【三维设计】高考数学一轮复习_(基础知识+高频考点+解题训练)二次函数与幂函数教学案要点

1、二次函数与募函数基础知胆要打军1 f C HI U Z H I $ H I ¥ A 0 A L A 0通双基 固率建得基分I掌捱程度17 / 15知识能否忆起、常用骞函数的图象与性质弋数 特征y=x2y=x3y=x1 y=x21 y=x图象r/THVyk/ /o *u定义域RRRx x>0x| xW0值域Ry|y0Ry|y0y|yw。奇偶性奇置奇非奇非偶奇单调性置(一巴0减(0 , 十刃增埴埴(8, 0)和(0 , 十刃减公共点(1,1)、二次函数1 .二次函数的定义形如f (x) = ax2 + bx+ c( aw0)的函数叫做二次函数.2 .二次函数解析式的三种形式(1)

2、一般式：f (x) = ax2+ bx+ c(aw。)；(2)顶点式：f (x) = a(xm)2+ n( aw0)；零点式：f (x) = a(xxi)( x x2)( aw0).3.二次函数的图象和性质a>0a<0图象Mb7图象对称轴:x=-;盖顶点：一堇4ac b2、 4a特点性质定义域xC R值域一i_2yeF-，+81/1 244ac b 1y；,4a '奇偶性b= 0时为偶函数，bwo时既非奇函数也非偶函数单调性xC8, 211 时递减，x - 2a,+ 8时递增xe-2a1时递增，xe1 , +°0 ;时递减1 2a )小题能否全取1 .若f (x)

3、既是哥函数又是二次函数，则f (x)可以是()A. f (x) =x2- 1B. f(x) =5x2C. f (x) =- x2D . f (x) =x2解析：选D形如f(x)=x"的函数是备函数，其中 “是常数.2 .(教材习题改编)设a 1-1, 1, 1, 3 >,则使函数y=x "的定义域为R且为奇函数 的所有a值为()A . 1,3B. - 1,1C. - 1,3D. 1,1,3, ，一 ，, 一 ，1解析：选 A 在函数y= x , y = x, y = x2, y = x中，只有函数 y = x和y = x的te义域 是R,且是奇函数，故 a = 1,3

4、.3 .(教材习题改编)已知函数f (x) =ax2+x+5的图象在x轴上方，则a的取值范围是)a I0, 20JC . 5+8a>0,解析：选C由题意知i20a>0,1 20a<0解析：设备函数的解析式为4.(教材习题改编)已知点M骞函数f (x)的图象上，则f (x)的表达式为y= x",贝U 3= %,得 a = - 2.故 y= x 2A<0,2答案：y=x5.如果函数f(x) =x2+(a+2)x+ b(xCa, b)的图象关于直线x=1对称，则函数f(x) 的最小值为.解析：由题意知a+22a= 一 4则 f (x) =x2 2x + 6= (x-

5、1)2+5>5.答案：51 .募函数图象的特点(1)募函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)募函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果募函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2 .与二次函数有关的不等式恒成立问题2ta>0,(1)ax + bx+c>0, a wo恒成立的充要条件是 、2。2a<0,(2) ax + bx+c<0, awo恒成立的充要条件是 2 2b 4ac<0.注意当题目条件中未说明 awo时，就要讨论a=0和awo两种情况.电.高频考点要通关孤考点 学技法得竣惠分I拿搜程

6、度KAOPIA YAaT<)N(.iUA _ II考点一 I哥函数的图象与性质1典题导入例1已知募函数f(x) = (m2m-1)x 5m 3在(0, 十°°)上是增函数，则mi=自主解答,函数f (x) = (m2m- 1)x 5m1"3是哥函数，21. m- m-1 = 1,解得 im= 2 或 m= 1.当m= 2时，5m-3=- 13,函数y = x 13在(0 , +0°)上是减函数；当mi= 1时，5mv 3=2,函数y=x2在(0 ,十)上是增函数.m= 1.答案1&由题悟法1 .募函数y = x"的图象与性质由于

7、a的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1) a的正负：a>0时，图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升；a<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降.(2)曲线在第一象限的凹凸性：a>1时，曲线下凸；0<a<1时，曲线上凸；a<0时，曲线下凸.2 .在比较哥值的大小时，必须结合哥值的特点，选择适当的函数.借助其单调性进行 比较，准确掌握各个哥函数的图象和性质是解题的关键.以题试法1. (1)如图给出4个哥函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是(2, 0-1解析：选B由图知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R,当x>0时，图象是向下凸的，

