第三章初等函数第1讲函数概念

1、3.1 3.1 函数的一般概念函数的一般概念1. 函数概念的发展函数概念的发展 （1）函数相关术语与记号的引入 函数这一名词德国数学家莱布尼兹(Leibniz 16461716)所首先采用的 在最初，莱布尼兹用函数一词表示变量x的幂，即x2，x3，其后莱布尼兹还用函数一词表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等所有与曲线上的点有关的量 欧拉(Euler 17071783)发明了函数的记号：f(x)柯西(Cauchy 17891857)引入了术语“自变量、因变量” 一、一、 函数概念发展与定义函数概念发展与定义对于x 的每一个值，如果y都有完全确 定的值与之对应，不论x, y所建立的

2、对 应方式如何，y都叫做x 的函数 变变 量量 函函 数数19世纪函数概念1837年, 德国数学家：黎曼20世纪, 美国数学家：维布仑近代函数概念映映 射射 函函 数数在变量y的集合与另一个变量x的集合之间,如果存在着对于x 的每一个值, y有确定的值与之对应这样的关系，那么,变量y叫做变量x的函数18世纪函数概 念1734年, 瑞士数学家：欧拉解析函数解析函数是指由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式，用f(x)表示x的函数抽象早期函数概念自然函数自然函数公元前300年左右：古巴比伦依一定规律依赖于一个变量的另一个变量（2）函数概念的演变）函数概念的演变 17世纪函数概念代数函数代

3、数函数1667年，苏格兰数学家：格雷戈里它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到拓展运算种类拓展数量区间为任意数学对象的集合舍弃用数字表达的限制2. 函函数的定义数的定义定义定义1 1 如果两个变量按照某一确定的规律联系着如果两个变量按照某一确定的规律联系着, , 当当 第一变量变化时，第二变量也随着变化，就把第一变量变化时，第二变量也随着变化，就把 第二个变量叫做第一个变量（自变量）的函数第二个变量叫做第一个变量（自变量）的函数定义定义2 2设设 和和 是两个集合，如果按照某种对应法则，是两个集合，如果按照某种对应法则， 对于集合对于集合 中的中的任何一个任何一个元素，在集合元素，在集合

4、中都有中都有 唯一唯一的元素的元素和它对应，这样的对应叫做从集和它对应，这样的对应叫做从集 合合 到集合到集合 的函数的函数, ,记作记作 定义定义3 3设设 和和 是两个集合，是两个集合， 是一个非空子集是一个非空子集, 如果满足如果满足 对于任意对于任意 , ,存在唯一的存在唯一的 使使 则则 称为称为 到到 的一个函数的一个函数ABABAB:f ABABABaAbBfAB( , ),a bf 定义定义4 4 设设 、 为非空集合，如果按照某种对应为非空集合，如果按照某种对应法则法则 ，对于，对于 中中任一元素任一元素 ， 中都有且仅有中都有且仅有一个元素一个元素 与之对应与之对应，就称，

5、就称 是一个从集合是一个从集合 到到集合集合 的映射，记的映射，记 特别地，当特别地，当 ， 都是实数集合时，则称从都是实数集合时，则称从 到到 的映射的映射 为函数为函数 函数通常记作函数通常记作 ，当，当 对应对应 时称时称 是是 的函数值，或的函数值，或 是是 的函数值，或的函数值，或 是是 的象，的象， 记为记为 ，这时称，这时称 是是 的原象的原象aABfBbfABf ABABABfbf ABabbaaba)ba abA二、函数的三要素二、函数的三要素 定义域、对应法则、值域定义域、对应法则、值域 在研究函数的抽象定义时，不妨把函数在研究函数的抽象定义时，不妨把函数比喻为一个比喻为一

6、个“机器机器”加工的过程，输入加工的过程，输入 输出输出 ，而这关键的加工机制就是，而这关键的加工机制就是 定义定义5 5 （函数相等）（函数相等） 函数的相等函数的相等 要求输入的要求输入的 相同，加工相同，加工 机制相同，输出的机制相同，输出的 也相同也相同 xyxy x yx)三、函数的表示法三、函数的表示法 解析法（公式法） 列表法 图像法定义定义6 6 设设 、 是是 的子集，的子集， 是是 到到 的函数，的函数， 则称则称 的子集的子集 是函数是函数 的图像的图像ABR:ABABAB( , ),Ga b aA b ): AB 例例2 2 设设f(x)是以实数集是以实数集 为定义域的

7、函数，为定义域的函数，且对任意实数且对任意实数x,y，均满足，均满足求证：求证： 当当 时，时， 当当 时，时，R()( )( )xyxy (0)0;()()xx mZ()()m xmxrQ()( )rxrx(1)(2)(3)四、反函数及其图像四、反函数及其图像 满射： 单射： 一一映射（双射）： 逆映射：1.1. 逆映射和反函数：逆映射和反函数：1: BA 定义定义 如果函数如果函数 是定义域是定义域 到值到值 域域 上的一一映射，那么由它的逆映上的一一映射，那么由它的逆映 射射 所确定的函数，叫做函所确定的函数，叫做函 数的反函数数的反函数 反函数的习惯表示为反函数的习惯表示为:()yx

8、AB: BA1:yBA2. 2. 反函数的图像反函数的图像 定理定理1 1 函数函数 的图像和它的反函的图像和它的反函 数数 的图像关于直线的图像关于直线 对称对称)y = fx()-1y =xyx1( )yx()yx 思考：为什么函数 的反函数 的图像关于 对称？yx3.3.互反函数间的辩证关系互反函数间的辩证关系 定理定理2 2 设函数设函数 是一一映射，是一一映射， 是它的逆映射（反函数），则是它的逆映射（反函数），则 （1 1） （表示（表示B B上的恒等射）；上的恒等射）； （2 2） 是一一映射的；是一一映射的； （3 3） 是唯一的；是唯一的； （4 4） 的逆映射就是的逆映射就是 : AB1: BA1BI1AI 111例例2 2 设设 ， 的图像与的图像与 的像关于的像关于 直线直线 对称，求对称，求 23()1xxx()ygx1(1)y