2020年渭南市高中必修二数学下期中试题(附答案)

1、2020年渭南市高中必修二数学下期中试题（附答案）、选择题1.设1为直线，是两个不同的平面，卜列命题中止确的是()A.若1 /l/，则/B.若1, 11，则 /C.若1,l/，则/D.若，l / ，则 l2.已知m,n是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A.若m，则mB.若m,n，则m nC.若m,m，则 m/D.若1m , nm，则n3.三棱锥P-ABC 中，PA丄平面 ABC , AB丄BC,FA=2,AB=BC=1 ,则其外接球的表面积为（ ）A. 6B. 5C. 4D.34.已知直线m、n及平面，其中m /n,那么在平面内到两条直线m、n距离相等的

2、点的集合可能是：（1） 一条直线；（:2） 一个平面；（3） 一个点；（4）空集。其中正确的是（）A.(1)( 2)( 3)B.(1)( 4)C.( 1)(2)(4)D.(2)(4)5.设 表示平面, ab表示直线，给出下列四个命题：a,abb ;a b , ab: a, a b b:a,ba b ,其中)正确叩题的序号是（A.B.c.D.6.如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线AD1与AC所成的角的大小是(A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°7.已知三棱锥S ABC的每个顶点都在球 O的表面上，ABC是边长为4乜的等边三

3、角形，SA 平面ABC，且SB与平面ABC所成的角为一，则球O的表面积为（）6A. 20B. 40C.80D. 160&已知圆M:x +y +2y0与直线1：:ax y3a 50，则圆心M到直线l的最大距离为（）10.已知直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，M为AG的中点，贝U AM与BC1所成角的余弦值为（）A.卫B.±1D.迈334411.若圆锥的咼等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A. 5B. 6C. 3.59. 一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为D. .41( )1EI主腹阳A. 1 : 2C. 1 : .512. 已知平面且 I 丨，M直

4、线，则下列说法中错误的是（）A.若 m 且 mil ，则 m/lC.若 M m且 m/l，则 m二、填空题13. 若一个圆柱的侧面展开图是边长为14. 点（5,2）到直线（m 1）x （2mB. 1 ： ,3D. . 3 : 2是平面 内一点，m , n是异于I且不重合的两条B.若m 且n，贝y m nD.若Mm且m I，则m2的正方形，则此圆柱的体积为 .1）y m 5的距离的最大值为.15. 已知平面a,3,Y 是空间中三个不同的平面，直线I , m是空间中两条不同的直线，若 a丄丫，丫门久=m,Y3= I , I丄m贝0丄3;I丄a；B丄丫；a丄由上述条件可推出的结论有 （请将你认为正确

5、的结论的序号都填上）.16. 圆台的两个底面面积之比为4： 9，母线与底面的夹角是 60°轴截面的面积为180 J3，则圆台的侧面积为.17. 直线x y 10与直线x ay 20互相垂直，则a .18. 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为.19. 若直线l:kx y 20与曲线c : 1 y 1 2 x 1有两个不同的交点，则实数 k的取值范围20.已知圆x22y5和点A 1,2，则过点A的圆的切线方程为三、解答题21.如图所示，四棱锥SABCD 中，SA底面 ABCD , ABC 90° ,SA2, AB

6、3 ,BC1 , AD 2 3 ,ACD 60°， E为CD的中点(1)求证：BC/平面SAE ;(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值22.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AD 平面ABC，其垂足D落在直线 AB 上.(I)求证：BC AB ；(H)若P是线段AC上一点，AD 、3AB BC 2，三棱锥A PBC的体积为色，求AP的值3 PC23.如图，AB是半圆0的直径，C是半圆0上除A, B外的一个动点，DC垂直于半圆0 所在的平面， DC / EB, DC = EB = 1, AB = 4.(1) 证明：平面 ADE丄平面ACD ;(2) 当C点为半圆的中点时，

7、求二面角D - AE-B的余弦值24.已知直线 11: ax y a 20 , l2: x ay 20，点 P( 5,0)(1 )当If/J时，求a的值；(2)求直线l1所过的定点Q,并求当点P到直线h的距离最大时直线l1的方程.2 125. 已知圆C : x 1 y 4内有一点P ,1，过点P作直线I交圆C于A, B两点.2(1) 当点P为AB中点时，求直线|的方程；(2) 当直线|的倾斜角为45°时，求弦AB的长.26. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=3, E 在 CC 上且 CE 2EC1 .(1 )若F是AB的中点，求异面直线 GF与AC所成角的大小；(2)