8、结合选项知选B.(2)(2013 淄博模拟)若a<0,则下列不等式成立的是()A. 2a>g)>(0.2) aB . (0.2) a>£)>2aC. I1 a>(0.2) a>2aD. 2a>(0.2) a> 1 a2 2解析：选B若a<0,则哥函数y=xa在(0, +8)上是减函数，所以(0.2) a。.所以(0.2) a>考点二I求二次函数的解析式典题导入例2已知二次函数f(x)有两个零点0和一2,且它有最小值一1.求f (x)解析式；(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式.自主解答(1)由于

9、f(x)有两个零点。和2,所以可设 f (x) = ax(x+2)( aw。),这时 f (x) = ax(x + 2) = a(x + 1)2 a,由于f(x)有最小值一1,a>0,所以必有解得a= 1.-a= - 1,因此 f(x)的解析式是 f (x) =x(x + 2) =x2+2x.(2)设点P(x, y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点P' (x, y)必在f(x)图象上，所以一y=( x) +2(x),即y= x2- 2x,y = x2 + 2x,故 g(x) = x2+ 2x.&由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法.合理选择解析式的形式，

10、并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法.3以题试法2 .设f(x)是定义在R上的偶函数，当 0WxW2时，y = x,当x>2时，y=f(x)的图象 是顶点为R3,4),且过点A(2,2)的抛物线的一部分.(1)求函数f (x)在(一00, 2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图;(3)写出函数f(x)的值域.解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x3)2 + 4,将(2,2)代 入可得a=- 2,则 y= 2(x3)2 + 4,2即 x>2 时，f (x) =

11、 - 2x +12x- 14.当 x<- 2 时，即一x>2.又 f (x)为偶函数，f(x)=f(-x) = -2X( - x)2 - 12x 14,即 f (x) = 2x2- 12x- 14.所以函数f(x)在(8, 2)上的解析式为 2f (x) = 2x 12x- 14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数 f(x)的值域为(一8, 4.1考点三1二次函数的图象与性质土典题导入例 3 已知函数 f(x) =x2+2ax+3, xC4,6.(1)当a= 2时，求f (x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y = f(x)在区间4,6上是单调函数.自主解答(

12、1)当 a= 2 时，f(x) =x2-4x+ 3=(x2)21,由于 xC4,6.所以f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，故f(x)的最小值是f (2) =1,又f (4) =35, f (6) =15,故f(x)的最大值是 35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x=-a,所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有一aw 4或一a>6,即aw6或a>4.故a的取值范围为(8, 6 U4 , +8).一入多变本例条件不变，求当a=1时，f(| x|)的单调区间.解：当 a=1 时，f(x) =x2+2x+3,则 f (| x|) = x2+ 2|x| +3

13、,此时定义域为 x C 6,6,x2+2x+3, x 6, 且 f (x) = < 2x2-2x+ 3, x -6, 0,故f(| x|)的单调递增区间是(0,6, 单调递减区间是6,0.金由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意:(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法.3以题试法3 . (2012 泰安调研)已知函数f(x) = -x2+2ax+1-a在xC 0,1时有最大值2,则a 的值为.解析：f(x) = (xa)2+a2a+1,当 a>1

14、 时，ymax= a；当 0Wawi 时，ymax= a2a+1;K1,a<0,或“1a+1=2- 1-a=2,当 a v 0 时，ymax= 1 a.a>1,0<；根据已知条件i或I2a=2用-解得a= 2或a= - 1.答案：2或1考点四I 二次函数的综合问题人典题导入例4 (2012 衡水月考)已知函数f (x) =x2, g(x)=x1.(1)若存在xC R使f (x)<b g(x),求实数b的取值范围；(2)设F(x) =f(x) mgx)+1 mr m2,且|F(x)|在0,1上单调递增，求实数m的取值范围.自主解答(1) ? xC R, f(x)<b

15、g(x)? ? xC R, x2 bx+ b<0? ( b)2 4b>0? b<0 或 b>4.故b的取值范围为(8, 0)U(4, +8).(2) F( x) = x2 m肝 1 rm,A = m2 4(1 m2) = 5m24.m2<0,则必需 _55当A>0,即m<或5m>时,设方程 F(x) = 0 的根为 X1, X2(X1<X2).5Hm若 2R1,X1 W0,'m m>1即f2F.2_1 m<0X2<0,"m口 32即s2F.2_1 m>02,5? - Kmc - -5.综上所述,m的

16、取值范围为-1,0 U2 , +8).由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.3以题试法4,若二次函数 f (x) = aX2+bX+c( aw0)满足 f (x+1) f ( x) = 2x,且 f (0) =1.(1)求f (x)的解析式；(2)若在区间1,1上，不等式f(x)>2x+M值成立，求实数 m的取值范围.解：(1)由 f (0) = 1,得 c= 1.即 f (x) = ax2+ bx+ 1.

