第18讲优良性准则、区间估计

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计第十八讲第十八讲 从前面两节的讨论中可以看到从前面两节的讨论中可以看到: : 同一参数可以有几种不同的估计，这时就需同一参数可以有几种不同的估计，这时就需 要判断哪一种估计好要判断哪一种估计好. . 另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大 似然法即使得到的是同一个估计似然法即使得到的是同一个估计, , 也存在衡也存在衡 量这个估计优劣的问题量这个估计优劣的问题. . 估计量的优良性准则就是：估计量的优良性准则就是：评价一个估计量评价一个估计量“好好”与与“坏坏”的标准的标准. .7.3 估计量的优良性准则估计量的优良性准则

2、 定义1 设总体的参数为设总体的参数为 ，7.3.1 无偏性无偏性的一个估计， 是 ),(21nxxx )(e对一切可能的对一切可能的 成立成立, ,对于样本对于样本x1 1, ,x2 2, , ,xn n的的不同取值不同取值, ,取不同的值取不同的值. .若若是一个统计量，是随机变量是一个统计量，是随机变量. . 注意：注意：称称 为为 的无偏估计的无偏估计. 参数参数 ，有时可能估计偏高，有时可能偏低，有时可能估计偏高，有时可能偏低，但是平均来说它等于但是平均来说它等于 . “ “一切可能的一切可能的 ”是指：在参数估计问题是指：在参数估计问题中，参数中，参数 一切可能的取值一切可能的取值

3、. . 我们之所以要求对一切可能的我们之所以要求对一切可能的 都成立，都成立，是因为在参数估计问题中是因为在参数估计问题中, , 我们并不知道参数我们并不知道参数 的真实取值的真实取值. . 自然要求它在参数自然要求它在参数 的一切可的一切可能取值的范围内都成立能取值的范围内都成立 说明说明 无偏性的意义是：用估计量无偏性的意义是：用估计量 估计估计 .)( e例例1 设设 x1, x2, , xn 为来自均值为为来自均值为 的总体的的总体的样本，考虑样本，考虑 的如下几个估计量的无偏性：的如下几个估计量的无偏性： 例如例如 若若 指的指的是正态总体是正态总体n( , 2)的均值的均值 , ,

4、则其一切可能取值范围是则其一切可能取值范围是(-(-,+,+).).若若 指的指的是方差是方差 2 2，则其一切可能取值范围是，则其一切可能取值范围是(0,+(0,+).). ,)()( 111 xee）因（；11 ) 1 (x ;2(2)212xx .3(3)212xx 解解. 1的无偏估计是所以， ,)()(21)( 2212 xexee）因（. , 2的无偏估计是所以 . , 3的有偏估计是所以 ,32)()(31)( 3212 xexee）因（ 定理定理1 设总体设总体 x 的均值为的均值为 , ,方差为方差为 2 2, , x1 1, ,x2 2, , ,xn n 为来自总体为来自总

5、体 x 的随机样本，记的随机样本，记 与与 分别为样本均值与样本方差，即分别为样本均值与样本方差，即 即样本均值和样本方差分别是即样本均值和样本方差分别是 总体均值总体均值 和总体方差和总体方差 的无偏估计的无偏估计. .)(11 ,12121xxnsxnxniinii.)( , )( 22sexe则则x2s 证明证明 因为因为 x1, x2, , xn 独立同分布，独立同分布，所以所以)1()(1niixndxd)(112niixdn， nn1)1()(1niixnexe)(11niixen，nnn2221 22)()()(xexdxe22)()()(iiixexdxe,22 n,22 这样

6、这样）（212)(11)(xxensenii)(22 nn)(11212xnxenniiniiixexdn12)()(11)()(11212xnexennii)()(2xexdn211221)(2)(xnxxxxxniniiinii,212xnxnii)(1122 nn.2 2) 1(11 nn .)()( 的估计作为用的一个估计，我们通常是参数若 gg 前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体分别求得了正态总体 n( , 2) 中参数中参数 2 的估计的估计,均为均为.)(1212xxnnii 很显然，它不是很显然，它不是 2 的无偏估计的无

