复数的几何表示学习教案

1、会计学1复数的几何表示复数的几何表示(biosh)第一页，共26页。1.1.用复平面上的点表示用复平面上的点表示(biosh)(biosh)复数复数 ( , ). zxiyx y复复数数与与有有序序实实数数对对一一一一对对应应.故故用用直直角角坐坐标标平平面面上上的的点点可可以以用用来来表表示示复复数数, . xy复复平平面面实实把把该该直直角角坐坐标标面面称称为为轴轴叫叫轴轴虚虚轴轴叫叫轴轴(2,2)z =2+2i(虚轴虚轴)(实轴实轴)第1页/共25页第二页，共26页。zxiyxyoiyxz P注意：注意： 复数复数 z z，点，点 z z，向量，向量(xingling) z (xingl

2、ing) z 可视可视为同一个概念。为同一个概念。2.2.用复平面上的向量表示用复平面上的向量表示(biosh)(biosh)复数复数z向量向量 与复数与复数(fsh) (fsh) 一一对应，故用它表示复数一一对应，故用它表示复数(fsh).(fsh).OP y i yxz xOxyr zxy i z 与与 z 在复平面上关于实轴对称在复平面上关于实轴对称. .第2页/共25页第三页，共26页。22 .zrxy容易容易(rngy)(rngy)看出，看出，,xz,yz,zxy22,z zzz二、复数的模和幅角二、复数的模和幅角 zzxyoiyxz P记作记作zxiy复数复数(fsh)z (fsh

3、)z 的模：向量的模：向量 的长度，的长度，OP ryx第3页/共25页第四页，共26页。注意注意(zh (zh y):y):02.zk2) 任2) 任意意复复数数的的辐辐角角有有无无穷穷多多个个，相相差差向量向量(xingling) (xingling) 的方向角的方向角 . .OP y i yxz xOxy 2) 02) 0的模为零，的模为零，0 0的辐角不确定的辐角不确定(qudng).(qudng).) tan().yArgzx1记作记作满足满足 的那个幅角的那个幅角. . 记作记作arg.z复数复数z 的辐角：的辐角：Arg . z3)复数复数z z的幅角主值的幅角主值: :于是幅角

4、与幅角主值的关系于是幅角与幅角主值的关系Argarg2,zzk0,1,2,.k 第4页/共25页第五页，共26页。arctan(,)2 2yx 其中.argz0,0,xy0,0.xyarctan,yx,2arctan,yx0,或y Oxy幅角主值的计算幅角主值的计算(j sun):(j sun):若若z z在第一在第一(dy)(dy)、四象限；、四象限；若若z z在第二在第二(d r)(d r)、三象限；、三象限；若若若若z x iy arg(, z 注意.zx iy 第5页/共25页第六页，共26页。zxy例例1 1 求求 的模和幅角：的模和幅角：z22| |2 .zxyArgarg2zzk

5、32,4k0,1,2,.k 由于由于z z 位于位于(wiy)(wiy)第二象限，第二象限，arctan( 1)解解 (1) 1;zi (2) .zi(2) 1,z arg,2zArgarg2zzk22kzargz,4arctanyx ( (1)1)模为模为第6页/共25页第七页，共26页。1argarctan()3z22(1)1iizii解解3. i 22| |( 3)( 1)10,z 1arctan3.xy3 1 由于由于z z 位于位于(wiy)(wiy)第三象限，第三象限，arctanyxarctanyxarctanyx arctanyx 第7页/共25页第八页，共26页。xyo1z2

6、z21zz 两复数的加减运算两复数的加减运算(yn sun)(yn sun)满足向量的平行四边满足向量的平行四边形法则，形法则，例例2 2 证明证明(zhngmng)(zhngmng)复平面上的三角不等式复平面上的三角不等式证证1212 , zzzz且且表表示示点点和和之之间间的的距距离离 故故成成立立不不等等式式. .1z2z21zz 1z1212(2).zzzz1212(1);zzzz第8页/共25页第九页，共26页。例例3 3求下列在复平面求下列在复平面(pngmin)(pngmin)上所表示的曲上所表示的曲线线: :. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2

7、2 )1(的点的轨迹的点的轨迹为为距离距离表示所有与点表示所有与点方程方程iiz .2 ,的圆的圆半径为半径为即表示中心为即表示中心为i , iyxz 设设, 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圆方程圆方程xyo-i第9页/共25页第十页，共26页。22)2( ziz表表示示所所有有与与点点和和距距离离相相等等的的垂垂直直平平分分线线. .22i , iyxz 设设,22 yixiyix化简后得化简后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 设设,)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲线方程为所求曲线方程为2i 2第10页/共25页第十一页

