拓扑空间课件

1、第二章第二章 拓拓 扑扑 空空 间间 v2.1 拓拓 扑扑 空空 间间v2.2 拓扑基与邻域系拓扑基与邻域系,邻域基邻域基v2.3 度度 量量 拓拓 扑扑v2.4 闭集闭集,闭包闭包v2.5 导集导集,内内 部部, v2.6 拓扑空间中的序列拓扑空间中的序列v2.7序序 拓拓 扑扑2.1 拓拓 扑扑 空空 间间v 重点：拓扑空间定义的理解重点：拓扑空间定义的理解v 难点：拓扑空间定义的理解难点：拓扑空间定义的理解(1) t,x;tba,(2) 如果，则tba；tt 1(3) 若,则11ttaa.t即 是x的一个子集族.如果 满足如下条件:集),t则称 是x的一个拓扑.t定义定义2.1.1 设x

2、是一个集合,)(xpt ( 表示x的幂( )xp(1) x的任意有限开集族的交是开集.(3) 任何开集族的并是开集.扑空间x中的开集，因此拓扑空间x的定义可以理解为：一个集合x的拓扑是x的一个开集族满足条件：,x(1)是开集(2) 任意两个开集的交集是开集()xtp是x的拓扑的条件可以叙述为: (2) x的任意开集族的并是开集.中的每一个元素是拓t设t是x的一个拓扑，由于例例2.1.1 平庸空间平庸空间是x的一个拓扑，称之为x的平庸拓扑，并且我们.间中只有两个开集，即x自身和空集例例2.1.2 离散空间离散空间是开集. 为一个离散空间,在离散空间中, x的每一个 子集都, xt是一个集合，令x

3、设 ，易验证t个拓扑, 称之为x的离散拓扑,并且称拓扑空间 (x, ) t)为一个平庸空间.显然在平庸空t称拓扑空间(x,设x是一个集合,令)(xpt ,显然,t是x的一 例例2.1.3 设x是一个三元素集合, , , ,xa b c我们x上可以构造不同的拓扑,下面我们介绍其中一些拓扑.,1xt,2xbaat,3xcbbabt,4xbt ,5xcbat ,8xbabat)(9xpt ,7xbat,6xcbbacbt当然，通过对以上拓扑中a,b,c的不同排列，我们在x上还可建立其它拓扑结构.但是,并不是x的每个子集族都是x的拓扑. 例例2.1.4 有限补拓扑有限补拓扑设x是一个集合，首先注意，当

4、我们考虑的问题 中的全集自明时，在求补集运算时我们并不每次 提起，因此在本例中，a的补集a即为xa.令 | )(的一个有限子集是xuxuf pt例如，下面的两个x的子集族就不是x的拓扑.a1=a,b,x, a2=a,b,b,c,x,不满足定义2.1.1条件(3), a1不满足定义2.1.1条件(2) a2|的一个有限子集是xuxxuft即 ,xxft(1) 根据定义,此外，由于因此fxt.(2) 设fbat,， ab若或者，则 ba,fbat； 假定，由de morgan)()()(bxaxbax定律bxax,以及fbat)(bax为有限集可知是有限集，因此.1tfaatt1ftt 1(3)

5、设,如果,则.是x的一个拓扑.先验证ft1t1tfaatt1如果,当时, ;1t1t10ta当时,取,这时0)(11axaxaxaatt. fat00a由于且，0ax 因此是有限集， axa1t 从而是有限集，因faatt1. 此ft根据上述(1),(2),(3),是x的一个拓扑,称之为x的有ft限补拓扑,拓扑空间(x, )称为一个有限补空间.读者不难验证,有限集x的有限补拓扑是x的离散拓扑,( ).fxtp即若x是一个有限集,那么例例2.1.5 可数补拓扑.设x是一个集合，令ct=ux|x-u是x的一个可数即可数集合x的可数补拓扑是x的离散拓扑.子集通过与例2.1.4中完全类似的作法易验是x

6、的一个拓扑(留作习题),称之为x的可数补拓t证)称为一个可数补空间.扑,拓扑空间(x, ct读者自行验证，若x是一个可数集，则( ).cxtp否则，就称为不可比较的. 当然，同集合上不可比较的拓扑是存在的，例如定义定义2.1.2 设 是集合x上的两个拓扑 ,如果 t,tt或称 比 粗,如果 t,我们称 比 细, tttt,tt我们称 比 严格细,或称 比 严格地粗.如果 ttttt我们称拓扑 与 是可比较的.t或,tttt,是x显然，对于集合x来讲，粘合扑拓 =x,t 上最粗的拓扑，离散拓扑 =p (x)是x上最细的拓扑.t 与 就是x的两个不可比较的拓扑.1t2t,cbax ,1xbaat,

7、xcbb，那么2t间.t习习 题题 2.1|nmzmanzn2. 对每一个正整数，令，证明 |znant是正整数集z+的一个拓扑. x上的两个给定拓扑.令,xxxtt,证明),(tx是一个拓扑空拓扑.1. 验证例2.1.5中集族 是x上的拓扑.ct3. 设(x, )是一个拓扑空间, 是任何一个不属于x的元素, , ,baax,cbax (3) 设， 1t 也是x的2t1t4. (1)设 和 是集合x上的两个拓扑,证明 1t2t2t1t 可以不是x上的拓扑，其中 ， 是(2) 举例说明1t2t是集合x上的一族拓扑,证明在x上存在一jt5. 设.t拓扑包含着每个之中,在x上存在一个最粗的t个最细的

8、拓扑空间包含于每个jtjt(提示:设是x上一族拓扑,则是x上的一个拓扑).2t于 和 的最细的拓扑.1t, ,cbax2t2t找出包含 和 的最粗的拓扑和包含1t难点：由邻域系决定拓扑方法的证明难点：由邻域系决定拓扑方法的证明 2.2 拓扑基与邻域系拓扑基与邻域系,邻域基邻域基重点：邻域的定义，性质，邻域基的定义重点：邻域的定义，性质，邻域基的定义构成的x的子集族称为点x的邻域系.易见，如果u是包含着点x的一个开集，那么一定是x的一个邻域，此时我们称u是点x的一个开邻域.点x的所有邻域vu,则称u是点x的一个邻域. 得xu是x的一个子集且满足条件: 存在一个开集v 使tx，如果定义定义2.2.

9、1 设(x, )是一个拓扑空间,xt故u,u便是x的一个邻域.只要x证明:必要性.若u是开集，则对每点xx,u即是x的一个开邻域., 充分性.若u=，显然u是开集，若u 则对xu， 由于u是邻域，由定义2.2.1，必存在开集 .xx ux uuxuuux使得xuxu.因此，.x uxuu 由定义2.1.1(3)知u是一个开集. 充分必要条件是u是它的每一点在(x, )中的邻域.即t定理定理2.2.1 拓扑空间(x, )的一个子集u是开集的t邻域系,则:证明 : (1) 对于任何,xx由于x是一个开集,因此x是定理定理2.2.2 设x是一个拓扑空间,记 为点xx的xu;xuuv(2) 如果u,v

10、 ,则xuu;x ，则xu,并且如果u (1) 对于任何xx, xu满足条件 xuv,则存在u(4) 如果xuv( ) i;vu( )iivy对于,有.yuvvu (3) 如果u ,并且,则xu;xu00,x uu x vu 使得,因此 00,x uvuv由定理2.2.1一个点的邻域必包含这个点本身. 此外根据. xu,因此x的一个开邻域,因此 xxuuv00vu 于是一个开集,因此.xu,由定义2.2.1则存在开集u0，v0 (2) 设,u vxuvvux00,xuu从而有,因此.xu使得0u则存在开集,uv且u(3) 设,xu由于 ,xvu因此v是x的开邻域.因此v.xu使得 v由定义2.

11、1.1则存在开集u(4) 设,xuv是开集，因此由定理2.2.1可知v是它每一点的邻域,即对每个 ,.uyy vv了x的子集族u x,并且它们满足定理2.2.2中的条件(1)证明:|,xuxxuu如果则tu即|是它的每一点的邻域uxu t拓扑空间(x, )中的邻域系. t定理定理2.2.3 设x是一个集合, 又设对于每一点xx指定x则 是t,uxu,则ux|如果x-(4),令ut = 唯一,xx的一个拓扑使得对于每一点 xu子集族 是点x在 . ,uxxx(i)显然t;对于任意,由条件(1),取xx,xux,uxu显然有由条件(3)可知是点tx的邻域,因此.,xabtba,(ii)设,如果因此

