非线性控制理论(第3章)3.1-3.2

1、非线性控制理论2第二章第二章 相平面分析相平面分析 一种用于研究二阶系统的图形方法。一种用于研究二阶系统的图形方法。 在二维平面内在二维平面内(二维坐标系二维坐标系)，图示出各种初始条件下系，图示出各种初始条件下系统的运行轨迹，根据该轨迹分布图检查系统的某些特征。统的运行轨迹，根据该轨迹分布图检查系统的某些特征。 可得到诸如系统稳定性判定等一些运动信息。可得到诸如系统稳定性判定等一些运动信息。 高阶系统在计算和几何表示上都比较复杂，因此本方法高阶系统在计算和几何表示上都比较复杂，因此本方法局限于二阶、一阶系统。局限于二阶、一阶系统。 控制理论基础中已有学习，略。控制理论基础中已有学习，略。3

2、控制系统的首要性质是它的稳定性，因为一个不稳定控制系统的首要性质是它的稳定性，因为一个不稳定的系统一般是没有什么用处的，往往还有潜在的危险。的系统一般是没有什么用处的，往往还有潜在的危险。 定性地说，如果一个系统在靠近其期望工作点的某处定性地说，如果一个系统在靠近其期望工作点的某处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运行，那开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运行，那么就把该系统描述为稳定的。单摆的两个平衡点么就把该系统描述为稳定的。单摆的两个平衡点(顶端和顶端和底端底端)常常用来说明不同稳定性的特性。底端是一个稳定常常用来说明不同稳定性的特性。底端是一个稳定的平衡点，而顶端是一个

3、不稳定的平衡点。的平衡点，而顶端是一个不稳定的平衡点。 第三章第三章 李亚普诺夫理论基础李亚普诺夫理论基础4 对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。可利用俄罗斯科问题的研究，经典控制理论无能为力。可利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（学家李亚普诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分）的稳定性理论来分析和研究。析和研究。 A. M. Lyapunov于于1892年出版专著年出版专著运动系统稳定运动系统稳定性的一般问题性的一般问题，使得，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控稳定性理论已经成为控制理论的最重

4、要的几个柱石之一。制理论的最重要的几个柱石之一。5 研究非线性系统稳定性的有力工具是李雅普诺夫理研究非线性系统稳定性的有力工具是李雅普诺夫理论，它是论，它是19世纪俄国科学家李雅普诺夫在他的世纪俄国科学家李雅普诺夫在他的动态稳动态稳定性的一般问题定性的一般问题中提出来的，包括两种稳定性分析方中提出来的，包括两种稳定性分析方法法(即所谓线性化方法和直接法即所谓线性化方法和直接法)，并于，并于1892年首次发表。年首次发表。 今天，李雅普诺夫的线性化方法已成为表示线性控今天，李雅普诺夫的线性化方法已成为表示线性控制的理论依据。制的理论依据。而李雅普诺夫直接方法已成为非线性系统分析和设计的而李雅普诺

5、夫直接方法已成为非线性系统分析和设计的最重要的工具，线性化方法和直接方法一起构成了所谓最重要的工具，线性化方法和直接方法一起构成了所谓的李雅普诺夫稳定性理论。的李雅普诺夫稳定性理论。 6 间接法间接法(或线性化法或线性化法)：在平衡点附近，一个非线性系：在平衡点附近，一个非线性系统的稳定特性基本上与其线性化逼近的稳定特性相同，这统的稳定特性基本上与其线性化逼近的稳定特性相同，这种方法成为把线性控制用于很多固有非线性的物理系统的种方法成为把线性控制用于很多固有非线性的物理系统的理论依据。理论依据。 7 直接法直接法(李亚普诺夫方法李亚普诺夫方法)：从机械系统的相关能量概：从机械系统的相关能量概念

6、归纳出来，即如果一个机械系统运动的总机械能一直随念归纳出来，即如果一个机械系统运动的总机械能一直随着时间减少，那么该运动就是稳定的。用直接法分析非线着时间减少，那么该运动就是稳定的。用直接法分析非线性系统的稳定性时，其想法在于为该系统构造一个标量类性系统的稳定性时，其想法在于为该系统构造一个标量类能量函数能量函数(李亚普诺夫函数李亚普诺夫函数)，观察此函数是否下降。此方，观察此函数是否下降。此方法具有普遍性，适用于任何系统，如时变的、定常的、线法具有普遍性，适用于任何系统，如时变的、定常的、线性的、非线性的、有限维的、无限维的等。局限性：往往性的、非线性的、有限维的、无限维的等。局限性：往往很

7、难为给定系统求得一个合适的李亚普诺夫函数。很难为给定系统求得一个合适的李亚普诺夫函数。 不对微分方程求解而直接研究系统的性能。不对微分方程求解而直接研究系统的性能。8 除了稳定性分析以外，李亚普诺夫直接法的一个重除了稳定性分析以外，李亚普诺夫直接法的一个重要应用是要应用是非线性控制器的设计非线性控制器的设计，其想法是设法建立系统，其想法是设法建立系统状态的某个标量正定函数，然后选择一个控制律使得该状态的某个标量正定函数，然后选择一个控制律使得该函数下降。这样设计出的非线性控制系统将会确保稳定。函数下降。这样设计出的非线性控制系统将会确保稳定。 93.1 3.1 几个基本概念的描述几个基本概念的

