线性代数二次型及其标准形PPT课件

1、12 1. 二次型的定义二次型的定义定义定义 含有个变量含有个变量 的二次齐次函数的二次齐次函数nxxx,21),(21nxxxf222222111nnnxaxaxa21122xxa 31132xxa 32232xxa nnnnxxa1, 12 称为二次型称为二次型. (二次齐次多项式二次齐次多项式) 当系数当系数 为复数时，为复数时， 称为复二次型；当系称为复二次型；当系ijaf数数 为实数时，为实数时， 称为实二次型称为实二次型. ijaf33. 二次型的矩阵表示式二次型的矩阵表示式 令令 ，则，则ijjiaa f 2332211nnnnnnnnnxaxxaxxaxxa nnxxaxxax

2、axxa22322322221221 nnxxaxxaxxaxa11311321122111 nnxxaxaxxaxxa33233323321331 于是于是 4 f )(332211nnnnnnnxaxaxaxax )(23232221212nnxaxaxaxax )nxaxaxaxax )(33332321313nnxaxaxaxax ninjjiijxxa115 f),(21nxxx),(21nxxx nnnnnnaaaaaaaaa212222111211,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaa nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxa

3、xaxa221122221211212111记记 nxxx21 nxxxx216 ,axxft 其中其中 为对称阵：为对称阵： . aaat 二次型的矩阵表示式二次型的矩阵表示式说明说明对称阵与二次型一一对应；对称阵与二次型一一对应；若若 ，axxft )(aat 二次型的矩阵二次型的矩阵 满足：满足：a 的对角元的对角元 是是 的系数；的系数；aiia2ix 的的 元是元是 系数的一半系数的一半. a)(),(jiji jixxaffa 则对称阵则对称阵 称为称为 二次型二次型 的矩阵的矩阵；二次型；二次型 称为称为对称阵对称阵 的的 二次型；二次型；3. 二次型的矩阵表示式二次型的矩阵表示

4、式 7例如：例如：二次型二次型.4322yzxyzxf 的矩阵为的矩阵为f 301a22 002121于是于是.3002021),(2121 zyxzyxf8二次型研究的主要问题是：二次型研究的主要问题是：寻找寻找可逆变换可逆变换 ，使，使cyx )(xf ninjjiijxxa11cyx 这种只含平方项的二次型称为这种只含平方项的二次型称为二次型的标二次型的标准形准形(法式法式). 特别地，如果标准形中的系数特别地，如果标准形中的系数 只在只在三个数中取值，那么这个标准形称为三个数中取值，那么这个标准形称为二次型二次型的规范形的规范形. ik0 , 1, 1 .)(2222211nnykyk

5、ykcyf标准形的矩阵是对角阵标准形的矩阵是对角阵. 91. 经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：axxft cyx byyft 因为有因为有axxft )()(cyacyt ,)(yaccytt 所以所以 与与 的关系为：的关系为：ab.accbt 102. 矩阵的合同关系矩阵的合同关系定义定义 设设 和和 是是 阶矩阵，阶矩阵，nab 若有可逆矩阵若有可逆矩阵 ，使使c,accbt 则称矩阵则称矩阵 与与 合同合同. ab说明说明 合同关系是一个等价关系合同关系是一个等价关系. 设设 与与 合同，若合同，若 是对称阵，则是对称阵，则 也对称阵也对称阵

6、. abab 对称阵一定对称阵一定合同相似合同相似于一个对角阵于一个对角阵. 若若 与与 合同，则合同，则 . )()(brar ab 经可逆变换经可逆变换 后，二次型的矩阵由后，二次型的矩阵由 变变 为与为与 合同的矩阵合同的矩阵 , 且二次型的秩不变且二次型的秩不变. cyx aaacct11 把二次型化成标准形相当于把对称阵把二次型化成标准形相当于把对称阵 用合用合同变换化成对角阵同变换化成对角阵(称为把称为把对称阵合同对角化对称阵合同对角化)，a3. 化二次型为标准形化二次型为标准形 对二次型对二次型 作可逆变换作可逆变换 ，axxft cyx 相当于对对称阵相当于对对称阵 作合同变换

7、；作合同变换；a即寻找可逆阵即寻找可逆阵 , 使使 . cacct),(21nkkkdiag 定理定理8 任给二次型任给二次型 , 总总)(aaaxxftt ,2222211nnyyyf 其中其中 是是 的矩阵的矩阵 的特征值的特征值.n ,21fa即任何二次型都可用正交变换化为标准形即任何二次型都可用正交变换化为标准形.（主轴定理，（主轴定理，p262 th6.1） 存在正交变换存在正交变换 ，使，使 化为标准形化为标准形fpyx 12推论推论 任给二次型任给二次型 ，总，总)(aaaxxftt 有可逆变换有可逆变换 ，使，使 为规范形为规范形. czx )(czf即任何二次型都可用可逆变换