12、,xaxb因此xbau必有xbau, 由条件(2)可知,由x的任abt意性可知.,xu由于tt 1u， 且1, taua由条件(3)有 下面验证 是x的一个拓扑.t，使得tu,则存在axa1t对任意(iii)设 1tt, x的一个拓扑.中的邻域系.下面证明*.xxuu(i)设,uxu由条件(4)可知存在uxv使得,uyvvy,vu且对任意有因此,tv从而,uvx且,tv由定义2.2.1可知*,uxu因此*.xxuu因此我们证明了 是xaa ut1.因此，ttaa1.t*xu,x对每一点x以记点x在拓扑空间(x, ) t ,tv*,xuu(ii)设由定义2.2.1可知存在*.xxuu,xuu(3

13、)可知 因此从而我们证明了.*t = t*t扑空间(x,)的邻域系,然后证明是x的又一个拓扑使得对于,xxxu是点x在拓*tu(i)设,tu即是拓扑空间(x,)中的开集, 又假定xu是x点在(x, *t)中的邻域 系,因此由 *,xxuu即子集族xu恰是点x在(x, )中的邻域系. t由条件,xvu使得*, x vu显然根据 的定义 t下面证明拓扑 的唯一性,为此我们假定*tt ,tu义有因此tt .*txu必有,xuu然而又假定是x点在（x,）中的邻*.tt域系，由定理2.2.1的充分性可知 ,tu因此*.t = t综合(i)(ii)知(ii)设,tu即u是（x， ）中的开集，又已证明t,x

14、uu,ux由定理2.2.1可知对于任意再由 的定t,uxxu是x点在（x， ）中的邻域系，因此对于任意 t.vuxvb对每个 ,xuu存在使得则称xb为点显然,|uxuxtb, 即所有包含点x的开集且满足条件：xxubxu是x点在(x, )中的邻域系,如果t定义定义2.2.2 设(x, )是一个拓扑空间,对每个 ,xxt构成的集族,是x点在(x, )中的一个邻域基. tx在(x, )中的一个邻域基. t难点：由拓扑基决定拓扑的方法证明难点：由拓扑基决定拓扑的方法证明 2.2 邻域系邻域系,邻域基与拓扑基邻域基与拓扑基重点：由拓扑基决定拓扑的方法重点：由拓扑基决定拓扑的方法与应用与应用 ， au

15、a u u 满足条件:对于每个tu，存在b 使得是拓扑空间x的一b的一个基，也称b则称是拓扑t个基.例例2.2.1 在离散拓扑空间x中, =p (x)，显然b=x|tb如果bt,定义定义2.2.3 设(x, )是一个拓扑空间,txx 就是x的一个拓扑基.t , b使得x(1) 对每个x x,存在u;u(2)如果b1,b2b, x12,bb那么存在b3b使得xb3b1b2. uu u因此对每个xx， 即x存在uu,使得x u，由b, u 于u因此ub. 扑基，则 满足下列条件:btb定理定理2.2.4 设(x, )是一个拓扑空间, 是 的一个拓t,uuub,使得x=证明(1) 由于x ,因此存在

16、u t 12bbub,使得u ,因此若12,xbb则存在b3u使得xb312.bbb, 使x |存在u =u 2.2.6中的条件(1)(2),则 t,因此存在 12bbt ,因此(ii)若b1,b2b,由于b t是x的唯一拓扑使得 是 的一个拓扑基.此得u=u bt定理定理2.2.5 设x是一个集合, bp(x), 且 满足定理b时我们称 是由基 生成的拓扑.tb证明:先验证 是x的一个拓扑.t 由条taa(i)由于b且,因此;又对 ,xxxt.bux | x x，因此xuuxb2112.abuubx 显然u1u2=，且 12abuu2ub,使得u2=u2，因此12uu(),abu2使得 u1

17、,b设x u1u2,则存在axab1ub ，使得u1= ，则存在u1(ii)设u1，u2 t1,u存在,xx xux,显然x= xux 使得 件(1):存在 xub且u2,又由于a，bb 由条件(2)可知存在bxb 使得xbx |x u1u2b,因此 t21uu . 图2.2.1baabaaaauaaau)(因此 a=， 由于b|bua,aa的关系如图2.2.112, , ,xuua b bb,因此a t.b使得a=存在uaa ， 则对a(iii)设a t,a ,下面,我们在实直线上给出几种拓扑.由这个基生成的拓扑称为实数集合上的通常拓扑，带有通常拓扑的空间称为实数空间。 为拓扑基的另一个拓扑

