初等代数几个重要理论

1、初等数论中的几个重要定理基础知识定义（欧拉（Euler）函数）一组数 打 '称为是模的既约剩余系，如果对任 意的I r / -;1且对于任意的；一，若侥英=1则有且仅有一个.是証 对模匸的剩余，即；-；.:二"：，：；'。并定义-二：" 中和互质的数的 个数，：称为欧拉（Euler ）函数。这是数论中的非常重要的一个函数，显然心1 ，而对于二.，；就是1,2，丨中与匸互素的数的个数，比如说 /是素数，则有 - J丨。讽阎十Y引理：；可用容斥定理来证（证明略）。定理1:（欧拉（Euler ）定理）设 圧：=1U 一分析与解答：要证-门“，我们得设法找出-：；-

2、1个、相乘，由-：；-1个 数我们想到1.中与互质的门的个数：人丄，由于< = 1，从而1 VI也是与；：互质的-个数，且两两余数不一样，故 三，而 （"丄1）= 1，故'。证明：取模 匸的一个既约剩余系：一一，考虑, 由于与匸互质，故-；1仍与匸互质，且有一!：=； 口，于是 对每个'二二都能找到唯一的一个-：-二匚，使得： ； '1：- - -，这种对J5i应关系匚是1的）三口如沖血疋勾他删的，从而一讥勺）三如（恥畑）o（骼驴）-】，*三1（叔阀，故/糾韵血词斶。证毕。这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一 组剩余系

3、来解决问题。定理2:（费尔马（Fermat ）小定理）对于质数及任意整数有厂二。设为质数，若是/的倍数，则 丿二"二'f|T- '1/ 1 o若不是f的倍数，则>一"由引理及欧拉定理得T , 由此即得。定理J推论：设为质数，是与/互质的任一整数，则1J-：-定理3：（威尔逊（Wils on ）定理）设/为质数，则-卅一=分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找丁 -个数，然后来对应乘法。证明：对于 （扎 P）= l ，在:二- -中，必然有一个数除以.余1这是因 为 二则好是；的一个剩余系去0 o从而对，使得L 工 1 ；若巧二切危芫戈,；= i，则门

4、工胡"",故对于 '. '' - ，有' I .。即对于不同的丄对应于不同的.， 即1中数可两两配对，其积除以 /余1，然后有：，使，即与 它自己配对，这时"111，一丨r，二1或一亠雹;：-r或二1。除：,-=1 < '外，别的数可两两配对，积除以/余i。故0-悴炉-1）上-1血0如）。定义：设 加）为整系数多项式（ <J<k ）,我们把含有.的一组同余式; -二）称为同余方组程。特别地，当 .：均为的一次整 系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组若整数同时满足： &© 三 O（n

5、wd 用J1 ，则剩余类-（其中 -：）称为同余方程组的一个解，写作 二一二小定理4：（中国剩余定理）设" '是两两互素的正整数，那么对于任意整数件，一次同余方程组mi,上 必有解，且解可以写为：见二上（1空V© wv |、这里，以及亠满足y 13%； 1二二（即J为工对模：的逆）。中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的形式并不重要。定理5 :（拉格郎日定理）设：是质数，、是非负整数，多项式丁 一 W 一 二；丨是一个模为、次的整系数多项式（即1），则同余方程 /（x）三 O（modp） 至多有个解（在模；有意义的情况下）。定理6

6、:若.为“对模的阶，：'为某一正整数，满足二T ：二< ,则:'必为.的 倍数。以上介绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。 另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时2 fl（mcd8）川为奇数时 2 fO（mod9） 3整除叫时 也会起到意想不到的作用，如：飞伽阴）伪偶数时，卩（mo均 还整渝时。 这里我们只介绍几个较为直接的应用这些定理的例子。典例分析例1.设丄1，求证：。证明：因为-丨一 ，故由 Lx 1知:-，从而 L-，但是段故由欧拉定理得： 广冷_：，；_从而.厂一 Ji：；同理 I。于是，-

7、.一丨Hi. .l-li,即。注明：现考虑整数的幕id所成的数列：匸二若有正整数打使/ 三 l（mo伽），则有 /三/（mod梆），其中 «=i?+rI0ir <k ；因而关于 二ut ,数列-的项依次同余于-.-；这个数列相继的 广项成一段，各段是完全相同的，因而是周期数列。如下例：例2 试求不大于100,且使11|F+严+4）成立的自然数丹的和。解：通过逐次计算，可求出关于 丨的最小非负剩余（即为被 11除所得的余数）为：因而通项为一'的数列的项的最小非负剩余构成周期为5的周期数列：3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4, 1 ,类似地，经过计算可得的数