8、化为规范形即任何二次型都可用可逆变换化为规范形. 13证证 设有二次型设有二次型,axxft 由定理由定理8知，存在正交变换知，存在正交变换 ，使，使pyx .)(2222211nntyyyyypyf f 设二次型设二次型 的秩为的秩为 ，则特征值，则特征值 中恰有中恰有 个个不为不为0，不妨设，不妨设 不等于不等于0，ri rr ,21于是，令于是，令,21 nkkkk其中其中 , 1,|1ririkii 则则 可逆，且变换可逆，且变换 把把 化为化为kkzy )(pyf14)()()(kzkzpkzft zkkztt)( zdiagzrrt) 0 , 0 ,|,|(11 .|22111rr

9、rzz 记记 ，pkc 则可逆变换则可逆变换 能把能把 化为规范形化为规范形pkzx f.|22111rrrzzf 15推论推论 任给二次型任给二次型 ，总，总)(aaaxxftt 有可逆变换有可逆变换 ，使，使 为规范形为规范形. czx )(czf即任何二次型都可用可逆变换化为标准形即任何二次型都可用可逆变换化为标准形. 4. 用正交变换化二次型为标准形的步骤：用正交变换化二次型为标准形的步骤： 写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵 ；a 求出求出 的特征值；的特征值；a 求出求出 的两两正交的单位特征向量；的两两正交的单位特征向量；a 用用 表示在中求得的特征向量构成的矩表示在中求得的特征向

10、量构成的矩阵，写出所求的正交变换阵，写出所求的正交变换 和二次型和二次型的标准型的标准型.ppyx 164. 用正交变换化二次型为标准形的步骤：用正交变换化二次型为标准形的步骤： 写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵 ；a 求出求出 的特征值；的特征值；a 求出求出 的两两正交的单位特征向量；的两两正交的单位特征向量；a 用用 表示在中求得的特征向量构成的矩表示在中求得的特征向量构成的矩阵，写出所求的正交变换阵，写出所求的正交变换 和二次型和二次型的标准型的标准型.ppyx 将对称阵正交相似对角化的步骤：将对称阵正交相似对角化的步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)(2)求两两正交的单位特征向量；

11、求两两正交的单位特征向量；(3)(3)写出正交矩阵和对角阵写出正交矩阵和对角阵. .17例例1 已知二次型已知二次型 ,22223),(222zxxyzyxzyxf 用正交变换把二次型用正交变换把二次型 化为标准形，并写出相化为标准形，并写出相应的正交矩阵应的正交矩阵.f解解 析析：此题是一道典型例题：此题是一道典型例题. 目的是熟悉用正目的是熟悉用正交变换化二次型为标准形的交变换化二次型为标准形的“标准程序标准程序”. 写出二次型对应的矩阵写出二次型对应的矩阵 二次型二次型 对应的矩阵为对应的矩阵为 f 201021113a18 求求 的特征值的特征值 a 201021113ea 20102

12、2013)4)(2)(1( 由由 ，求得，求得 的特征值为的特征值为 0 ea a, 11 , 22 . 43 19 求求 的两两正交的单位特征向量的两两正交的单位特征向量a对应对应 ，解方程，解方程 ，由，由11 0)( xea 101011112ear,000110101 得基础解系为得基础解系为,1111 将其单位化，得将其单位化，得;111311 p20对应对应 ，解方程，解方程 ，由，由22 0)2( xea 0010011112ear,000110001 得基础解系为得基础解系为,1102将其单位化，得将其单位化，得;110212 p21对应对应 ，解方程，解方程 ，由，由43 0

13、)4( xea 2010211114ear,000110201 得基础解系为得基础解系为,1123 将其单位化，得将其单位化，得.112613 p22 写出正交矩阵和二次型的标准形写出正交矩阵和二次型的标准形 令矩阵令矩阵 61213161213162031),(321pppp 则则 为正交阵，于是，经正交变换为正交阵，于是，经正交变换p zyxpzyx原二次型化为标准形原二次型化为标准形.42222zyxf 23例例1+：求一个正交变换：求一个正交变换 x = p y ，把二次型，把二次型f = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3化为标准形（规范形）化为标准形（规范形）24例例1+：

14、求一个正交变换：求一个正交变换 x = p y ，把二次型，把二次型f = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3化为标准形化为标准形解：二次型的矩阵解：二次型的矩阵 有正交阵有正交阵使得使得于是正交变换于是正交变换 x = p y 把二次型化为标准形把二次型化为标准形f = 2y12 + y22 + y32011101110a 11132611132612036p 1000000211pap 25如果要把如果要把 f 化为规范形，令化为规范形，令 ，即，即可得可得 f 的规范形：的规范形：f = z12 + z22 + z320000001/211k 1000000211pap 1122