8、，共26页。利用直角坐标利用直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)与与极坐标的关系极坐标的关系cos ,sin ,xryr则则z z也可以也可以(ky)(ky)表示成表示成(cossin )zxiyri再利用再利用(lyng)(lyng)欧拉公式欧拉公式cossin ,ieiizxiyrei yxz Oxyr 则则z也可以表示成也可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式复数的指数表示式复数的指数表示式第11页/共25页第十二页，共26页。| |1244,z 解解2argarctan()12z xy212 1arctan3 6 .65 554(cossin).66

9、zi复数复数 的三角表示式为的三角表示式为z564.ize复数复数 的指数表示式为的指数表示式为z习惯习惯(xgun)(xgun)上取主辐角上取主辐角例例4 4 第12页/共25页第十三页，共26页。例例5 5 将下列复数化为三角表示将下列复数化为三角表示(biosh)(biosh)式与指式与指数表示数表示(biosh)(biosh)式式: :sincos;55zi解解1,rzsincos5253cos,10cossin5253sin,10故三角故三角(snjio)(snjio)表示式表示式为为33cossin,1010zi指数指数(zhsh)(zhsh)表示表示式为式为310.ize第13页

10、/共25页第十四页，共26页。1.1.复数复数(fsh)(fsh)的模、辐角、幅角主值的模、辐角、幅角主值; ;2.2.复数复数(fsh)(fsh)的各种表示法的各种表示法. . 内容内容(nirng)小结小结各种表示法可相互各种表示法可相互(xingh)(xingh)转化转化, ,第14页/共25页第十五页，共26页。1.1.是否是否(sh fu)(sh fu)任意复数任意复数都有辐角都有辐角? ?思考题思考题它的模为零而辐角不确定它的模为零而辐角不确定(qudng).(qudng).第15页/共25页第十六页，共26页。作业作业(zuy)(zuy)习题习题(xt)(xt)一一: 1(2)(

11、4): 1(2)(4)、2 2、4(1)(6)4(1)(6)7,8(3)(4)(5)7,8(3)(4)(5)第16页/共25页第十七页，共26页。例例4 4. 222111表表示示线线用用复复数数形形式式的的方方程程来来的的直直与与将将通通过过两两点点iyxziyxz 解解 ),( ),( 2211的直线的方程的直线的方程与与通过两点通过两点yxyx )()( 121121 yytyyxxtxx),( t参数参数所以它的复数所以它的复数(fsh)形式的参数方程为形式的参数方程为(复方程复方程)(121zztzz ),( t参数参数第17页/共25页第十八页，共26页。 ,21的直线段的参数方程

12、为的直线段的参数方程为到到由由故故zz 10)(121 tzztzz ,21 t若取若取 21的中点坐标为的中点坐标为得线段得线段zz.221zzz 第18页/共25页第十九页，共26页。1 12 2i3i3 (1)1 1(2)例例5 5求下列复方程求下列复方程(fngchng)(fngchng)所表示所表示的曲线的曲线: :2(1)114;(2)Re()1.zzz , iyxz 设设代入复方程代入复方程(fngchng)得得 22143xy第19页/共25页第二十页，共26页。1.1.南极南极(nnj)(nnj)、北极的、北极的定义定义 , 0 的球面的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复

13、平面切于原 z , 与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S , NS点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 . , 为为南南极极为为北北极极我我们们称称SNxyPNOS第20页/共25页第二十一页，共26页。球面球面(qimin)(qimin)上的点，除去北极上的点，除去北极 N N 外，与复平外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系面内的点之间存在着一一对应的关系. . 我们可以我们可以用球面用球面(qimin)(qimin)上的点来表示复数上的点来表示复数. .规定：复数中有一个唯一的规定：复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平面与复

14、平面上的无穷远点相对应上的无穷远点相对应, , 记作记作. . 因而球面上的北因而球面上的北极极(bij) N (bij) N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示. .球面上的每一个点都有唯一球面上的每一个点都有唯一(wi y)(wi y)的复数与的复数与之对应之对应, , 这样的球面称为复球面这样的球面称为复球面. .2.2.复球面的定义复球面的定义第21页/共25页第二十二页，共26页。3.3.扩充复平面扩充复平面(pngmin)(pngmin)的定义的定义包括无穷远点在内的复平面称为包括无穷远点在内的复平面称为(chn wi)(chn wi)扩扩充复平面充复平面. .不包括

15、无穷远点在内的复平面称为不包括无穷远点在内的复平面称为(chn wi)(chn wi)有限复平面有限复平面, , 或简称复平面或简称复平面. .对于复数对于复数来说，实部、虚部、辐角等概念均来说，实部、虚部、辐角等概念均无意义，它的无意义，它的模模规定为规定为正无穷大正无穷大. .复球面的复球面的优越处优越处: :能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. .第22页/共25页第二十三页，共26页。 : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(, : )1( 加法加法)(, : )2( 减法减法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除法除法第23页/共25页第二十四页，共26页。A为了用球面上