8、求三棱锥B1 DBE的体积.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1. B解析：B【解析】A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，,也可能相交；D中，I也可能在平面内【考点定位】点线面的位置关系2. C解析：C【解析】由题设，则A.若m ，则m ，错误；B.若m , n ，贝y m n错误；D.若m , n m，当n时不能得到n ，错误故选C.3. A解析：A【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以AP, AB,BC为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果详解：因为PA 平面AB , AB,BC 平面ABC ,PA BC , PA AB,Q

9、AB BC,所以三棱锥的外接球，就是以 AP, AB, BC为长宽高的长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的对角线，即2R 4II6，所以外接球的表面积为：4 R26，故选 A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题要求外接球的表面积和体积,关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有： 若三条棱两垂直则用 4R2 a2 b2 c2（ a, b,c为三棱的长）； 若SA 面ABC（ SA a）,则4R2 4r2 a2（ r为 ABC外接圆半径） 可以转化为长方体的外接球； 特殊几何体可以直接找出球心和半径4. C解析：C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确

10、的只需举出反例，正确的作出证明，即可 得到答案【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2）,直线a,b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符 合题意的点；如图（3）,直线a,b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（1）（ 2）（ 4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关 系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题5. B解析：B【解析】【分析】【详解】 a/ a, a丄b?b与a平行，相交或b? a,故错误； 若a / b, a丄

11、a，由直线与平面垂直和判定定理得b丄a，故正确； a丄a, a丄b? b与a平行，相交或b? a,故错误； 若a丄a, b丄a，则由直线与平面垂直的性质得a / b，故正确.故选B.6. C解析：C【解析】【分析】在正方体ABCD A1B1C1D1中，利用线面垂直的判定定理，证得AD1平面A1DC，由此能求出结果.【详解】如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，连结 AD，则AD1 DC , A(D AD1 , 由线面垂直的判定定理得 AD1 平面A1DC，所以AD1 AC , 所以异面直线ADi与AC所成的角的大小是90°.故选C.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判

12、定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中 牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的 培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7. C解析：C【解析】【分析】根据线面夹角得到 SA 4，计算 ABC的外接圆半径为r4 ,2sin A2R2 r2SA ，解得答案2【详解】SA平面ABC，则SB与平面ABC所成的角为 SBA 一，故SA 4.6ABC的外接圆半径为r苟 4，设球°的半径为R，2则r2 r2SA ，解得R 2 5，故球o的表面积为4 r2 80 .2故选：C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象

13、能力8. A解析：A【解析】【分析】得到答计算圆心为M 0, 1 , ax y 3a 5 0过定点N 3, 5，最大距离为 MN ,案【详解】2 2 2 2圆 M: x +y +2y 0，即 x y 11，圆心为 M 0, 1 ,ax y 3a 50过定点N 3, 5，故圆心M到直线l的最大距离为 MN 5 故选：A 【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点N 3, 5是解题的关键 9. C解析：C【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中 底面25边长为1,侧面1门 平面，点卜I在底面的射影为所以PE 丄 ADtDE = 1AE =

14、 4rPf = 4,所以PA =M'厂底面边长为I，所以最长的棱长为 1 1,故选C.考点：简单几何体的三视图.+ AE2 = 5 阳= 卩以+ BE1 = PC = PE2 + CE2 = 3310. D解析：D【解析】【分析】取AC的中点N，连接CiN，则AM /CiN ,所以异面直线 AM与BCi所成角就是直线 AM与CiN所成角，在 BNCi中，利用余弦定理，即可求解.【详解】由题意，取 AC的中点N，连接C1N，则AM /C1N ,所以异面直线 AM与BCi所成角就是直线 AM与CiN所成角，设正三棱柱的各棱长为 2,则G叫.?5, BCi 2.2, B叫,./3，设直线AM

15、与CiN所成角为，在BNCi中，由余弦定理可得cos （'5）2 （2问）2_（3 迈，2 V5 2 血4即异面直线AM与BCi所成角的余弦值为-l0，故选D.4【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11. C解析：C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r，则高h = 2r ,其母线长1=?.辽rS侧=nl = .jpn2, S底=n故选C.【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题.12

16、. D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可【详解】选项A :一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A正确；选项B :垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B正确；选项C: M m且m/l得m 且m/ ，故C正确；选项D: M m且ml不一定得到 m ，所以m,l可以异面，不一定得到 m . 故选：D.【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和 性质定理是解决本题的关键，是基础题二、填空题13. 2n【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2 n r=2r=1 ：故底面面积S=n r2=

