多元函数微分法及其学习教案

1、会计学1多元函数微分法及其多元函数微分法及其第一页，编辑于星期一：十七点 九分。一、多元函数的基本概念 1.极 限： 2.连 续： 3.偏导数： 第1页/共29页第二页，编辑于星期一：十七点 九分。4.全微分： 5.方向导数： 6.梯 度： 二元函数 在点 沿方向 的方向导数为 ) ,(yxfz ) ,(000yxPl若 ， ，则称函数 在点 可微分， )( yBxAz22)()(yx ( , )zf xy ) ,(yxP函数 在点 全微分为 ( , )zf xy ) ,(yxP第2页/共29页第三页，编辑于星期一：十七点 九分。二、多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函数可导函数可微偏导数

2、连续第3页/共29页第四页，编辑于星期一：十七点 九分。三、多元函数的求导法 1偏导数求法 2高阶偏导数 求函数 的偏导数 时，只要把 暂时看作常量而对 求导数；) ,(yxfz xz yx类似地，可求函数 的偏导数 。 yz ) ,(yxfz 第4页/共29页第五页，编辑于星期一：十七点 九分。 3多元复合函数求导法则 zuvtzuvxy(1)设 和 在点 可导， 在对应点 处可微，则复合函数 在点 处可导，且 )(tu t)(tv ),(vufz ),(vut)(),(ttfz (2)设 和 存在偏导数， 在对应点 处可微，则复合函数 在 偏导数存在,且 ),(yxu ),(yxv ),(

3、vufz ),(vu),(),(yxyxfz ),(yx第5页/共29页第六页，编辑于星期一：十七点 九分。4隐函数的导数 由方程 确定一个连续且具有连续导数的函数 0) ,( yxF( )yf x , 则有 由方程 确定一个连续且具有连续偏导数的函数 ，则有 ) ,(yxfz 0) , ,( zyxF第6页/共29页第七页，编辑于星期一：十七点 九分。5全微分的求法 微分形式的不变性： 6方向导数的求法 当 ，而 、 时，有 ) ,(vufz ) ,(yxu ) ,(yxv 其中 是方向 的方向余弦。 cos ,cos ,cosl第7页/共29页第八页，编辑于星期一：十七点 九分。四、典型例

4、题 【例1】求极限( , )(0,0)1-1lim.x yxyxy 解： 第8页/共29页第九页，编辑于星期一：十七点 九分。【例2】求极限解法1： 第9页/共29页第十页，编辑于星期一：十七点 九分。cos ,sin ,xy 解法2：作变量代换，令 当 时, 任意,则cos ,sinxy 0, 第10页/共29页第十一页，编辑于星期一：十七点 九分。分析：在二重极限 的定义中,动点 在 中趋向点 与一元函数 的自变量 在数轴上的变化不同,它可以区域 内沿着不同的路线(如曲线或直线等)和不同方式(连续或离散),从四面八方趋近于点 ,二元函数 在点 的极限都是 .反之, 动点 沿着两条不同的路线

5、(或点列)趋近于点 ,二元函数 有不同的极限,则二元函数 在点 的极限不存在.00lim( , )xyf x yA ( , )P x y2 2R R00(,)P xy( )yf x x2DR 00(,)xyA( , )f x y( , )f x y( , )P x y00(,)P xy( , )f x y00(,)P xy00(,)P xy【例3】设22 ( , )(0,0)( , )0 ( , )(0,0)xyx yxyf x yx y 判断 的存在性。 00lim( , )xyf x y第11页/共29页第十二页，编辑于星期一：十七点 九分。解：因为当点 沿 轴趋向于点 时,x(0,0)(

6、 , )P x y又当点 沿着直线 趋于点 时,( , )P x yyx (0,0)所以 的极限不存在。 ( , )f x y第12页/共29页第十三页，编辑于星期一：十七点 九分。【例4】 设二元函数 , 判别 在22, =0( , ) 1, 0 xyxyf x yxy ( , )f x y点处的连续性。 ) 0 , 0(分析： 在 点处的连续性,应满足 .( , )f x y)0 , 0(00lim( , )(0,0)xyf x yf 解：因为当点 沿 轴趋于点 时,( , )P x yx)0 , 0(000lim( , )lim( ,0)0 xxyf x yf x 又当点 沿着直线 趋于

