高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线练习理北师大版0510481

1、1第第 7 7 讲讲双曲线双曲线一、选择题1.(2017郑州模拟)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为()a.y12xb.y22xc.y 2xd.y2x解析因为 2b2，所以b1，因为 2c2 3，所以c 3，所以ac2b2 2，所以双曲线的渐近线方程为ybax22x，故选 b.答案b2.(2015广东卷)已知双曲线c：x2a2y2b21 的离心率e54，且其右焦点为f2(5，0)，则双曲线c的方程为()a.x24y231b.x29y2161c.x216y291d.x23y241解析因为所求双曲线的右焦点为f2(5，0)且离心率为eca

2、54，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为x216y291，故选 c.答案c3.(2017山西省四校联考)已知双曲线c：x2a2y2b21(a0，b0)，右焦点f到渐近线的距离为 2，点f到原点的距离为 3，则双曲线c的离心率e为()a.53b.3 55c.63d.62解析右焦点f到渐近线的距离为 2，f(c，0)到ybax的距离为 2，即|bc|a2b22，又b0，c0，a2b2c2，bccb2，又点f到原点的距离为 3，c3，ac2b2 5，离心率eca353 55.答案b4.已知f1，f2为双曲线c：x2y22 的左、右焦点，点p在c上，|pf1|2|pf2|，则 cos

3、 2f1pf2()a.14b.35c.34d.45解析由x2y22，知ab 2，c2.由双曲线定义，|pf1|pf2|2a2 2，又|pf1|2|pf2|，|pf1|4 2，|pf2|2 2，在pf1f2中，|f1f2|2c4，由余弦定理，得cos f1pf2|pf1|2|pf2|2|f1f2|22|pf1|pf2|34.答案c5.(2017成都调研)过双曲线x2y231 的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于a，b两点，则|ab|()a.4 33b.2 3c.6d.4 3解析由题意知， 双曲线x2y231的渐近线方程为y 3x， 将xc2 代入得y2 3，即a，b两点的坐标分别

4、为(2，2 3)，(2，2 3)，所以|ab|4 3.答案d二、填空题6.(2016江苏卷)在平面直角坐标系xoy中，双曲线x27y231 的焦距是_.解析由已知，得a27，b23，则c27310，故焦距为 2c2 10.答案2 107.(2016北京卷)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线为正方形oabc的边oa，oc所在的直线，点b为该双曲线的焦点，若正方形oabc的边长为 2，则a_.解析取b为双曲线右焦点，如图所示.四边形oabc为正方形且边长为 2，c|ob|2 2，又aob4，batan41，即ab.又a2b2c28，a2.答案238.(2016山东卷)已知双曲线e：x2

5、a2y2b21(a0，b0).若矩形abcd的四个顶点在e上，ab，cd的中点为e的两个焦点，且 2|ab|3|bc|，则e的离心率是_.解析由已知得|ab|2b2a，|bc|2c，22b2a32c.又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，两边同除以a2得 2ca23ca20，即 2e23e20，解得e2 或e1(舍去).答案2三、解答题9.(2017安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为2，且过点p(4， 10).(1)求双曲线的方程；(2)若点m(3，m)在双曲线上，求证：mf1mf20.(1)解e 2，可设双曲线的方程为x2y2(0).双曲线过

6、点(4， 10)，1610，即6.双曲线的方程为x2y26.(2)证明法一由(1)可知，ab 6，c2 3，f1(2 3，0)，f2(2 3，0)，kmf1m32 3，kmf2m32 3，kmf1kmf2m2912m23.点m(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kmf1kmf21，mf1mf2.mf1mf20.法二由(1)可知，ab 6，c2 3，f1(2 3，0)，f2(2 3，0)，mf1(2 33，m)，mf2(2 33，m)，mf1mf2(32 3)(32 3)m23m2，点m(3，0)在双曲线上，9m26，即m230，mf1mf20.10.已知椭圆c1的方程为x24y21，双曲

7、线c2的左、右焦点分别是c1的左、右顶点，而c2的4左、右顶点分别是c1的左、右焦点.(1)求双曲线c2的方程；(2)若直线l：ykx 2与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b，且oaob2(其中o为原点)，求k的取值范围.解(1)设双曲线c2的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则a23，c24，再由a2b2c2，得b21.故c2的方程为x23y21.(2)将ykx 2代入x23y21，得(13k2)x26 2kx90.由直线l与双曲线c2交于不同的两点，得13k20，（6 2k）236（13k2）36（1k2）0，k213且k21.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x26 2k

8、13k2，x1x2913k2.x1x2y1y2x1x2(kx1 2)(kx2 2)(k21)x1x2 2k(x1x2)23k273k21.又oaob2，得x1x2y1y22，3k273k212，即3k293k210，解得13k23.由得13k21，故k的取值范围为1，33 33，1.11.过双曲线c：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点作x轴的垂线，与c的一条渐近线相交于点a.若以c的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过a，o两点(o为坐标原点)，则双曲线c的方程为()5a.x24y2121b.x27y291c.x28y281d.x212y241解析由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其

9、中一条渐近线方程为ybax，因此可得点a的坐标为(a，b).设右焦点为f(c，0)，由已知可知c4，且|af|4，即(ca)2b216，所以有(ca)2b2c2，又c2a2b2，则c2a，即ac22，所以b2c2a2422212.故双曲线的方程为x24y2121，故选 a.答案a12.若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上存在一点p满足以|op|为边长的正方形的面积等于2ab(其中o为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是()a.1，52b.1，72c.52，d.72，解析由条件，得|op|22ab，又p为双曲线上一点，从而|op|a，2aba2，2ba，又c2a2b2a2a2454a2

10、，eca52.答案c13.(2016浙江卷)设双曲线x2y231 的左、右焦点分别为f1，f2，若点p在双曲线上，且f1pf2为锐角三角形，则|pf1|pf2|的取值范围是_.解析如图，由已知可得a1，b 3，c2，从而|f1f2|4，由对称性不妨设点p在右支上，设|pf2|m，则|pf1|m2am2，由于pf1f2为锐角三角形，结合实际意义需满足（m2）2m242，42（m2）2m2，解得1 7m3，又|pf1|pf2|2m2，2 72m28.答案(2 7，8)14.已知双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 2xy0，且顶点到渐近线的距6离为2 55.(1)求此双曲线的方程；(2)设p为双曲线上一点，a，b两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若appb，求aob的面积.解(1)依题意得ab2，|20a|52 55，解得a2，b1，故双曲线的方程为y24