 27192kgkg 1、判断系统稳定性（前述）、判断系统稳定性（前述）2、分析系统参数变化对稳定性的影响：、分析系统参数变化对稳定性的影响： 稳定判据的应用：稳定判据的应用：3、确定系统的相对稳定性、确定系统的相对稳定性4、结构不稳定系统及其改进措施、结构不稳定系统及其改进措施结构不稳定系统：仅靠调整参数无法稳定的系统。结构不稳定系统：仅靠调整参数无法稳定的系统。改造措施：改造措施：改变积分环节的性质改变积分环节的性质; 引入比例微分环节。引入比例微分环节。结构不稳定系统及其改进措施结构不稳定系统及其改进措施系统的特征方程为：系统的特征方程为：32120mmt ssk k k缺项，不稳定缺项，不稳定一般，单位反馈系统，若其前向通道包含两个或一般，单位反馈系统，若其前向通道包含两个或两个以上的