8、描述n3.1.1非线性系统非线性系统 一个非线性系统通常可用下列形式的一组非线性微分方程来表示： (3.1.1)其中 为 维非线性矢量函数， 为 维状态向量。状态的个数 叫做系统的阶。方程的一个解 通常对应于状态空间内 从0变到无穷大时的一条曲线。 ),(txfx f1nxnn)(txt10 虽然虽然(3.1.1)中没有明显地包含控制输入作为一个变量，中没有明显地包含控制输入作为一个变量，但是它可以直接用于反馈控制系统，因为控制输入一般是但是它可以直接用于反馈控制系统，因为控制输入一般是状态变量的函数，因此状态变量的函数，因此(3.1.1)可以表示包含控制输入的反可以表示包含控制输入的反馈控制

9、系统的反馈控制系统的闭环动态特性。即馈控制系统的反馈控制系统的闭环动态特性。即 (3.1.2)ttxuxfx),(,11n3.1.2 自治和非自治系统自治和非自治系统 线性系统中我们有时变和定常的说法，在非线性线性系统中我们有时变和定常的说法，在非线性系统理论中，习惯上用系统理论中，习惯上用“自治的自治的”和和“非自治的非自治的”来代替。来代替。 定义：如果非线性方程定义：如果非线性方程(3.1.1)中的非线性矢量函中的非线性矢量函数不明显地与时间有关，即如果系统的状态方程能数不明显地与时间有关，即如果系统的状态方程能够写为：够写为： )(xfx 则此系统称为自治的。否则系统称为非自治的。则此

10、系统称为自治的。否则系统称为非自治的。 (3.1.3)12 很明显，线性定常系统是自治的，线性时变系统是很明显，线性定常系统是自治的，线性时变系统是非自治的。非自治的。 严格地说，所有的物理系统都是非自治的，自治系严格地说，所有的物理系统都是非自治的，自治系统的概念是一个理想化的概念。统的概念是一个理想化的概念。 自治系统和非自治系统之间的基本区别是：自治系统和非自治系统之间的基本区别是：自治系自治系统的状态与初始时间无关统的状态与初始时间无关，非自治系统的状态通常不，非自治系统的状态通常不是这样。这种区别要求在定义非自治系统的稳定性概是这样。这种区别要求在定义非自治系统的稳定性概念时明显地考

11、虑起始时间，从而使得对非自治系统的念时明显地考虑起始时间，从而使得对非自治系统的分析要比自治系统困难得多。分析要比自治系统困难得多。初始松弛系统初始松弛系统 （即：初始条件为零）（即：初始条件为零）13n3.1.3 平衡点平衡点 定义平衡点：定义平衡点：如果系统状态一旦等于如果系统状态一旦等于x*，系统状态，系统状态将永远维持在将永远维持在x*，则称，则称x*是系统的一个平衡点是系统的一个平衡点。 实际上，平衡点的特性是：实际上，平衡点的特性是： ),(0txf 即在平衡点时，即在平衡点时，系统状态变化的速率为零，状态维系统状态变化的速率为零，状态维持在一个固定的值持在一个固定的值。求解代数方

12、程组。求解代数方程组(3.1.4)可以得到系可以得到系统的平衡点。统的平衡点。 (3.1.4)143.2 3.2 李亚普诺夫稳定性概述李亚普诺夫稳定性概述 李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法：李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法： 间接法：第一种方法是求出线性化以后的常微分方程间接法：第一种方法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原系统的稳定性，又称李亚普诺夫第一法。的解，从而分析原系统的稳定性，又称李亚普诺夫第一法。 直接法：第二种方法不需要求解微分方程的解，而直接法：第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性的信息。又称李亚普诺夫第二法。能够提供系统稳定性的

13、信息。又称李亚普诺夫第二法。 对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别重要。它基于一种广义能量函数及其随时间变化方法特别重要。它基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研究系统稳定性。以下通过一个例子来说明。的特性来研究系统稳定性。以下通过一个例子来说明。15例例3-1 一个弹簧质量阻尼器系统，如下图示。系统一个弹簧质量阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如下微分方程描述。的运动由如下微分方程描述。0kxx fxm 令令1m0kxx fx （1）选取状态变量选取状态变量xx 112xxx 则系统的状态方程为则系统的状态方程为212fx

14、kxx21xx （2）16在任意时刻，系统的总能量在任意时刻，系统的总能量2122212121),(kxxxxE（3）显然，当显然，当 时时 ， 而当而当 时时0 x0)(xE0 x0)(0E而总能量随时间的变化率为而总能量随时间的变化率为222211221121dddd),(ddfxxxxkxtxxEtxxExxEt可见，只有在可见，只有在 时，时， 。在其他各处均有。在其他各处均有 ，这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。02x0/ddtE0/ddtE Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。第二法是研究系统平衡状态稳定性的。17平衡状态平衡状态 一般地，系统状态方程为一般地，系统状态方程为 ，其初