8、列的项的最小非负剩余构成周期为10的周期数列：7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1,于是由上两式可知通项为 广!丨-!的数列的项的最小非负剩余，构成周期为10 （即上两式周期的最小公倍数）的周期数列：3, 7, 0, 0, 4, 0, 8, 7, 5, 6,这就表明，当一-二时，当且仅当时，亠'+叽匚：二，即11|（?+7+4）；又由于数列的周期性，故当:：/-:时，满足要求的、只有三个，即从而当 1<<100 时，满足要求的'的和为：999V（10+3）+（lCfc+4）+（10It + Q = 230Jt+13 30+10x13= 30x4

9、5+130= 1480JU）ii下面我们着重对Fetmat小定理及其应用来举例：1 5 1 3 7X H Jl HX例3.求证：对于任意整数 .1,10是一个整数。1 5 1 3 7X .葢y * I*.证明：令 f)=53 匸，则只需证 W) = +5?+7z 是15的倍数即可。由3, 5是素数及Fetmat小定理得 八-，-宀:叮二，贝y:-<' -." -: . " ； '.广匚、: - i.'ij.! V而(3, 5) =1，故； ：；.:-"-'1，即 1-V 是 15 的倍数。所以.< 是整数。例4 .求证：

10、-1；一|-"(1为任意整数)。证明：令门 < 门，则- ' -. L I :壮一 I ;所以；|)'1含有因式：-'-二丁H75孑2由Fetmat小定理，知13|厂/ 7|''又13 , 7, 5, 3, 2两两互素，所以2730=二*%5/X ：能整除；。例5设'是直角三角形的三边长。如果-是整数，求证:出 可以被30整除。证明：不妨设:是直角三角形的斜边长，则1 - J 。若 2 1, 21, 2c,则'-： + 丨 11 ' :，又因为- '- 矛盾！所以2|宀'.若 3*d ,3*b ,3

11、 i c,因为(3k ±1卩三 1mod $，则.+厂 1 + 丨.：i.'d 訂，又-.'.d./i，矛盾！从而 3| 乙，.若 5 4-d , 5 4-b , 5 ic ,因为(5k±l)，三 l(mod!5),(5上±2)-1血od5),2所以二，：一或 0(mod5)与 一-' - 1 矛盾！从而5| &士 .又(2,3,5)=1 ，所以 30| 一；一=.下面讲述中国剩余定理的应用例6 证明：对于任意给定的正整数 卜，均有连续卜个正整数，其中每一个都有大于 1的 平方因子。证明：由于素数有无穷多个，故我们可以取个互不相同的

12、素数，而考虑同余组"-；|l: J" I I因为I二一 上.显然是两两互素的,故由中国剩余定理知， 上述同余组有正整数解。于是，连续卜个数' 1分别被平方数整除。注：（1）本题的解法体现了中国剩余定理的一个基本功效，它常常能将“找连续个正整数具有某种性质”的问题转化为“找个两两互素的数具有某种性质”，而后者往往是比较容易解决的。（2）本题若不直接使用素数，也中以采用下面的变异方法：由费尔马数 两两互素，故将中的 一转化为? - - 1后，相应的同余式也有解，同样可以导出证明。例7 证明：对于任意给定的正整数；，均有连续、个正整数，其中每一个都不是幕数。分析：我们来证

13、明，存在连续"个正整数，其中每一个数都至少有一个素因子，在这个数的标准分解中仅出现一次，从而这个数不是幕数。证明：取1个互不相同的素数.匚，考虑同余组'- - ' 因为显然是两两互素的，故由中国剩余定理知， 上述同余组有正整数解。对于1二因为"I 丫工，故厂 1（E） ，但由式可知二' 1,即门在一 ''的标准分解中恰好出现一次，故； I都不是幕数。例8设是给定的偶数，丨且匚-1是偶数。证明：存在整数' ；使得- - -1/-'- I,且曲T证明：我们先证明，当、为素数幕；时结论成立。实际上，能够证明，存在'；使P、矽且"心：若匸-，则条件表明为偶数，此时可取 匚1；若-1 -，则-/ 一： 1与-/-中有一对满足要求。一般情形下，设 pfpf 才）=12是必的一个标准分解，上面已经证明，对每个訂存在整数 计厂使得I'!且: