[理学]关于微积分中值定理的讨论

1、学生研究与讨论-关于微积分中值定理的讨论彭俊杰（重庆邮电学院计算机学院信息与计算科学专业2000级）第一章 微分中值定理 由于解决实际问题的需要，人们引进了微分学的概念，并对它进行研究发展，使之成为一门系统化、全面化的理论。而且微分学也随之成为解决实际问题中一种重要的工具之一，其应用也越来越广泛。 而微分学中的一个重要定理微分中值定理是微分应用的理论基础，是微分学的核心理论。所有微分中值定理的重要性也是显而易见的。而这一章我们就是要讨论微分中值定理及其相关内容。主要讲了四个方面：第一节主要是从讲述微分中值定理的历史演变过程中引出微分中值定理的三种形式，并给出它们各自的一种证明方法；第二节是从两

2、个方面研究微分中值定理的推广：n元函数的微分中值定理和高阶微分中值定理；第三节主要是研究复函数中的微分中值定理，得到与实分析中相对应的微分中值公式；第四节是在共轭解析函数中探讨微分中值定理，在引进共轭解析函数的定义后对共轭解析函数的中值定理进行初步的探讨。第一节 微分中值定理的历史演变及其简介 微分中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称。而且微分中值定理不是一下子全部被人类认知，它的完整出现经历了一个过程，是众多数学家共同研究的成果。从费马定理到柯西中值定理，是一个逐步完善、不断向前发展的过程，而且随着相关数学理论知识的不断完善，微分中值定理也随之得以完整起来，证明方法也

3、出现了多样化。这一节主要是从讲述微分中值定理的历史演变入手，引出微分中值定理的三个公式，并给出它们各自的一种证明方法。§1.1： 微分中值定理的历史演变微分中值定理，是微分学的核心定理，是研究函数的重要工具，是沟通函数与导数的桥梁，历来受到人们的重视。微分中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称。微分中值定理有着明显的几何意义，以拉格朗日定理为例，它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。”从这个意义上来说，人们对微分中值定理的认识可以上溯导公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中，得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形

4、的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，求出抛物线弓形的面积。希腊著名数学家阿基米德（archimedes，公元前287前221）正是巧妙地利用这一结论，求出抛物线弓形的面积。意大利卡瓦列里（cavalieri，15891674）在不可分量几何学（1635年）的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3用基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了，按历史顺序：1637年，著名法国数学家费马（fermat，16011665）在求最大值和最小值的方法中给出

5、了费马定理，在教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。1691年，法国数学家罗尔（rolle，16521719）在方程的解法一文中给出多项式形式的罗尔定理。1797年，法国数学家拉格朗日（largrange，17361813）在解析函数论一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西（cauchy，17891857）。他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著分析教程、无穷小计算教程概论、（1823年）、微分计算教程（1829年），以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构。他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在无穷小计

6、算教程概论中，柯西首先严格的证明了拉格朗日定理。又在微分计算教程中将其推广为广义中值定理柯西定理。从而发现了最后一个微分中值定理。§1.2：微分中值定理简介1.2.1 引理：费马定理费马作为微积分的创立者，他在研究极大和极小问题的解法时，得到统一的解法“虚拟等式法”，从而得出原始形式的费马定理。所谓的虚拟等式法，可以用下例加以说明。费马在求得一个长度为的线段，如果划分为两个线段，使他们的积为最大时，采用以下方法：用代替，得到表达式并与表达式进行比较，得到虚拟等式：即 。再将所得各项除以，得到。然后去掉仍含的项，再将虚拟等式化为真正的等式。从而得到，使为最大。费马的“虚拟等式法”可能基

7、于一种非常直观的想法，如果为的极大值，那么从直观上来看，在附近值变化很小。当很小时，和差很小。用现代语言来说，对于函数，让自变量从变化到，当为极值时，和的差近似为0，用e除以虚拟等式，。就得到函数极值点的导数值为0，这就是我们在高等数学中得到的费马定理：函数在处取得极值，并且可导，则0。这里应特别指出：费马给出以上结论，微积分还处于初创阶段，并没有明确导数、极限连续的概念，用现代的眼光来看，其论断也是不严格的。我们现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新创造的。1.2.2 罗尔定理罗尔在1691年发表的论著方程的解法给出了“在多项式的两个相邻根中，方程至少有一个实根。”这是定

8、理“在上连续，在上可导，并且，则必然存在一点，使的特例。也就是以上定理被称为罗尔定理的原因。最初罗尔定理和现代罗尔定理不仅内容有所不同，而且证明也大相径庭，它是罗尔利用纯代数理论方法加以证明的，和微积分并没有什么联系。我们现在看到的罗尔定理，是后人根据微积分理论重新证明，并把它推广为一般函数，“罗尔定理“这一名称是由德罗比什在1834年给出，并由意大利数学家贝拉维蒂斯在1846年发表的论文中正式使用的。1.2.3 拉格朗日定理拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理。它是指：“在上连续，在上可导，则存在一点，使。”这一定理是拉格朗日在解析函数论一书中首先给出的。它最初形式为：“函数在和之间连续

9、，的最大值为a，最小值为b，则必取a、b中一个值。”历史上拉格朗日定理证明有三个，最初的证明是拉格朗日在解析函数论中给出的。在证明中，拉格朗日从他在解析函数论中的基本观点：出发，证明了如下结论：“z在上变化，若为正值，则为正值”。在此基础上，他给出辅助函数，其中时，n<z（z）<m，狠容易证明：当时，mz（z）和z（z）n恒为正值。设，拉格朗日证明了：恒有。依以上结论>0。由于，故。利用反微分法，让za，zb，拉格朗日得到如下不等式， 利用相同的方法，拉格朗日得到另一不等式故，。令m=0，得， 。由此，为n，m中间的一个值。由于为连续的，则必有，使。这是关于微分中值定理的第一

10、个证明。我们可以发现，这个证明很大程度上建立在直观基础上，依赖于这样的一个事实：当，在上单调增加。所用的条件也比现在强，现代中值定理只须在上可导，并存在连续导数。并且所用连续概念，也是直观的，“假设变量连续地变化，那么函数将会产生相应变化，但是如果不经过一切中间值，它就不会从一个值过渡到另一个值。”十九世纪初，在以柯西等为代表的微积分严格化运动中，人们给出了极限，连续，导数的严格定义，也给拉格朗日定理以新的证明，柯西在无穷小计算概论中给出了新的证明。作为这个证明的出发点，柯西首先证明了：“实数和保持同号，且n个实数的最大值为g，最小值为r，则必为r和g中间的一个值。”然后他从新的导数定义出发，

11、让为任意小的正数，让i的绝对值小于，则对于，必为和中间的一个值，然后在之间插入n1个x的值，则差分为n个小部分，并为同号，并且使它们的绝对值小于，设的最大值为a，最小值为b。柯西证明：，的值分别介于和之间。由预备定理，则也介于和之间。由于的任意性，则介于a和b之间。由于在为连续，柯西利用它给出中间值定理，他证明了：必有一个，使。从以上证明，我们可以看到柯西的定理证明比拉格朗日的证明进步多了。现代形式的拉格朗日定理，是由法国数学家o.博内（o.bonnet，18191892）在其著作cours de calcul differential et integral中给出的，他不是利用的连续性，而是

12、rolle定理，对拉格朗日定理加以重新证明。达布（darboux，18421917）则利用这个证明了：当仅在riemann-darboux可积时，。从而使微分中值定理成为微积分的重要研究工具。1.2.4 柯西定理 柯西定理被认为使拉格朗日定理的推广。它是指：设和在上可导，并且，则必有一个值，使。柯西在微分计算教程中给出最初的柯西定理：“和在上有连续的偏导数，并且在上不为零，这时对于某一点，有。”柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理很相似。首先他从导数的正、负号意义出发，证明了>0时，在上是单调增加，有>。由此他设>0，且0。设a和b商在上的最大值和最小值，柯西证明了：，则和

13、在上一个非减，一个非增，二者在点外的值均为零。可知，。因此，对应用中间值定理，必得点使。微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。例如他利用微分中值定理给洛必达法则以严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。 人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间，它从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段。人们正是在这一发展过程中，逐渐认识到它们的内在联系和本质。当o博内通过设辅助函数的方法，利用罗尔定理证明了拉格朗日定理，后人又利用拉格朗日定理证明了罗尔定理，微分中值定理就是形成浓缩型的

14、普遍化，而这种普遍化如同美国数学家克拉默所说：“在对数学史上任一时期中人们对数学作出贡献进行评价的，那些能把过去统一起来而同时又为未来的拓广开辟了广阔道路的概念，应当算作是最为深刻的概念。”从广义上讲，微分中值定理就是这样的概念。第二节 微分中值定理的推广 上节介绍的微分中值定理都是一元微分学和平面领域上的微分中值定理，而在实际应用上，很多情况下都要突破这些局限，并不都是一元和平面领域的，为了充分利用微分中值定理这个重要工具，这就需要我们把它进行推广，使之也能够在n元微分学和n维空间下得以使用。这一节正是把微分中值定理推广到n元函数和n维欧氏空间，使微分中值定理能够更广泛的应用更多的领域，发挥

15、其更大的作用。§2.1 元函数的微分中值定理一元微分学中的中值定理都是说明一元函数在一区间两端的值和它在区间内某点的导数之间的关系，它指出导数深刻的性质，是一元微分学的理论基础。在实际上有广泛的应用。现将其推广到元函数，即讨论元函数的微分中值定理。我们考虑由维向量空间e到实数r（一维空间）的映射：若为开的，点，我们约定。2.1.1 n元函数的拉格朗日公式 定理1 设e为n维，为开的，在g上可微，又设点和点，且联结点与m的线段位于g内，则在此线段上有一点，使 （1）证 联结点与m的线段的方程为，我们将限制于线段上，这样就把所讨论的问题归结为一维的情况，为此在线段上定义一个函数如下： （

16、）显然对函数在区间0，1上应用微分中值定理则有 （）于是再回到，则有 （） （2）（2）式是n元函数的拉格朗日公式另一种形式，若记点。 由于0<<1，所以点位于线段上，且介于和m之间，于是（2）又可表示为 证毕在定理中，若n1时，则由（2）式就有 （）或，介于和之间。这就是一元函数的拉格朗日公式。2.1.2 n元函数的罗尔公式当时，（2）就成为0 （）这就是n元函数的rolle定理的公式。 推论：设在域g上可微，且对于任一点都有，n则在g上为一常量。2.1.3 n元函数的柯西公式定理2 设e是n维的，在闭域d上连续，并且在开域d内关于个变元具有连续的偏导数； 点，且线段在g之内。

17、， 这里 则有 （） （3）或 （）证 由条件易知假设不然，有，我们可以令于是有g（1）g（0）0，则在区间0，1上对函数g（t）应用rolle定理，故有0<t<1，使0，即0但这与已给的条件矛盾，故知就有，再作辅助函数· 这里则由定理条件易知函数在0，1上连续，在（0，1）内可导，且。因此由rolle定理知，存在，使得0，而将代入，0，便可得 （）证毕。（3）式或（）式就是n元柯西公式，考虑下面的几个特殊情况：（i） 若，n时，（3）式就成为 （） （4）而（4）即为n元函数的拉格朗日公式； （）若时，（4）式就成为 （5）而（5）式即为n元函数的rolle定理的公式。

18、§2.2 高阶微分中值定理 我们知道，第一节所讲的微分中值定理之所以重要，主要在于用一阶函数导数或微分解决实际问题时，它们能起到桥梁的作用。但有时有些实际问题是高阶函数或高阶导函数，这时前面所讲的微分中值定理就无法得到应用。下文就把微分中值定理推广到高阶微分。使微分中值定理更加全面。2.2.1 预备知识设矢量函数，常矢量，它们的内积定义为·。的导数定义为。为方便计，记为，。首先，我们建立如下矢量形式的微分中值定理。定理1 设n维欧氏空间中的矢量函数在a，b上连续，在(a,b)内可微，非零常矢量满足·，则存在使·证明 设，令·。由已知条件，在a，