17、 nX （1 n故圆柱的体积V=Sh=1nX 2=考点 :圆柱 的体积2解析：【解析】1试题分析：设圆柱的底面半径为 恫，高为沧，底面积为歩，体积为则有- 亠一卅,1 2 112£ = TTJ.Z = 7T X.故底面面积用盯，故圆柱的体积V = Sh = -X2=nn考点：圆柱的体积14. 【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点 的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值 就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两 解析：2. 13【解析】【分析】先判断m1 x 2m1y m 5过定点9, 4，可得点（5,

18、2）到直线m 1 x2m 1 ym5的距离的最大值就是点(5, 2)与点9, 4的距离，从而可得结果【详解】化简m 1x 2m 1ym 5可得m x 2y1x y50,由 x 2y 10 x 9x y 5 0 y 4 所以mix 2m 1 y m 5过定点9, 4 ,点(5,2)到直线 m 1 x 2m 1 y m 5的距离的最大值就是点(5,2)与点9, 4的距离为.4 262522.13 ,故答案为2.13.【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于 中档题转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问 题的难度大大降低，

19、本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化 巧妙15 【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面侨口面Y可成任意角度和面a必垂直所以直线m可以和面减任意角度不正 确；I? 丫丄m所以I丄a正确；显然不对；因为1?P£ a解析：【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面 3和面丫可成任意角度，和面 a必垂直所以直线 m可以和面3成任 意角度，不正确；I ? 丫，I丄m所以I丄a,正确；显然不对；因为 I ? 3, I丄a,所以 a丄3，正确.故答案为【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌

20、握水平，属于基础题16. 【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径 为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面 的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半 解析：360【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为 4:9，得到半径比，设出上底半径为 2k，下底半径为3k , 由因为母线与底面的夹角是 60o，得到母线长为2k，高为,3k .就可以根据轴截面的面积 解出k 6，代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为 4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为 2k，下底半径为3k ,由于母线与底面的夹角是

21、60°，所以母线长为2k，高为.3k .由于轴截面的面积为180、. 3，所以 4k 6k .： 3k2180-.3，解得 k 6.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12所以圆台的侧面积为12 18 12360 .故答案为：360【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题17. 【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线 互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档 题解析：1【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可 【详解】因为直线x y 10与直线x ay 20互相垂直，所以1

22、 1 a 0解得a 1.故填1.【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题18. 【解析】如图过 S作SO1丄平面ABCD由已知=1在RtASO1C中：SC = O1S= O1A= O1B = O1C = O1D故O1是过SABCD点的球的球心 二球的半 径为r= 1 球的体积为点睛：与球有关的组合4解析：43【解析】1如图，过S作SOi丄平面ABCD，由已知 OiC ACi=1在Rt SOiC中，2T SC = 2，二 SO 7SC2O1C2 1 , OiS= OiA = OiB= OiC= OiD，故 Oi 是过S, A , B , C, D点的球的球心， 球的半径为r = i,

23、434球的体积为r3-.3 3点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确 切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方 体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体 的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径i9.【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可 知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则-解析：-,23【解析】【分析】2 2由题意可知，曲线 C为圆X i y i

24、i的右半圆，作出直线I与曲线C的图象，可知直线I是过点0, 2且斜率为k的直线，求出当直线I与曲线C相切时k的值，利用数 形结合思想可得出当直线l与曲线C有两个公共点时实数 k的取值范围.【详解】对于直线l : y kx 2，则直线l是过点P 0, 2且斜率为k的直线，对于曲线 C :1 y 1 2 x 1，则 x 10 x 1 ,2 2曲线C的方程两边平方并整理得 x 1 y 11,2 2则曲线C为圆x 1 y 11的右半圆，如下图所示：当直线I与曲线C相切时,0，且有1，解得k -,3当直线I过点A 1,0时，则有k 20,解得k 2.结合图象可知，当k4,2时，直线I与曲线C有两个交点3

25、4故答案为：,2 .3【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用， 属于中等题20.【解析】【分析】先由题得到点 A在圆上再设出切线方程为利用直线和圆 相切得到k的值即得过点A的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线 方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以解析：x 2y 5【解析】【分析】先由题得到点A在圆上，再设出切线方程为y 2 k(x 1),利用直线和圆相切得到 k的值，即得过点A的圆的切线方程.【详解】因为12 22 5，所以点A 1,

26、2在圆上，设切线方程为 y 2 k(x 1),即kx-y-k+2=0,因为直线和圆相切，所以11所以切线方程为一X y 2 0,22所以切线方程为x 2y 5,故答案为：x 2y 5【点睛】(1)本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能|Ax0 By0 C 力.(2)点 P(Xo, yo)到直线 l : Ax By C 0 的距离 d _.Ja2 b2三、解答题21. (1)见解析；(2).7【解析】【分析】(1 )在 ACD中，由余弦定理可解得：CD 4所以AC2 AD2 CD2，所以 ACD是直角三角形， 又可证 ACE为等边三角形，所以CAE 600BC

27、A，所以BC/AE，即可证明BC/平面 SAE;(2):由(1)可知 BAE 900，以点A为原点，以AB , AE , AS所在直线分别为x 轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线 SD与平面SBC所成角的正 弦值【详解】(1)证明：因为 AB 、3 , BC 1 , ABC 90° ,所以 AC 2, BCA 600 , 在 ACD 中，AD 2 3, AC 由余弦定理可得： AD2 AC2 解得：CD 4所以AC2 AD2 CD2，所以又E为CD的中点，所以AE2 , ACD 600,CD2 2AC?CDcos ACDACD是直角三角形，1-CD CE2又 AC

28、D 60°，所以 ACE为等边三角形， 所以 CAE 600BCA，所以 BC/AE ,又AE 平面SAE , BC 平面SAE , 所以BC/平面SAE.(2)解：由(1)可知 BAE 900，以点A为原点，以AB, AE , AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则S 0,0,2 , B '.3,0,0 , C 3,1,0 ,D .3,3,0uuv,SD.3,3,所以x, y, z为平面SBC的法向量，则nSBvuuvn SC0，即0.3x 2z 0、3xy 2z 01，则y 0, z 3，即平面SBC的一个法向量为n2vuuvn SDvuuvn SDco

29、s n,SD217所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为,2171,0与，【点睛】不妨考查线面平行的证明以及利用空间向量求线面角，属中档题 22. （ 1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】【详解】试题分析：AD与平面A BC垂直可（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC，由已知得AD BC,再由直三棱柱中侧棱 AA与底面ABC垂直，又得 AA BC，从而可得BC与平面ARB垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1 ）知 ABC是等腰直角三角形， 可得其面积，由 AD A|B可通过解直角三角形得 AA,，从而可求得三棱锥 A1 ABC的AP体积由三棱锥 A PBC与三棱锥A ABC

30、的关系可求得 PC，从而得.（也可设PCPC x，求得三棱锥 A PBC （用x表示），再由已知列方程解得 x）. 试题解析：(1 )T AD 平面 ABC , BC 平面 AiBC , AD BC，在直三棱柱 ABC A1B1C1中易知AA1 平面ABC ,AA| BC ,. AA1 I AD A , BC 丄平面 AA1B1B ,平面AABiB , BCA1B.(2 )设PC x，过点B作BE AC于点E，由(1 )知BC丄平面AA1B1B , BCAB. ABAC 2.2, BE 2 ,1BE CP2- AD平面A1 BC ,其垂足D落在直线A1B 上, ADA1B AABA,AD ,3

31、,AB 2,在RtABD 中,BD . AB2 AD21，又 AD2 BD AD AD 3,在RtADA1 中,AA .AD2 AD2-VA11SPBC3PBC AA1又三棱锥A PBC的体积为 AP玄，-竺4 PC23.(1)证明见解析(-26【解析】【分析】(1 )由BC丄AC, BC丄CD得BC丄平面ACD，证明四边形 DCBE是平行四边形得DE / BC,故而DE 平面ACD，从而得证面面垂直；(2 )建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小【详解】(1)证明： AB是圆0的直径， AC丄BC,/ DC丄平面 ABC, BC?平面 ABC, DC 丄 BC

32、,又 DC n AC= C, BC丄平面ACD ,/ DC / EB, DC = EB,四边形DCBE是平行四边形， DE / BC, DE丄平面ACD,又DE?平面ADE,平面 ACD丄平面 ADE.(2)当C点为半圆的中点时， AC= BC= 2 2 ,以C为原点，以CA, CB , CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则 D (0, 0, 1), E (0, 2 2 , 1), A (2 .2，0, 0), B (0, <2，0),uiuuuuuuuuuu- AB(- 2.2, 2 2, 0), BE(0, 0, 1),DE(0, 2 . 2, 0), DA(2 , 2 , 0 , - 1),设平面DAE的法向量为m (X1 , y1 , z1),平面ABE的法向量为n(X2 , y2 , Z2),rm rmDA00 WAWB rn rnKT o2y2令 X1=1 得 m ( 1,0, 2 2)，令 x2= 1 得 n ( 1, 1, 0)r r二 cos<m, n>rn InrmA_z6面角D - AE - B是钝二面角,面角D - AE - B的余弦值为本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题24.( 1)a 1 ；( 2)Q(1,2) ； 3x y 50.【解析】【分析】(1)由平