刚体的平面运动 解释瞬心1

1、第十章第十章 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体平面运动的简化及其分解刚体平面运动的简化及其分解 平面图形上各点的速度分析平面图形上各点的速度分析 平面图形上各点的加速度分析平面图形上各点的加速度分析 运动学综合应用举例运动学综合应用举例10.1刚体平面运动的简化及其分解刚体平面运动的简化及其分解二、刚体平面运动的简化二、刚体平面运动的简化0A1A2AS 如图所示，刚体作平面如图所示，刚体作平面运动时，刚体上所有与空间运动时，刚体上所有与空间某固定平面距离相等的点所某固定平面距离相等的点所构成的平面图形就保持在它构成的平面图形就保持在它自身所在的平面内运动。自身所在的平面内运动。 经分析可得如

2、下结经分析可得如下结论：论： 刚体的平面运动可以简化为平面图形刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身所在的平面内运动。在其自身所在的平面内运动。10.1刚体平面运动的简化及其分解刚体平面运动的简化及其分解 三、刚体平面运动的运动方程三、刚体平面运动的运动方程OxyS)(,OOyxOM 建立如图的静坐标系，建立如图的静坐标系，将将 点称为点称为基点基点。O 当刚体作平面运动时，当刚体作平面运动时， ， 和和 均随时间连续变均随时间连续变化，它们均为时间的单值连化，它们均为时间的单值连续函数，即续函数，即OxOy)()()(321tftfytfxOO上式称为上式称为刚体的平面运动方程刚体的平面

3、运动方程。分析运动方程可。分析运动方程可知，平面运动包函了平动和定轴转动这两种基本知，平面运动包函了平动和定轴转动这两种基本运动形式，即：运动形式，即：平面运动是平动和转动的合成运平面运动是平动和转动的合成运动。动。 平面运动分解成跟随基点的平动和相对于基点平面运动分解成跟随基点的平动和相对于基点的转动。这种分解方法称为基点法。的转动。这种分解方法称为基点法。10.1刚体平面运动的简化及其分解刚体平面运动的简化及其分解 四、平面运动分解为平动和转动四、平面运动分解为平动和转动OxyS)(,OOyxOMxy 在平面图形在平面图形S上任选一点上任选一点 作作为基点，并以基点为基点，并以基点 作为坐

4、标原作为坐标原点建立随同基点运动的平动坐标点建立随同基点运动的平动坐标系系 ，如图所示。于是：，如图所示。于是：平面平面运动（运动（绝对运动绝对运动）就可以分解为）就可以分解为随同基点的平动（随同基点的平动（牵连运动牵连运动）和）和相对基点的转动（相对基点的转动（相对运动相对运动）。）。OOyxO 以以 点为基点点为基点 以以 点为原点建立了平点为原点建立了平动坐标系动坐标系 将图形将图形S的平面运动（绝对运动的平面运动（绝对运动-刚体运动）分解为随同基点的平动（牵连运刚体运动）分解为随同基点的平动（牵连运动动-刚体运动）和绕基点刚体运动）和绕基点 的定轴转动（相的定轴转动（相对运动对运动-刚

5、体运动）。刚体运动）。OOO10.1刚体平面运动的简化及其分解刚体平面运动的简化及其分解一、刚体平面运动的定义一、刚体平面运动的定义 观察上述刚体的运动发现，它们在运动的过程观察上述刚体的运动发现，它们在运动的过程中有一个共同的特征，即：中有一个共同的特征，即：当刚体运动时，刚体内当刚体运动时，刚体内任一点至某一固定平面的距离始终保持不变任一点至某一固定平面的距离始终保持不变。具备。具备这样一个特征的刚体的运动称为这样一个特征的刚体的运动称为刚体的平面运动刚体的平面运动，简称简称平面运动。平面运动。OOvOABO1O 在进行平面运动的分解时，基点的选择是完全在进行平面运动的分解时，基点的选择是

6、完全任意的。在解决具体问题时，一般总是选图形上其任意的。在解决具体问题时，一般总是选图形上其运动为已知的点作为基点。由于所选的基点不同，运动为已知的点作为基点。由于所选的基点不同，分解运动中的平动部分的运动规律不同，即：分解运动中的平动部分的运动规律不同，即：图形图形随同基点平动的速度和加速度与基点的位置的选择随同基点平动的速度和加速度与基点的位置的选择有关有关。但图形对于不同的基点转动的角速度和角加。但图形对于不同的基点转动的角速度和角加速度都是一样的。下面予以说明：速度都是一样的。下面予以说明：10.1刚体平面运动的简化及其分解刚体平面运动的简化及其分解 四、平面运动分解为平动和转动四、平

7、面运动分解为平动和转动10.1刚体平面运动的简化及其分解刚体平面运动的简化及其分解ABABA B 如图所示，由图可知：如图所示，由图可知：而而tt0limtt0lim所以所以类似地类似地即：即：在任一瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角在任一瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角速度和角加速度都相同速度和角加速度都相同。亦即：。亦即：角速度和角加速度角速度和角加速度与基点的位置的选择无关与基点的位置的选择无关。于是可以直接称为。于是可以直接称为平面平面运动的角速度和角加速度运动的角速度和角加速度 四、平面运动分解为平动和转动四、平面运动分解为平动和转动10.2平面图形上各点的速度分析平面图形上各点的