19、b上连续，在(a,b)内可微，且···（）0。由rolle定理，存在，使·0。2.2.2 高阶微分中值定理利用定理1，我们把一阶微分中值定理推广到高阶的情形，其结论是： 定理2 设满足：（i） 在闭区间a，b上连续；（ii） 在开区间（a，b）内有n1阶导数，那么对任意，存在使0证明： 设、当，中有相同的数时，结论是显然的。下设，互不相同，且无妨认为。形式地，利用行列式按第一行展开的laplace定理，我们记矢量k 由laplace定理及行列式性质，不难知道，内积 · ·0 （k1，n1）。根据定理1知道，存在使 ·0， k

20、2，3，n1。再根据定理1知道，存在，使·0， k3，4，n1。如此推下去，最终可得到，使·0。此即0再利用行列式的性质，不能得到所需的结论。2.2.3 高阶微分中值定理的各种具体表现形式 （1）在定理2中，当n2时，可得0。=若，则得： 。这是cauchy中值定理。若再取，则 。这就是lagrange中值定理。（2）在定理2中取n3，可得0。 2 （1）若再取，则得 （2）这就是二阶形式的lagrange中值定理。（3）在定理2中，取n3，可得。再取，则， 这是二阶微分形式的cauchy中值定理。第三节 复函数微分中值定理 实分析中有一套重要而优美的微分中值公式，同样，复

21、分析中也可以得到一个概括性的微分中值公式，并且由它可以导出与实分析中值公式类似的若干复分析微分中值公式。但是，实分析中的微分中值定理一般情况下在复函数中是不成立的，这就需要我们对它们进行一些约束和改进，使之能够在复函数领域中适用，这也是微分中值定理的一种推广。 下文就是在复函数微分理论的基础上，对微分中值定理进行推广。定理1. 设函数在区域a内解析，为a内任意一点，那么对于点的某领域，及任意点，存在满足条件的点z，使得 （1）式（1）酷似实分析中的lagrange中值公式。引理.设在区域a内解析，是的圆形领域，若0（0，1，2，n），则必有，使0。 证 由在a内解析可知，其在a内有任意阶导数，

22、据定理1知，有，使得；再一次应用定理1又可知，有 ，使得，0；连续应用定理1 次即可知，有 ，使得0。 证毕。定理2 设函数，在区域a内解析，是的圆形领域，在内0，则存在满足 的点z，使得 （2）证 因为，在区域a内解析。故它们在a内具有任意阶导数，公式（2）所涉及的各阶导数都存在，又有若不然，则函数满足，由引理知有，使0。从而，与已知矛盾。今设 （3）其中待定。作函数则显然在a内解析，且有：由定理1知，存在满足的点，使0但是 （4）将（4）代入（3）整理后即得（2）。定理证完。 分别考虑两个特殊情况可得到 推论1. 设函数在区域a内解析，是的圆形领域，则存在满足的点使得 （5）证 取，即可由

23、（2）推得（5）。公式（5）酷似实分析中的taylor中值公式，我们在不增加定理1条件的前提下得到一个更深的结论。推论2. 设函数，在区域a内解析，是的圆形领域，在内0，则存在满足的点使得 （6） 证. 在（2）中令n0即得。（6）式酷似实分析的cauchy中值公式。至此，复分析中的中值定理公式都已得出。第四节 共轭解析函数的微分中值定理 共轭解析函数，是和解析函数相对称的。它是一种具有特殊变化率的复变函数，它和解析函数一样，在很多领域里都有应用。解析函数论中，中值定理占有举足轻重的作用。同样，在共轭解析函数论中，也应有微分中值定理的应用，当然，这也不是对解析函数的微分中值定理的全盘照搬，而是

24、在解析函数论微分中值定理理论的基础上，对微分中值定理在共轭解析函数论中进行有效的推广，使中值定理理论更为全面。§4.1 共轭解析函数简介 本节主要介绍一些共轭解析函数的基础知识。包括共轭导数的定义，共轭解析函数的定义，共轭解析的条件等。这些知识是研究共轭解析函数的根本，也是本节所研究的共轭解析函数微分中值定理的必备理论。4.1.1 共轭导数设函数在区域内有定义，给自变量以增量，其中，使，并计算由于自变量所引起的函数的增量如果按任意方式趋向于零时比值的极限存在，其值有限，则称此极限为函数在点的共轭导数，记为：这时称函数于点共轭可导或共轭可微。例如，在复平面上处处共轭可导。这是因为：所以