18、,读者不难证明 . b*t = t*tt由 的定义即可知 是 的一个拓扑基.再设 是以tb例例2.2.2 设 是由实直线r上的全部开区间构成，即b理2.2.7中条件(1)(2),从而 是r上的一个拓扑基. b =(a,b)| ab=x|axb|ab,容易验证 满足定bb)b 例例2.2.3 设=a,br|ab=axbr|am时只能有xxi.xximi 使得zm件是存在时,.(2) 如果a是x中的一个不可数子集,则d(a)=x,即x中每一点都是a的极限点.,这是因为假如ua数集,因此ua,则有x,)()(xuxaxxua)( 即由于a是不可数集而xuxax)()(xu是可数集.因此是不可能的.u

19、a从而只有,由于a是不可数集,从而a-x仍,因此xd(a),因此( )axu 是不可数集,从而 ,则xu是一个可xx设,对任意ubx,由于bxctd(a)=x.,其中 0 x立.令a=x-xx 0,它是一个不可数集,根据是a的一个极限点,然0 x,也就是说)(0adx (2) 我们有0 x0 x而根据(1),在a(即x-)中不可能有序列收敛于.ziix 定理定理2.6.3 设(x,)是一个度量空间, 是x中的一.则以下条件等价: xx个序列，现在说明定理2.6.2的逆命题在拓扑空间(x, )中不成ct(1) 序列ziix 收敛于x;ni ,zn, 0(2) 对于任意给定实数存在当时,有),(x

20、xi.(3) 0),(limxxii证明由读者自己完成. 习习 题题 2.6ziix 1. 设x是一个离散空间,设是x中的一个序列,收敛当且仅当存在ziix 证明：序列zm使得当jixx mji,时,有.2. 设(x,d)是一个度量空间,证明(1) x中的每一个收敛序列只有唯一的一个极限点,(2) 定理2.7.2的逆命题成立.3*. 举出定理2.7.2和定理2.7.3的逆命题不成立的例子,使得所涉及的空间只含有可数个点. 21tt ),(),(21ttxx4. 设是两个拓扑空间，并且，ziix 证明：若x中序列在拓扑空间),(2tx收敛于x，中也收敛于x.),(1tx在拓扑空间ziix 则序列

21、设x是一个有序集,我们可以像实数集r那样在x上定义标准拓扑,我们称之为序拓扑.定义定义2.7.1 设是x上的一个序关系,a,bx,ab,以下四种形式的子集叫做x中的区间.(a,b)=x|axb 叫做x中的开区间,(ba=x|axb 叫做左开右闭区间,),ba=x|axb 叫做左闭右开区间,b 叫做闭区间.,ba=x|ax 2.7序序 拓拓 扑扑定理定理2.7.1 设1时，n=(n-1,n+1)是一个基成员,当n=1时,1= )2 , 1也是一个基成员. 证明:检验 满足定理2.2.7中条件(1)-(2),由读者自b例例2.7.2 是一个有最小元(在通常序下)的有序集，z是其 上的序拓扑是离散拓

22、扑,因为 nnzb = |x上的序拓扑不是离散拓扑,虽然在这个字典序拓扑空间中大多数几乎全部的单点集都是开集,但单点有直接前行. 例例2.7.3 设x=1,2 是字典序集,该序集有一个最z小元,但没有最大元,我们用 表示(1,n),用 表示(2,n),nanb则x可表示如下:1212, , , ,.a ab b集 不是开集,因为任何一个包含 的基成员必定1b1b包含 从某一项以后的全部项,这是因为 没1b12, ,a ab，a则开区间(a,b)=(a,b),(c,d)如图2.7.1所示,读格地细.例例2.7.4 我们给实平面 上赋予字典序.在字典序下, 2r2r 即无最大元,亦无最小元,因此 上的序拓扑基成2r2r的一个基,因此 上的字典序拓扑比 上的标准拓扑严2r第一种类型的开区间构成的集族是 上字典序拓扑2r者自行验证集族 =(a,b),(a,d)|ba和xx|xa为x中的开射线, 分别记作和),(a,称x的子集x|xa和xx|xa为x中的闭射(, .a线,分别记作),a和定理定理2.7.2 设x是一个有序集,