十系01研丁海洋(精)

1、十系01研丁海洋MCM87 问题A.盐的存贮美国中西部一个州把冬天用来洒在马路上的盐存贮在一个球顶仓库里大约有15年了。下图表 示在过去15年中盐是怎么存贮的。通过驾驶铲斗车在由盐铺成的坡道上进出仓里并利用铲斗车上的铲子把盐装进仓里或从仓里取出来doorand 血附 10ft 9in. high Ift dtameier最近，一个小组确定这种做法 是不安全的。如果铲斗车太靠近盐堆 的顶端，盐就要滑动，而铲斗车就要 翻到为加固仓库而筑的拥壁上去。小 组建议，如果盐堆是用铲斗车堆起来 的，那么盐堆的最高高度不要超过 15英尺。对这种情况建立一个数学模型 并求得在仓库中的盐堆的最大高度。图中仓高50

2、英尺，拥壁高4英 尺，仓的外直径103英尺，门的净空高19英尺9英寸，铲斗车高10英尺9英寸本题是由印第安大学的M Thompson提供的。是从出现在1986年11月的IndianapolisStar的一个实际问题改造而成的盐堆稳定性问题美国中西部一个州把冬天用来洒在马路上的盐存贮在一个球顶仓库里大约有15年了。下图表 示在过去15年中盐是怎样存贮的。通过驾驶铲斗车在由盐铺成的坡道上进出仓里，并利用铲斗车 上的铲子把盐装进仓里或从仓里取出来，一般把盐堆到2530英尺高。后来，一个调查小组认为这 种做法是不安全的，如果铲斗车太靠近盐堆的顶端，盐就要滑动，这时铲斗车就要翻到为加固仓库而筑的拥壁上去

3、。因此小组建议，如果盐堆是用铲斗车堆起来的，那么盐堆的最高高度不要超过15 英尺（即，如果盐堆最高高度不超过15英尺时，铲斗车在盐堆上行驶是绝对安全的）, 110 ft diameierdcnr d&aranceand kudar 10ft 9in. high图中仓高50英尺，拥壁高4英 尺，仓的外直径103英尺，门的净空 高19英尺9英寸，铲斗车高10英尺 9英寸。在这种情况下，建立一个数学 模型，估计在仓库中的盐堆的最大高 度。在解决这个问题之前，我们先 对实际情况作如下假设1. 4英尺的拥壁可以承受来自 贮藏在仓中盐堆的压力。2盐堆的斜坡可以铺的非常平坦，足以使它能承受盐堆中盐的

4、压力，即盐的斜面能承受拥壁 所需承受的压力。3盐堆中被拥壁所包围部分可以忽略，因此盐可以看成堆在无壁的平面上。4盐堆是通行的，即：盐粒子有相同的大小、形状、重量、密度、内、外摩擦系数、温度， 这些均与时间无关。5盐堆中的盐是均匀堆积的。6铲斗车是行驶在连续二维盐堆曲面上。7铲斗车的加速度对盐堆无影响。8盐堆表面可视为一斜面。9盐与土壤有如下类似性质：（1）在受力状态下的性质与土壤类似。（2）产生裂缝的情况与土壤类似。（3）支撑物体的方式与土壤类似。（4）压塑性与土壤类似。10内摩擦系数趋向无限大（即内部无相对运动）。 11内摩擦系数为有限数（即内部运动或断裂是可能的），这时又分两种情况：（a）

5、铲斗车可以在盐堆的任何地方安全行驶。（1）盐堆的形状是具有常倾角的圆锥。（2）锥顶被磨光对盐堆的体积或高度影响甚微。（b）在对盐时，铲斗车在任何时候都不能超越盐堆的顶脊。（1）堆的形状是削顶锥（2）削顶锥可以看成是有无限多个三角形薄板组成的。（3）锥的顶峰被磨光，对盐锥的体积和高度无显著影响。 下面引入若干记号及术语g= 重力，口=铲斗车的质量，A=铲斗车在盐上时与盐堆接触的面积卩=外摩擦系数（盐与钢）1,P9uf内摩擦系数（盐与钢）1,P9g盐堆的静止角（内摩擦的临界角）2,P163gtg1 u=35.9420P =盐的体密度N=铲斗车在斜面上的法向力h二盐堆的高度P=铲斗车作用载盐堆上的应