25、 4.1.2 共轭解析函数 若函数在区域内处处共轭可导，则称为区域内的共轭解析函数，或称于区域共轭解析。在区域内，若除了某些例外的点外，在区域内各点共轭解析，则称这些例外的点为在区域内的奇点。例如在平面内以为奇点。4.1.3 共轭解析的条件：定理1：（共轭可微的必要条件）设函数在区域内有定义，且在内的一点共轭可微，则、在此点的偏导数，且满足共轭解析条件。定理2：（共轭可微的充分必要条件）设函数在区域内有定义，则在内的一点共轭可微的充分必要条件是：（1） 二元函数、在点可微。（2） 、在点满足共轭解析条件。定理3 ： 在区域内共轭解析的充分必要条件是：（1）在内连续。（2）在内处处满足共轭解析条

26、件。推论1： 若在区域内共轭解析，且0，（），则在内常数。推论2： 若在区域内共轭解析，且0（），则：， （，为常数）是内两组正交曲线族。§4.2 共轭解析函数的微分中值定理 定理1 设函数在区域内共轭解析，为内任意一点，则在点的某个领域内，对于任意点，必存在点，使得 （1）式左 证明 设在点的某个领域内， （2）式中，为整数；在内共轭解析且。为不失一般性，假定 如此取，其中，是的边界，为与的距离。 任取点，作区域 于是由式（2）得 。设中的任意一点，则 这其中是因为，。又因 （因为），因此有由于函数，在e内与上均共轭解析，且上，又|<，则由共轭解析函数的rollche定理知，

27、与在e内有同样多的零点，即有 于是得知，在e内，从而在内存在零点，即 故得 ， 此即lagrange微分中值定理的类似。证毕推论1 设在区域内共轭解析，又，则，（此即rolle定理的类似）。推论2 设在区域内共轭解析，又 （，），则，。事实上，由推论1，由于， 再由推论1于导函数，可得，；由此类推，即得，；又由。再用一次推论1，。此即rolle定理的类似推广。定理2 设函数在区域内共轭解析，且，如果为内任意一点，则在点的某个领域内，对于任意点，必存在点，使得 （3）证明 显见当，式（3）就是式（1）。作辅助函数，显然在内共轭解析，将定理1的结果用于函数，则有，即： 此即cauchy微分中值定理

28、的类似。第二章 积分中值定理 随着微分学的不断完善，与之相逆的积分学也开始发展起来，这也是为了解决实际问题的需要。而定积分最初的出现就是为了解决实际中那些计算一种和式极限的问题。与微分中值定理相对应，积分学中也应有一套较为完善的积分中值定理理论，而且积分中值定理在积分学的地位与微分中值定理在微分学的地位应该是旗鼓相当的。这一章我们主要是探讨积分学中值定理的相关问题。主要讲述了三个方面的问题：积分中值定理的简介及其证明过程；积分中值定理中间点渐近性问题的研究以及积分中值定理的推广。其中积分中值定理中间点的渐近性主要是从积分区间的两个极端无穷大和零来讨论的，积分中值定理的推广主要是从三个方面来研究

29、：在riemann积分上的推广，在曲面、曲线积分上的推广，以及在复函数中的推广。这些推广也可以看着是积分中值定理的应用问题。第一节 积分中值定理简介在一元积分理论中，积分中值定理包括第一中值定理和第二中值定理。它们都是微积分中的基本定理，在理论上有着一定的重要位置，特别是在一些逻辑推证方面有较多的应用。这一节主要是在定积分的定义下介绍积分中值定理的各种形式，并给出了相应的证明过程。补充：定积分的定义设是定义在上的函数，在中任意插入若干个分点（个） 来划分区间，这一分法记为。在每一个部分区间中任取一点，作和式 其中，设为中的最大值，即 当时，如果和式的极限存在，且此极限值不能依赖于的选择，也不依