15、221/2yzyzyz 26例例2 已知二次型已知二次型的秩为的秩为2. 32312123222166255xxxxxxaxxxf 求参数求参数 以及此二次型对应矩阵的特征值；以及此二次型对应矩阵的特征值；a 指出指出 表示何种曲面表示何种曲面. 1),(321 xxxf解解 二次型二次型 的矩阵的矩阵f aa33351315r 300120351a因为因为 的秩为的秩为2，f所以所以 的秩也为的秩也为2，因而，因而a. 3 a27当当 时，时， 的特征多项式为的特征多项式为 a3 a 333351315ea21rr )4(1 r 333351011)4( 363361001)4(),9)(4

16、( 28于是，于是， 的特征值为的特征值为 a, 01 , 42 . 93 由定理由定理8知，必存在正交变换知，必存在正交变换,321321 yyypxxx其中其中 为正交矩阵为正交矩阵(不必具体求出不必具体求出)，使二次型使二次型p.942322yyf 于是，曲面于是，曲面1),(321 xxxf1),(321 yyyg. 1942322 yy这表示准线是这表示准线是 平面上椭圆、母线平行于平面上椭圆、母线平行于 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.32oyy1y321,yyy在新变量在新变量 下称为标准形下称为标准形291y2y3y1x2x3x166255323121232221 xxxxxxaxx

17、x1942322 yy 321321yyypxxx30配方法配方法 的系数的系数21x011 a例例3 用拉格朗日配方法化二次型用拉格朗日配方法化二次型32312123222162252xxxxxxxxxf 成标准形，并求所用的变换矩阵成标准形，并求所用的变换矩阵. 解解 322322312121652)22(xxxxxxxxxf 3223222321652)(xxxxxxx 3223222 xxxx 3223222144yyyyy 322322232144)(xxxxxxx 31用到的线性变换为用到的线性变换为.100010111321321 xxxyyy .,33223211xyxyxxx

18、y即即233222214)4(yyyyyf 23232214)2(yyyy 234y 2221zz 用到的线性变换为用到的线性变换为 .,2,3332211yzyyzyz即即.100210001321321 yyyzzz配方法配方法32.100010111321321 xxxyyy.100210001321321 yyyzzz 321321100010111100210001xxxzzz 32111321100210001100010111zzzxxx 321321100210001100010111zzzxxx.100010111321321 xxxyyy配方法配方法33 321321100

19、210111zzzxxx所用的变换矩阵为所用的变换矩阵为于是，于是， 的标准形为的标准形为f;2221zzf ,100210111 c).01( c配方法配方法34 的系数的系数21x011 a例例4 用拉格朗日配方法化二次型用拉格朗日配方法化二次型323121622xxxxxxf 成规范形成规范形，并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵. 解解3213212121)( 6)( 2)( 2yyyyyyyyyyf 先用下面可逆变换，使二次型中先用下面可逆变换，使二次型中. 011 a .,33211211yxyyxyyx即即 321321100011011yyyxxx323122218422yyy

20、yyy 配方法配方法35323122218422yyyyyy 3222312182)42(yyyyyy 233222231282)( 2yyyyyy 23322221282zzzzz 用到的线性变换为用到的线性变换为.100010202321321 yyyzzz .,223322311yzyzyyz即即配方法配方法3623232322182)2( 2zzzzz 23232216)2( 2zzzz 23322221282zzzzzf 233222212)4( 2zzzzz 232221www 用到的线性变换为用到的线性变换为.6002220001321321 zzzwww .6,222,3332

21、211zwzzwzw即即配方法配方法37.6002220001321321 zzzwww.100010202321321 yyyzzz配方法配方法38 6002220001321www.100010202321 yyy1321100010202 yyy 32116002220001www 1000101021321yyy 32161622161213210000wwwyyy 321616221000001www配方法配方法39于是，于是， 321321100011011yyyxxx 32161622161213210000wwwyyy配方法配方法40于是，于是， 100011011321xxx

22、 32161622161210000www 3216161212163212132100wwwxxx所用的变换矩阵为所用的变换矩阵为因此，因此， 的规范形为的规范形为f).0(61 c;232221wwwf ,0061612121632121 c配方法配方法41定理定理9 (惯性定理惯性定理) 设有二次型设有二次型 ，它，它 axxft 的秩为的秩为 ，有两个可逆变换，有两个可逆变换rcyx 及及pzx 使使,2222211rrykykykf 及及,2222211rryyyf ),0( ik),0( i 则则rkkk,21正数的个数相等正数的个数相等. （证明：（证明：p275 th6.3）中