6、力=mg/Ad=拥壁的直径=103英尺二拥壁的高=4英尺模型I在假设1-8和10的条件下，盐堆内有无限大摩擦系数，盐堆表面可视为摩擦系数为ys的 理想斜平面，由质点动力学3,第6章。做受力图(图2),其中B未能支撑铲斗车的盐堆的 最大倾面，或叫作临界角。(a)斜面图1那ffF tufi(b)自由受力图 图2模型1的古典物理解释由平衡条件可得：' F = 0mg si n ： = NJs, mg cos ： = N.tg =七，：二tg七则盐堆高(不包括拥壁的4英尺)，2 2若乞二 0.627，则盐堆高二 h 4 = 103 0627 4 =36.3英尺2若盐堆高=h 30，则tg 1

7、=0.5也就是说：若七= 0.627，则盐堆的最大高为36.3英尺；一个高为30英尺的盐堆，只要Js 0.50，铲斗车在盐堆上工作是安全的。模型I是完全理想状况下建立的，实际上不可能，所以引入下面模型。模型U在假设1-7，9和11的条件下，将盐看成土壤，其内膜擦系数为有限数，即内部运动或断裂时可能的。通常岩石和土壤用库仑剪切破裂准则表示剪切滑动的开始，它表示成.二 C VgG(1)其中C称为粘聚力。©称为内摩擦角，T是破裂面上的剪应力，C是破裂面上的正应力。上式表明，当一个面上的剪应力满足上式时，将发生剪切滑动。由于盐的粘聚力为零，所以(1)变为二匚 tg=(2)一、求二,-按应力分

8、析的方法，取出分离体ABC，如图3。t*"n/-»F 皆 *jvi设 L=AB Lsi nACLeos： = BCP=mg/A 二x 二 psin l：.：y=pcos：由平衡条件：v Fs =0，得L - Z cos ：- - L sin - L ；cos ： = 0L-Ysin： - L sin： -L；cos-： L?gsin： cos： - 0 x+dy by5 bos2a二 er = +2 2由平衡条件：F- = 0，得-L 'sLsi n-：: cos* 亠yLsi n-：: si n： =0疤Sbi nNT =2由应力分析知 2=90°，,且

9、t - -'f (见2 , P.163)二、求临界角B1.应力分析法由(2)得1tg:：J由（3），（4）得1C:x 二 y=I +tg址2匚x ；y；y -；x cos2 ；y -；x sin 2：2ctg" ctg 2：(J "x sin2o(由此可推出sin2ctgctg2：= psn pcos： y -crx pcosP - psn 卩 ctg ： -1由此可得：sn &(ctgctg2a )-1:=ctg 1 1| sin 2很ctg ：-ctg2：-12. 模尔（Mohr）图法见7作模尔图如图4£x =£x.r 二y-二(8)

10、有式(6) -(8)得：2_ sin2：ctg ：-1 tg:：J-；1 cos2：2tgctg :sin 2口 一(1 +cos2a tg一 ctg_泄| sin2：1 cos2： tg(9)设r为模尔圆的半径，图5三、模型n（a）在条件11 （a）假设下，盐堆形状具有常倾角的圆锥，要求铲斗车可以在盐堆的任何地方安全行驶，故盐堆倾角为B,如图5。1 （d弓由圆锥体积=丄兀-丨h（10）3、2）圆锥高二一 tg “心（11）2盐堆体积=恵d2h 12 -d（12）4若Y =0.725 （盐的内摩擦系数平均值），则由（5）或（9）可算出一：=14.6由（11）可算出盐堆最大高度为17.4英尺四、

11、模型n（ b）由于模型U（ a）不能有效地利用贮存设备，为了增加贮存设备的效率，将假设条件11 （a）改为11 （b），盐堆的背面保持最大角度，前面用临界角，如图6。贬，又sin "xy，三角形面积二x2sin飞木'2sn 二P sn 會 dZ - 2s i n D4 zd - z22s P nS P sn 誓dZ d3s图6这样可以增大盐堆体积，但是必须限制铲斗车仅能在盐堆前面工作，不能越过盐堆的顶脊。1.盐堆的体积由正弦公式：並'y,xsin Psin-h 二X2 = 4 zd _ z2 盐堆体积二宀"3sin 二sin -2.盐堆n(b)的最大高度d sn : sind sin : sin当x