30、赖于对分法，就称此极限为在上的定积分。记为：§1.1 积分第一中值定理 若函数在闭区间上连续，则在上至少存在一点，使得证明：由定积分性质知 （1）其中，分别是函数在闭区间上的最大值和最小值。把（1）式各除以，得。这表明，确定的数值介于函数的最小值和最大值之间。根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在着一点，使得函数在点处的值与这个确定的数值相等，即应有： （）两端乘以，即得所要证的等式。说明：这里的是在上取值，实际上，也可以在开区间的，即时，定理同样成立。现证明如下：记，则。若时，则，均矛盾。故有，使，故存在使。即证明完毕推广的积分第一中值定理：若函数与在闭区间上连续，且在上不变

31、号，则在上至少存在一点，使得： （）证明： 因为在上连续，在上必有最大值和最小值，又由于在上可积且不变号，不妨设，于是 从而 （2）若0，则由（2）式知 ，从而任取均可以使等式成立。现设>0，将（2）式改为，其中 （3）如果，则由连续函数的介值性必存在使，从而等式得证。如果，则由于>0，必存在使得恒有，若不然，则在的任何闭子区间上都有使得，依定积分定义便有0，这与>0矛盾，由于，今改（3）为 （4）注意到 ，必有 （5）否则由>0及，就有>0，矛盾。今证存在，使，若不然，则在上恒有及，从而，故，这与（5）式矛盾，同理可证的情形。总之，存在使等式成立。§1

32、.2 积分第二中值定理 若函数与在上可积，单调，则存在使得： 若函数单调递增，且不为负，则 若函数单调递减，且不为负，则 现就证明如下：先假定在上有连续导数，用分部积分公式，得 （*）这时考虑到，（*）式的右边不大于，但也不小于，因此可以找到使得等式成立；现在，如果是非负不减函数，一般说来它是间断的，那么它在上可积，并且存在着连续可导的非负不减函数序列，有 （ ）根据已证明的事实，对任一n，可以找到使得 （*）_在序列的子列，但由于（*）式右边的积分关于下限的连续性和下面事实成立： （ ），令 ，对（*）式取极限，获证。第二节 积分中值定理中间点的渐近性 在积分中值定理中，中间点的渐近性一般是

33、因区间长度的不同而不同，不过主要是有两种情况：当区间长度趋于零或趋于无穷大。因此本节分别讨论两种情况下的积分中值定理中间点的渐近性。§2.1 当区间长度趋于零时中间点的渐近性 定理1 如果是区间上的连续函数，那么对于，必存在使得 （1）定理 2 如果函数是区间上的连续函数，在可微，且，那么上述公式（1）中的必满足 这是当 时的渐近性态。 定理 3 如果函数在区间上连续，在处阶可微，且（），。那么对于公式（1）中的必满足 这是对定理2的推广。定理 4 设与是区间上的连续函数，且对于，或成立，那么必存在使得 （2）定理 5 设函数与满足定理4的条件，且，这里且是两个常数。那么，公式（2）

34、中的必然满足 （3） 证明 不失一般性，我们假定且，显然>0。定义根据罗必达法则，并对函数使用公式（1），我们有 （4）另一方面，由定理4，及对函数使用公式（1），我们又得到 （5）比较（4）和（5），我们有从而公式（3）成立。定理 6 设函数在区间上连续，在处阶可微，且且（），。如果满足定理5的条件，那么公式（2）中的必满足证明 多次利用罗必达法则，我们有 从而由定理5可得结论成立。显然，定理5和定理6是比定理3更一般的结论。此外，定理5对在处不可微的函数仍然有效。例如，设，满足定理5的条件，那么公式（3）仍然成立。§2.2 当区间长度趋于无穷大时中间点的渐近性 由§

35、;2.1中的定理2可得，当积分区间趋向无穷大时，可得到类似定理：定理 a 设在上连续，且，那么对于积分中值定理所确定的，有接下来将给出具有十分普遍性的结果。定理 1 设在上连续，且存在，使，而在上可积且不变号，且存在使，则对于由推广的积分中值定理确定的数，我们有证明 由知，对任意，存在使当时，故所以 （1）由知，对任意，存在使当时。由于不变号，不妨设，则当时，从而与前面类似可证 （2）从而 （3）由于而在上连续，故当时，。另一方面，由推广的积分中值定理， 。所以若令，此时，即可得到如下的定理2 设在上连续，若存在，使，那么对于积分中值定理所确定的，有。在定理2中，令，便可得到前述的定理a。第三

