对坐标曲面积分

1、编辑ppt1第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十章 编辑ppt2一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影(一) 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt3其方向用法向量指向表示. 法向量(cos)(cos)(co

2、s ) 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧侧的规定指定了侧的曲面叫有(定)向曲面, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (二)双侧曲面的定向注:对于非定向曲面在一点的法向量可以取两个方向(它们从X-轴来看有前后之分;Y-轴来看有左右之分; Z-轴来看有上下之分;xFyFzF故曲面的向从X-轴来看有前后之分;Y-轴来看有左右之分; Z-轴来看有上下之分;故但对于定向曲面只能其中一个方向.对于一个向量1:有(定)向曲面定义方向相反)编辑ppt4 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(其面元在 xoy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当

3、0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)( ,)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 2:有向曲面对坐标轴的投影注: 由投影的定义有()cosxySdS()cosyzSdS类似的有()coszxSdS编辑ppt5二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量单位法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑pp

4、t6对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS对稳定流动的不可压缩流体的速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt7设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,

5、yxRxzQzyPdddddd记作P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2. 定义定义.机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt8zyPddxzQdd称为Q 在有向曲面上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为R 在有向曲面上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;若记 正侧正侧的单位法向量为令)cos,cos,

6、cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxRxzQzyPddddddSnAdSA d编辑ppt9zyPddxzQddyxRdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：（）由对坐标的曲面积分的定义可知道对坐标的曲面积分有其物理意义：yxRxzQzyPdddddd表示稳定流动的不可压缩流体的速度场为),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 单位时间流过有向曲面 的流量表示方向平行x轴正向（即垂直YOZ面）流体单位时间流过有向曲面 的流量( , , )

7、P x y z速度为表示方向平行z轴正向（即垂直XOY面）速度为( , , )R x y z流体单位时间流过有向曲面 的流量表示方向平行y轴正向（即垂直XOZ面）速度为( , , )Q x y z流体单位时间流过有向曲面 的流量编辑ppt10机动 目录 上页 下页 返回 结束 故计算yxRxzQzyPdddddd只需要分别计算zyPddxzQddyxRdd（）注意和对面积曲面积分定义的异同d dd dd dP yzQ zxR x yzyPddd dQ z xd dR x y(2)故编辑ppt113. 性质性质(1) 若,1kiiki 1之间无公共内点, 则i且(2) 用 表示 的反向曲面, 则

8、 SA dSASAddiSA d机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()若曲面垂直于坐标面XOY(YOZ或XOZ）即投影为零则(d d0,d d0)P y zQ z xd d0R x y（）线性性12( , , )( , , )d dkR x y zlR x y zx y例12( , , )( , , )d dkR x y z dxdy lR x y zx y注：不满足对称性编辑ppt12三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理: 设光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上侧,),(zyxR是 上的连续函数, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(

9、yxzyxdd证证:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上侧,),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt13 若,),( , ),(:zyDzyzyxx则有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy则有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR)

10、,(yxzyxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt14 计算,),( , ),(:zyDzyzyxx( ( , ), , )P x y zy z), (zy,PzyD( , )x y z(前正后负)综上所述综上所述:机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxRxzQzyPdddddd计算先分别计算zyPddxzQddyxRddzyPdd(1)将曲面投影到YOZ面为曲线而非区域，此时d d0P y z），反映在方程上是根据曲面方程解出x,(2)将zyPdd转化二重积分积分区域为,yzD被积函数为看定向曲面是前侧还是后侧决定二重积分的符号zyPdd（只能投影到YOZ面，即使投影编辑pp

11、t15 计算:( , ), ( , ),xzyy y zx zD( ( , ), , )P x y zy z( , ( , ), )xzDQ x y x z z (右正左负)机动 目录 上页 下页 返回 结束 d dQ z x(1)将曲面投影到XOZ面为曲线而非区域，此时d d0Q x z），反映在方程上是根据曲面方程解出y,(2)将d dQ x z转化二重积分积分区域为,xzD被积函数为看定向曲面是右侧还是左侧决定二重积分的符号d dQ x z（只能投影到XOZ面，即使投影编辑ppt16 计算:( , ), ( , ),x yzz x yx yD( , ,)R x y z x y( , ,