23、正数的个数与中正数的个数与r ,21中中42说明说明二次型的标准形正系数的个数称为二次型的二次型的标准形正系数的个数称为二次型的 负系数的个数称为负系数的个数称为负惯性指数负惯性指数. 正惯性指数；正惯性指数；若二次型若二次型 的正惯性指数为的正惯性指数为 ，秩为，秩为 ，则，则fpr 的规范形变可确定为的规范形变可确定为f.221221rppyyyyf 只有用正交变换把二次型化为标准形，标准只有用正交变换把二次型化为标准形，标准 形的系数才是二次型矩阵的特征值形的系数才是二次型矩阵的特征值.43例例5 下列矩阵中，与矩阵下列矩阵中，与矩阵 100012021a合同的矩阵是哪一个？为什么？合同

24、的矩阵是哪一个？为什么？;111)( a;111)( b;111)( c;111)( d44解解 析析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性定理解题定理解题.容易求得容易求得 的特征值的特征值 ，a3, 1, 1321 于是可知，于是可知， 所对应的二次型的正惯性指数所对应的二次型的正惯性指数a2 p1 q为为 ；负惯性指数为；负惯性指数为 .合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，故选故选(b). 应选应选(b)，理由是理由是:45例例5 下列矩阵中，与矩阵下列矩阵中，与矩阵 100012021a合同的矩阵是哪一个？为什么？合

25、同的矩阵是哪一个？为什么？;111)( a;111)( b;111)( c;111)( d46定义定义 设有二次型设有二次型 ，)(aaaxxftt 如果对任何如果对任何 ，都有，都有0 x0)( xf0 x0)( xf 如果对任何如果对任何 ，都有，都有 ，则称，则称 为为负定二次型，负定二次型，并称对称阵并称对称阵 是是负定的；负定的；faa阵阵 是是正定的正定的；(显然显然 )0(f0 )，f则称则称 为为正定二次型，正定二次型，并称对称并称对称47说明说明按定义，当变量取不全为零的值时，二次型按定义，当变量取不全为零的值时，二次型 若是正定若是正定 ( ) 二次型，则它的对应值总是二次

26、型，则它的对应值总是 正数正数 ( ) .负定负定负数负数若若 是正定二次型，则是正定二次型，则 axxft axxgt 就是负定二次型就是负定二次型.48定理定理10 二次型二次型 为正定的充要条件为正定的充要条件axxft 是：它的标准形的是：它的标准形的 个系数全为正数，即它的个系数全为正数，即它的n正惯性指数等于正惯性指数等于 . n推论推论1 正定二次型正定二次型 (正定矩阵正定矩阵) 的秩为的秩为 . n推论推论2 对称阵对称阵 为正定矩阵的充要条件是：为正定矩阵的充要条件是： a 的特征值全为正的特征值全为正.a证明证明49证证 已知已知 ，有可逆变换，有可逆变换 ，使，使axx

27、ft cyx .)()(2222211nntykykykyycyfxf 先证充分性：先证充分性：设设 ，任给，任给 ，), 1(0niki 0 x则则 ，故，故01 xcy. 02222211 nnykykykf再证必要性再证必要性: 用反证法用反证法. 假设有假设有 ，0 sk取取 (单位坐标向量单位坐标向量) ，sey , 0)()( sskcefxf这与这与 为正定相矛盾为正定相矛盾. f这就证明了这就证明了 . ), 1(0niki 0 scex则有则有 ，且，且50定理定理11 (霍尔维茨定理霍尔维茨定理) 对称阵对称阵 为正定的充要条件是：为正定的充要条件是： 的各阶的各阶主子式都

28、为正主子式都为正. 即即aa, 011 a, 022211211 aaaa. 01111 nnnnaaaa, 对称阵对称阵 为负定的充要条件是：为负定的充要条件是： 的奇数的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正阶主子式为负，偶数阶主子式为正. 即即aa, 0)1(1111 rrrrraaaa)., 2 , 1(nr 51正定二次型的判定：正定二次型的判定： 正定正定axxft f的正惯性指数的正惯性指数np a的的 个特征值全为正个特征值全为正nf的规范形为的规范形为yyft a合同于单位阵合同于单位阵ea的各阶主子式全为正的各阶主子式全为正52例例6 判定二次型判定二次型 的正定性的正定性. xzxyzyxf44465222 解解 析析：此题的目的是熟悉定理：此题的目的是熟悉定理11，用定理，用定理11判定二次型的正定性判定二次型的正定性. 的矩阵为的矩阵为f,402062225 a1 阶主子式：阶主子式：