17、又 f (x+ 1) f (x) = 2x,则 a(x+1)2+ b(x+1) +1 (ax2 + bx+1)=2x,即 2ax+ a+ b=2x,所以a=2,a+ b= 0,解得a= 1, |b=- 1.因此，f(x) = x2x+1.(2) f(x)>2x+m等价于 x2x+1>2x+ 簿 即 x23x+1 n>0,要使此不等式在1,1 上恒成立，只需使函数g(x) =x23x+1m在-1,1上的最小值大于0即可. g(x) =x23x+1 m在-1,1上单调递减，.g(x)min = g(1) =- m- 1,由一m- 1>0 得，n<- 1.因此满足条件的

18、实数 m的取值范围是(一8, 1).解即调练3E2S效JI E TI XUNL A N YAOx|0 WxW4B.A级i全员必做题A. x|0<xw 啦C. x|一也<x<解析：选D由f.2(2芦D.1a =2,即抓规范 拒绝假鬲手低掌捱制度x| 4< x<4f(x) =x2,故 f(| x|) <2? |x|-<2? |x|<4,故其解集为x| -4<x<4.2.已知函数y=ax2+bx+c,如果 a>b>c且a+ b+c=0,则它的图象可能是 ()解析：选D- a>b>c,且 a+b+c=0,a>0,

19、 c<0.图象开口向上与 y轴交于负半轴.3.A.“a)”亦f a<f bB.f a<fb<f(b)<f(a)，1 4，一，一一已知f(x)=x2,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是 (c f<f(b)<f b<f aD. f 1<f(a)<f 1 <f(b) ab1 1,一 ,一一1 ,i 一一一1 1,解析：选 C 因为函数 f(x)=x二在(0 , 十°°)上是增函数 又0<a<b<；<一,故2baf(a)<f(b)<f b<f a.4 .

20、已知 f(x) =x2 + bx+c且 f( 1) = f(3),则()A.f(3)<c<fC.(3)<c解析：选D由已知可得二次函数图象关于直线x=1对称，则f(3)=f(5) , c= f(0)= f(2),二次函数在区间(1, +8)上单调递增，故有 f( -3) =f(5)> f!>f(2) =f(0)=c.5 .设二次函数f (x) = ax22ax+c在区间0,1上单调递减，且f( m) < f (0),则实数 m 的取值范围是()A.(巴 0B. 2 , +oo)C.(巴 0 U 2 , +8 )d. 0,2解析：选 D 二次函数f (x) =

21、 ax22ax+ c在区间0,1上单调递减，则 aw0, f' (x) = 2a(x-1)<0, xC0,1,所以a>0,即函数图象的开口向上，对称轴是直线x=1.所以 f(0) =f(2),则当 f(m)<f(0)时，有 0w me2.6 .若方程x22m杆4 = 0的两根满足一根大于1, 一根小于1,则m的取值范围是()A.8, 一 5)B. g +8 )C. (-OO, 2) U (2 , +oo)D. -1, +8 ；解析：选B设f(x)=x22m刈4,则题设条件等价于f(1)<0 ,即1 -2m 4<0,解得5 m>2.7 .对于函数y=x

22、2, y = x2有下列说法:两个函数都是募函数；两个函数在第一象限内都单调递增；它们的图象关于直线 y=x对称；两个函数都是偶函数；两个函数都经过点(0,0)、(1,1);两个函数的图象都是抛物线型.其中正确的有.解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较.答案：8 . (2012 北京西城二模)已知函数f(x) = x2+bx+1是R上的偶函数，则实数 b = ,不等式f(x1)<x的解集为.解析：因为f(x)=x2+bx+1是R上的偶函数，所以 b=0,则f(x)=x2+1,解不等式 (x1)2+1<x,即 x23x+2<0 得 1<x<2.答

23、案：0 x1<x<29 .若x>0, y>0,且x+2y=1,那么2x + 3y2的最小值为 .1解析：由 x>0, y>0, x= 1 2y>0 知 0W yW/,令 t =2x+3y2=3y2-4y+ 2,则 t =3'y-| 2+2.3 3在I" 2 (递减，当y = 2'时，t取到最小值，tmin=73答案：二410.如果哥函数f (x) = x |p2+p+|( pC Z)是偶函数，且在(0, +8)上是增函数.求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式.解：: f(x)在(0 , +8)上是增函数，1 23 一 r