12、( , )x yDR x y z x y (上正下负)机动 目录 上页 下页 返回 结束 d dR x y(1)将曲面投影到XOY面为曲线而非区域，此时d d0R x y），反映在方程上是根据曲面方程解出z,(2)将d dR x y转化二重积分积分区域为,xyD被积函数为看定向曲面是上侧还是下侧决定二重积分的符号d dR x z（只能投影到XOY面，即使投影编辑ppt17解解: 把 分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正确:例例. 计算曲面积分,ddyxxyz其中 为球面2x外侧在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxy

13、xDyxyx2221:yxz122zy机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析：计算的是对x、y的曲面积分，则必须将曲面投影到XOY面。即解出z,得两个z即需要将曲面分成两块。编辑ppt18yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt1922zxyIzdxdy 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 计算其中由锥面及1z 所围成的边界曲面的外侧1

14、:1,xyzx yD2Izdxdy 12()zdxdyzdxdyxyD221xy222:,xyzxyx yD1zdxdyxyDdxdy2zdxdy22xyDxy dxdy21200dr dr 23 故3Izdxdy 编辑ppt20Ixzdydzxydzdxyzdxdy 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例计算其中是四面体边界曲面的外侧1y1xz112341:0,xyzx yD1234 2:0,yzxy zD3:0,xzyx zD4:1,xyxyzx yDxyDxy111xz11xzDz1yyzDIxzdydzxydzdxyzdxdy 故1234()xzdydzxydzdxyzdxdy

15、编辑ppt21机动 目录 上页 下页 返回 结束 1y1xz11234xyDxy111xz11xzDz1yyzDxzdydz 计算1234()xzdydz01100(1)zdzyz zdy124xydzdx 1234()xydzdx000(1)DzxDxzx dzdxxxz dzdx11001(1)24xdxxxz dzyzdxdy 1234()yzdxdy000(1)DxyDxyy dxdyyxy dxdy11001(1)24ydyyxy dx故18I 0Dyzzdydz(1)Dyzyz zdydz0编辑ppt22例例. 设S 是球面1222zyx的外侧 , 计算22ddcosSyzIxx解

16、解: 利用轮换对称性, 有Sxxzy2cosdd22d dcosSx yIzz 102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4zzyx2cosdd,cosdd22Szzyx2222222222d dd d1cos11cos1xyxyDDxyxyxyxyxyxy20d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 221:1,xyzxyx yD222:1,xyzxyx yD （朝上）（朝下）1222d dd dcoscosSx yx yIzzzz 221xy22222d d21cos1xyDxyxyxy编辑ppt23（二）投影面的转换法计算对坐标的曲面积分yxDyxyxzz),( ,

17、 ),(:若曲面是如下形式在计算时zyPddxzQddyxRdd是方便的。但计算则需要将曲面分别向另外坐标面投影。和我们将借助投影面的转换法避免另外的投影。编辑ppt24投影面的转换：()cosxydxdySdS ()cosyzdydzSdS ()coszxdxdzSdS 已知(cos ,cos,cos )2222221,111xxxyxyxyzzzzzzzzcosdxdydSccososdxdyxz dxdy ccososdxdyyz dxdy 得由故：公式d dd dd dP yzQ zxR x y()d dxyRPzQzx y编辑ppt25类似地若:( , ), ( , )yzxx y

18、zy zDd dd dd dP yzQ zxR x y()d dyzPPxRxy z:( , ), ( , )xzyy x zx zD若d dd dd dP yzQ zxR x y()d dxzQPyRyx z编辑ppt26例例. 计算曲面积分其中解解:2xzxxyDoyxz2( 2 )x(2)xzd dzxy(2 )ddd d ,zxyzzxy旋转抛物面22()zxy介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 22:(),xyzxyx yD(2 )ddd d ,zxyzzxy2222(2)( 2 )()xyDxxyxxydxdy 2222( 3)

19、22()xyxyDDxydxdyx xydxdy 2编辑ppt27四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt28令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnA

20、AnSnAd( A 在 n 上的投影)机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt29例例. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为解解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .SE dSnEdSrrdrrq3机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt30yxz111例例. 设,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt31,),(Cz

21、yxf是平面1zyx在第四卦限部分的上侧 , 计算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(解解:故转化成第一类曲面积分例例 设SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六节 目录 上页 下页 返回 结束 对曲面任意一点, ,x y z法向量均为1, 1,13cos33cos3 3cos33( , , )3If x y zx32 ( , , )3f x y zy3( , , )3f x y zzdS编辑ppt32内容小结内容小结定义定义:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(l

22、im10yxiiiiSR),(1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系xziiiiSQ),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt33性质性质:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系联系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt342. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt35当yxDyxyxzz),( , ),(:时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),