8、速度分析 一、基点法（速度合成法）一、基点法（速度合成法）OOvOvMvOMvMxyOxy 如图，在图形内如图，在图形内任取一点任取一点 作为基点作为基点O 将图形上将图形上M点的平面曲线运动（绝对运动点的平面曲线运动（绝对运动-点的运动）分解为随同基点的平动（牵连运动点的运动）分解为随同基点的平动（牵连运动-刚体运动）刚体运动） 和以基点和以基点 为圆心，为圆心， 为半径的为半径的圆周运动（相对运动圆周运动（相对运动-点的运动）。点的运动）。OMO以以 点为基点点为基点 O以以 点为原点建立了平动坐标系点为原点建立了平动坐标系O10.2平面图形上各点的速度分析平面图形上各点的速度分析 一、基

9、点法（速度合成法）一、基点法（速度合成法）Oevv相对运动为圆周运动，相对速度相对运动为圆周运动，相对速度的大小为的大小为 OMvvOMr方向如图。方向如图。M点的速度点的速度 即为绝对速度，即即为绝对速度，即 。MvaMvv 于是根据点的速度合成定理于是根据点的速度合成定理 可将可将M点的速度写成点的速度写成reavvvOMOMvvv即：即：平面图形内任意一点的速度等于基点的速度与平面图形内任意一点的速度等于基点的速度与该点相对于基点转动的速度的矢量和该点相对于基点转动的速度的矢量和。这就是。这就是平面平面运动的速度合成法运动的速度合成法，又称，又称基点法基点法。 已知该点的速度为已知该点的

10、速度为 及图形的及图形的角速度为角速度为 ，则图形上任一点，则图形上任一点M的的牵连速度为牵连速度为Ovev10.2平面图形上各点的速度分析平面图形上各点的速度分析 二、速度投影法二、速度投影法 将速度矢量式将速度矢量式 投影到投影到 上，则有上，则有OMOMvvvOM MOOMOMvv即：即：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等两点连线上的投影相等。这就是。这就是速度投影定理速度投影定理。 三、速度瞬心法三、速度瞬心法 如图所示，在垂直于如图所示，在垂直于 的半直线的半直线上必有一点且仅有一点上必有一点且仅有一点 ，它的相对，它

11、的相对速度和牵连速度大小相等而方向相反，速度和牵连速度大小相等而方向相反，因而绝对速度等于零。因而绝对速度等于零。OvC 点点 的位置满足下列关系的位置满足下列关系COOCvOCv 或或OvOCOOvOvCOCv 1）定理定理 刚体作平面运动时，任意瞬时，平刚体作平面运动时，任意瞬时，平面图形上存在且仅存在一个点，在此瞬面图形上存在且仅存在一个点，在此瞬时该点的绝对速度为零，称该点为此瞬时该点的绝对速度为零，称该点为此瞬时刚体的瞬时速度中心，或称速度瞬心时刚体的瞬时速度中心，或称速度瞬心（简称瞬心），此瞬时刚体上其他各点（简称瞬心），此瞬时刚体上其他各点的速度分布规律等效于此瞬时图形以刚的速度

12、分布规律等效于此瞬时图形以刚体的角速度体的角速度 绕瞬心作定轴转动时的速度绕瞬心作定轴转动时的速度分布一样。分布一样。如图9-11（b）所示。 说明： 在寻找瞬心时，可以设想任意扩大平面图形，因为有些情形，瞬心不在刚体上，如一直杆作平面运动时。 不同瞬时，速度瞬心为刚体上的不同瞬时，速度瞬心为刚体上的不同的点，且该点加速度不为零，因此不同的点，且该点加速度不为零，因此瞬心法只能用来分析该瞬时刚体上各点瞬心法只能用来分析该瞬时刚体上各点的速度，切不可用来分析刚体上各点的的速度，切不可用来分析刚体上各点的加速度。加速度。 10.2平面图形上各点的速度分析平面图形上各点的速度分析即：即：如平面图形的

13、角速度不等于零，则该瞬时图形如平面图形的角速度不等于零，则该瞬时图形上总有唯一的速度为零的一点上总有唯一的速度为零的一点。这个点称为图形的。这个点称为图形的瞬时速度中心瞬时速度中心，简称，简称瞬心瞬心。 如取瞬心如取瞬心 作为基点，则平面图形上任一点作为基点，则平面图形上任一点M的速度大小为的速度大小为CMCvvMCM 必须指出：瞬心可以在平面图形内，也可在平必须指出：瞬心可以在平面图形内，也可在平面图形外，它的位置不是固定的。即：平面图形在面图形外，它的位置不是固定的。即：平面图形在不同的瞬时具有不同的速度瞬心。不同的瞬时具有不同的速度瞬心。 二、速度投影法二、速度投影法 由此可见，由此可见

14、，刚体的平面运动可以认为是绕一刚体的平面运动可以认为是绕一系列的瞬心作瞬时转动系列的瞬心作瞬时转动。如果求出图形的角速度。如果求出图形的角速度和确定出数心的位置，就可以求出图形上所有各和确定出数心的位置，就可以求出图形上所有各点在此瞬时的速度。这种方法称为点在此瞬时的速度。这种方法称为瞬时速度中心瞬时速度中心法法，简称，简称瞬心法瞬心法。10.2平面图形上各点的速度分析平面图形上各点的速度分析 二、速度投影法二、速度投影法10.2平面图形上各点的速度分析平面图形上各点的速度分析 下面介绍确定瞬心的方法：下面介绍确定瞬心的方法：AAvBBvCABAvBvCABAvBvCABAvBvABAvBvC10.3平面图形上各点的加速度分析平面图形上各点的加速度分析 如图所示。由牵连运动为平动的如图所示。由牵连运动为平动的加速度合成定理，有加速度合成定理，有reaaaa由于牵连运动为平动，所以由于牵连运动为平动，所以 ，于是有于是有Oea