7、点 时,( , )P x y)0 , 0( (0)yxx所以，函数 在原点 的极限不存在，因此， ( , )f x y)0 , 0(在原点 不连续.( , )f x y)0 , 0(第13页/共29页第十四页，编辑于星期一：十七点 九分。【例5】设 , 则 在点22 , ( , )(0,0)( , ) 0 , ( , )(0,0)xyx yf x yx y ( , )f x y(0,0)处连续，但 在点 处对 和 的偏导数不存在.( , )f x y(0,0)xy而点 为 的分界点,求偏导数需用偏导数定义。(0,0)( , )f x y分析： 在点 处的连续性, 应满足 .(0,0)00lim

8、( , )(0,0)xyf x yf ( , )f x y不存在 不存在 解：因为 , 而 , 所以220000lim( , )lim0 xxyyf x yxy (0,0)0f ( , )f x y在点 处连续. (0,0)所以, 在点 处对 和 的偏导数不存在.( , )f x y(0,0)xy第14页/共29页第十五页，编辑于星期一：十七点 九分。解: 因为 【例6】* 设函数 ,判断 在原点 处的可微性.( , )f x yxy (0,0)( , )f x y分析:多元函数在一点可微与否？关键是要判别 是不是 的高阶无穷小?如果 , 则函数 在该点可微, 否则函数 在该点不可微. 但反过

9、来, 多元函数在某一点可微, 函数在该点对各个变量偏导数存在, 即函数偏导数存在是函数可微的必要条件。fdf 0lim0fdf ( , )f x y( , )f x y 第15页/共29页第十六页，编辑于星期一：十七点 九分。所以又因为当沿着特殊的路线 , ,所以xy 00 x 因此， 在原点 不可微.( , )f x y(0,0)第16页/共29页第十七页，编辑于星期一：十七点 九分。解： 【例7】求函数 的偏导数.yzux 分析：因为函数 为三元函数，所以，应分别求对 yzux , ,x y z的偏导数。 第17页/共29页第十八页，编辑于星期一：十七点 九分。解：根据复合函数求偏导法则得

10、 【例8】设 ,而 , , 求 和 .sinuzev uxy vxy zx zy zzuzvxu xvx zzuzvyuyvy 第18页/共29页第十九页，编辑于星期一：十七点 九分。分析：先确定是几元函数，然后分别求导，求出全微分，也可利用全微分形式的不变性。解法1： 【例9】求函数 的全微分.arctan (0,1)yzxxx第19页/共29页第二十页，编辑于星期一：十七点 九分。解法2：由微分形式的不变性 【例10】设 , 其中 具有二阶连续偏导数， ) ,(22xyyxfz f求2, .zzxx y 第20页/共29页第二十一页，编辑于星期一：十七点 九分。分析：求抽象复合函数 的二阶

11、偏导数，最需要注意的一点是一阶偏导数 (及 )仍旧是复合函数，且与函数 具有同样的中间变量与自变量。 ffu fv f解法1： 设 ,则22, uxyvxyzuvxy第21页/共29页第二十二页，编辑于星期一：十七点 九分。zzuzvxu xvx 解法2：若记 12, ,zzffuv则第22页/共29页第二十三页，编辑于星期一：十七点 九分。利用隐函数的求导公式得 解:令 ,则33( , , )3F xyzzxyza 【例11】设 ,求 .333zxyza2zx y 分析：如果令 , 则由方程 33( , , )3F xyzzxyza( , , )0F x y z 确定了 是 的函数,求 用隐

12、函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。 zxy，zx 第23页/共29页第二十四页，编辑于星期一：十七点 九分。计算 时，我们采用在方程两边同时对 求偏导的方法, 2zx y y并视 为 的二元函数 , 得z,x y( , )z x y第24页/共29页第二十五页，编辑于星期一：十七点 九分。11ze xzFzxF yzFzyF 【例12】设 是方程 所确定的 与 的函数,求zzxyze xyyxz 2分析：如果令 , 则由方程 确定了 是 的函数，求 用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。( , , )zF x y zxyze0),( zyxFzxy，zx 解:令 , 则( , , )zF x y zxyze第25页/共29页第二十六页，编辑于星期一：十七点 九分。分析：求方向导数需求出偏导数及方向余弦，然后代入方向导数公式计算即可。则曲面的法向量为 解： 设 , 222( , , )236F xyzxyz 方向余弦为 【例13】设 是曲面 在点 处的指向外侧 的法向量, 求函数 在此处沿方向 的方向导数.n 222236xyz (1, 1, 1)P12221(68)uxyz n 第26页