7、偏估计. 这正是我这正是我们为什么要将其分母修正为们为什么要将其分母修正为 n- -1，获得样本方，获得样本方差差 s2来估计来估计 2 的理由的理由.)()( 的无偏估计也未必是的无偏估计，是但是：即使 gg 例例2 求证：样本标准差求证：样本标准差 s 不是总体标准差不是总体标准差 的无偏估计的无偏估计. 证明证明 因因 e e( (s2 2)=)= 2 2，所以，所以，d d( (s)+()+(e e(s)(s)2 2 = = 2 2，由由 d( (s) )0 0，知，知 ( (e e( (s)2 2 = = 2 2 - -d d( (s s) ) 2 2. .所以，所以，e e( (s

8、 s) ) . .故，故，s s 不是不是 的无偏估计的无偏估计. .用用s 来估计来估计 ，平均来说偏低，平均来说偏低. 用估计量用估计量 估计估计 ，估计误差估计误差7.3.2 7.3.2 均方误差准均方误差准则则),(21nxxx 是随机变量，通常用其均值是随机变量，通常用其均值衡量估计误差的大小衡量估计误差的大小. . 要注意要注意: : 为了防止求均值时正、负误差相为了防止求均值时正、负误差相互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，记成为均方误差，记成 ，即，即),(21nxxx.)()(2 emse)( mse.)()(2 ed

9、哪个估计的均方哪个估计的均方误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计优劣的准则为优劣的准则为“均方误差准则均方误差准则”.注意注意：均方误差可分解成两部分均方误差可分解成两部分: :, 21和和的两个估计的两个估计对对证明证明.)()()(2）（ edmse )()(2 emse.)()(2 ed)()(2)()( 22 eeeeee2)()( eee 上式表明，均方误差由两部分构成：第一上式表明，均方误差由两部分构成：第一部分是估计量的方差，部分是估计量的方差，第二部分是估计量的偏第二部分是估计量的偏差的平方和差的平方和. 注意：注意：如果一个估计量是

10、无偏的，则第二如果一个估计量是无偏的，则第二部分是零，则有部分是零，则有: :2)()()( edmse 如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计就较优计的方差小，哪个估计就较优. . 这种判定估计这种判定估计量优劣的准则称为方差准则量优劣的准则称为方差准则. .).()( dmse定义定义的两个无偏估计量，是、设 21 )()( 21 dd若)()( (21 msemse即.21有效较称 例例3 3 设设 x1, x2, , xn 为来自均值为为来自均值为 的总的总体的样本体的样本, ,考虑考虑 的如下两个估计的优劣：的如下两个估计的优劣：

11、.11 ,1nijjjixnx故这两个估计都是故这两个估计都是 的无偏估计的无偏估计. .)() (xdd .12n . ix 优于所以，.) e( ,)( ie由于)() ( idd 故 表明：当用样本均值去估计总体均值时，表明：当用样本均值去估计总体均值时，使用全样本总比不使用全样本要好使用全样本总比不使用全样本要好. . ,2n nijjjixdnd12)()1(1)( 点估计就是利用样本计算出的值点估计就是利用样本计算出的值 (即实轴即实轴上的点上的点) 来估计未知参数来估计未知参数.7.4 正态总体的区间估计(一)优点是：优点是：告诉人们告诉人们 “未知参数大致是多少未知参数大致是多

12、少”；缺点是：缺点是：并未反映估计的误差范围并未反映估计的误差范围 (精度精度). 例如：例如：在估计正态总体均值在估计正态总体均值 的的问题中问题中,若根据一组实际样本，得到若根据一组实际样本，得到 的极大似然估的极大似然估计为计为 10.12. 一个可以想到的估计办法是：给出一个一个可以想到的估计办法是：给出一个区间，并告诉人们该区间包含未知参数区间，并告诉人们该区间包含未知参数 的的概率概率 (可靠度、置信度、置信水平可靠度、置信度、置信水平(系数系数). 实际上，实际上， 的真值可能大于的真值可能大于10.12，也可，也可能小于能小于10.12. 如：如：估计某人的身高估计某人的身高(