24、r 2 一 一一2p + p + 2>0,即 p 2p 3<0. 1<p<3.又f (x)是偶函数且pCZ,p= 1,故 f (x) =x2.11.已知二次函数f(x)的图象过点 A( 1,0)、B(3,0)、Q1 , 8).(1)求f (x)的解析式；(2)求f(x)在xC 0,3上的最值；(3)求不等式f (x) >0的解集.解：(1)由题意可设 f (x) = a(x+ 1)( x- 3),将 C(1, 8)代入得一8=a(1+1)(1 3),得 a=2.即 f (x) =2(x+1)( x3) = 2x24x 6. (2) f(x)=2(x 1)28,当x

25、C0,3时，由二次函数图象知,f(x)min=f(1) = 8, f ( x) max= f (3) = 0. f (x) >0 的解集为x|xW 1,或 x>3.12.已知函数 f (x) = ax22ax+2+b(aw0),若 f (x)在区间2,3上有最大值5,最小值2.(1)求a, b的值;(2)若b<1, g(x)=f(x)mx在2,4上单调，求 m的取值范围.解：(1) f(x) = a(x1)2+2+ba.当a>0时，f (x)在2,3上为增函数,5,9a-6a+2 + b=5,?.2,4a-4a+2 + b=2,a= 1, ,b= 0.当a<0时，

26、f (x)在2,3上为减函数，f2,9a-6a+2 + b=2,故V? ”f5,4a-4a+2 + b=5,a= - 1,b= 3.(2) b<1,a= 1, b=0,即 f(x) = x22x+2.g( x) = x2 2x+ 2 mx= x2 (2 + n) x+ 2,. g( x)在2,4上单调,2+m m 2卜2<2 或一2 >4 . .-.mC2 或 m>6.B级重点选做题1.已知 y=f(x)是偶函数，当 x>0 时，f (x) = (x1)2,若当 xC 1一2, 一2 时，nwf(x)wm恒成立，则m- n的最小值为()1A. 一 31B. 一 2

27、3C.D. 14解析：选 D 当 x<0 时，一x>0, f (x) =f ( -x) =(x+1)2,- x |-2, -2 !f ( x) min = f ( 1) =0, f ( x) max= f ( 2) = 1 ,. rn> 1, n<0, m- n>1.2. (2012 青岛质检)设*)与g(x)是定义在同一区间a, b上的两个函数，若函数 y= f(x)g(x)在xCa, b上有两个不同的零点，则称 f(x)和g(x)在a, b上是“关联函 数”，区间a, b称为“关联区间”. 若f(x)=x23x + 4与g(x)=2x+m在0,3上是“关联函数

28、”，则m的取值范围为.解析：由题意知，y=f (x) g(x) =x25x+4 m在0,3上有两个不 同的零点.在同一坐标系下作出函数y=m与y = x25x+4(xC 0,3)的故当me94'图象如图所示，结合图象可知，当x 2,3时，y = x -5x+4 2 时，函数 y= m y = x2 5x+ 4( xC 0,3)的图象有两个交点.答案：4, 213. (2013 滨州模拟)已知函数 f (x) =ax2+bx+c(a>0, bC R, cCR).f xx>0,(1)若函数f (x)的最小值是f ( 1) =0,且c=1, Rx)="求F(2)f xx

29、<0,+ F( 2)的值；(2)若a=1, c=0,且|f(x)| <1在区间(0,1上恒成立，试求 b的取值范围.解：(1)由已知得 c=1, a- b+c = 0, = = 1,2a解得 a=1, b=2.则 f(x) = (x+1)2.则 F(x) = "x+12, x>0,x+12, x<0.1即 b<x-故 F(2) +F( -2) = (2 + 1)2+ -(-2+1)2 =8.(2)由题意得f (x) = x2+ bx,原命题等价于1 < x2+ bx< 1在(0,1上恒成立,x且b> x在(0,1上恒成立. x又当xC(0,1时，1 x的最小值为0, 1 x的最大值为一2, xx故2W b<0.|教际备遗孤1 .比较下列各组中数值的大小.(1)3 0.8,30.7 ; (2)0.21 3,0.23 3;(3)4.1 |, 3.8 -|, (-1.4) 3; (4)0.2 0', 0.4 0". 555解：(1)函数y=3x是增函数，故30.8>30.7.2 2) y = x3是增函数，故 0.21 3<0.23 3.(3)4.1 5>1,0<3.8 -f(x)=ab-a)+1-a，<1,而(1.4)3<0,故 4.12>3.8 2>