13、cm). 甲估计：人的身高为甲估计：人的身高为170,180; 乙估计：人的身高为乙估计：人的身高为150,190;但由于甲估计的区间短，包含该人真正身高但由于甲估计的区间短，包含该人真正身高的可能性（概率或置信度）小；乙估计的区的可能性（概率或置信度）小；乙估计的区间长，精度差，但置信度比甲的大间长，精度差，但置信度比甲的大. 甲估计的区间较乙估计的短，故精度较高甲估计的区间较乙估计的短，故精度较高. 实际中，在保证置信度的条件下，尽可实际中，在保证置信度的条件下，尽可能提高精度，能提高精度，（用区间的长度来度量）（用区间的长度来度量）与置信度与置信度（用估计的区间包含未知量的概率来度量）（

14、用估计的区间包含未知量的概率来度量）是矛盾的是矛盾的.精度精度即区间的长度尽可能短即区间的长度尽可能短.7.4.1 置信区间的定义置信区间的定义，若定确定的两个统计量，给是由样本、是总体的未知参数，的样本，是来自总体设10 )()( 212122211121 nnnn,x,xx,x,xx,x,xxx,x,xx 1 , 21的置信区间，的置信系数为为称区间 定义定义1(1) .121p. 21信上限分别称为置信下限和置与 , 1 21系数）或可靠度，的置信度、置信水平（为 .1 , 1 21 的概率是包含置信区间的知由 121p. , , 2121 也可能不包含，这个区间可能包含，对于一个给定的

15、样本随机区间，是一个间需要特别强调的是：区nxxx实际应用上，一般取实际应用上，一般取 = 0.05 或或 0.01.(1) .121 p7.4.2 正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计.1 1.2置信区间的已知，总体方差 . ),( , 2221已知的一个样本，是正态总体设 nxxxn ),(2nnx ，令nxu ).1 , 0(/ nnx 或或 1对于置信度 1 22unxunxp，由分位点定义知： 2uup 1/ 22unxup.1 22 uuup故故. 22 unxunx，也可简记为也可简记为置信区间为的于是 1 .2 unx 例例1 某厂生产的零件长度某厂生产的零件长度 x

16、服从服从 n( , 0.04) ), ,现从该厂生产的零件中随机抽取现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度个，长度测量值如下测量值如下( (单位单位: :毫米毫米): ): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1.求求 的置信系数为的置信系数为0.950.95的置信区间的置信区间. . 解解, 2 . 0, 6 n,95. 01 ,025. 02 96. 1025. 02uu 查表得）（1 .152 .158 .149 .141 .156 .1461x,95.142 un96. 162 . 016. 0. 22 unxunx，代入置信区间代入置信区间置信区间为的得

17、95. 0 .11.15,79.1416. 095.14,16. 095.14当方差未知时，取当方差未知时，取 /，nsxt ,1 对给定的置信系数.1 2.2置信区间的未知，总体方差 .1 ) 1(/) 1(22 ntnsxntp.11)( ) 1( 22 ntnsxntnsxp).1( ntt则. ) 1( ),1(22ntnsxntnsx 也可简记为也可简记为. )1( 2ntnsx 置信区间为的于是 1 例例2 为估计一物体的重量为估计一物体的重量，将其称量，将其称量10次次,得到重量的测量值得到重量的测量值 (单位单位: 千克千克) 如下如下:10.l, 10.0, 9.8, 10.

18、5, 9.7, l0.l, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9.设它们服从正态分布设它们服从正态分布 n( , 2). 求求 的置信系的置信系数为数为0.95的置信区间的置信区间.解解，10n,95. 01 ,025. 02 .2622. 2)9() 1(025. 02tnt 查表得，）（05.109 . 91 .10101xniixxns122)(11)(11212xnxnnii0583.09525.0.24.0s故代入置信区间代入置信区间. ) 1( ),1(22ntnsxntnsx 置信区间为的得95. 0 .22.10,88. 92622. 21024. 0) 1(2ntns 1717. 02622. 21623.