36、节 积分中值定理的推广 与微分中值定理的推广相对应，积分中值定理也有其在某些方面的推广。而这正是本节所要讨论的问题。本节讨论积分中值定理的推广问题。主要是从三个方面：在广义riemann积分中的推广；在曲线、曲面积分中的推广；以及在复函数中的推广。积分中值定理的推广也可以看着是它在广义riemann积分、曲线曲面积分、复函数等方面的应用。只是在这些推广中，为了使积分中值公式能够成立，必须加入某些适当的约束条件。§3.1 在广义riemann积分中推广 定理1 （关于无限区间上广义函数的广义积分第一中值定理）设在半直线上有界连续，使上的非负函数，并且，则必存在一有限点满足 （1）证明

37、不妨设，那么由的非负性可知如果0，由上式可知0此时可在上任意取定一点作为，便有 以下我们设，由于 （）易知>0，并不妨设（当时，为常值函数，命题的结论也是显然的）。如果，由可知存在满足，那么 从而有 。如果有，同理可证亦有使得 。又若，此时在上可取到和满足。那么依据连续函数的介值定理，在和之间必然存在一点使得：因此 当然也满足（1）式，证明完毕。定理2 （关于无界函数广义积分的第一中值定理）设在区间上连续有界，在上非负（无界），那么对于，必然存在一点，使得 以上定理的政法可以采用类似定理1中的办法给出证明。事实上，可令，因为在上非负，所以有那么当时，定理2显然成立。对于的情形，不妨设，并

38、分3种情形讨论。（1）当时，由于存在，可使得 于是有 从而使 （2）当时，而确定的定义可知，存在满足所以 从而得 （3） 当时，先取，适合因为连续，依据连续函数的介值定理，在和之间必然可以找到一点使得 当然有 证明完毕。§3.2在曲线、曲面积分中的推广 数学分析教科书中对定积分中值定理和重积分中值定理进行了深人探讨，而曲线积分中值定理和曲面积分中值定理一般没有提出来。这一小节将讨论曲线积分中值定理和曲面积分中值定理，并给出了详细的证明。这也是积分中值定理的一个应用，也可以看着是它的一个推广。 定理1 （第一型曲线积分中值定理） 若函数在光滑有界闭曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使

39、。其中表示曲线的长。证明 因为在有界闭曲线上连续，所以存在，并且，从而由于在上连续，故由介值定理，在曲线上至少存在一点，使从而结论成立。定理得证。同理可证下面的定理：定理2 （第二型曲线积分中值定理） 若函数在有向光滑闭曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使 其中为有向光滑曲线在轴上的投影，符号是由曲线的方向确定。定理3 （第一型曲面积分中值定理） 若为平面上的有界闭区域，是光滑曲面，函数在上连续，则曲面上至少存在一点，使得 其中是曲面的面积。定理4 （第二型曲面积分中值定理） 若有光滑曲面：，其中是有界闭区域，函数在上连续，则在曲面上至少存在一点，使得 其中是的投影的面积。现举例说明积分中值

40、定理在曲线、曲面积分中的推广应用例 证明：若是柱准面上的部分，是上的连续函数，则 证明 设是在平面的上半部分，为在平面的下半部分，则。由积分区间的可加性，有： 由于函数在：上的部分上连续，所以函数在上连续，根据定理4，在上至少存在一点，使 ·其中表示在平面上的投影区域的面积，由于关于平面对称，所以对上述，对应点，又与的方向相反，故有： ·其中表示在平面上的投影区域的面积，又由于关于平面对称，所以有，。所以有： ··0证明完毕。§3.3 在复函数中的推广 与微分中值定理类似，积分中值定理也可以在复函数中推广，只是积分中值定理在复函数中的推广要比微

41、分中值定理在复函数的推广要复杂些。 下文只是简单的介绍了积分中值公式在复函数中的推广，给出了复函数积分中值公式，由于证明过程比较复杂，故从略。 引理1 设函数在区域内解析，为内任意一点，则对于点的某领域及任意点，存在满足条件的点，使得 （1）引理2 设函数 在单连通区域内连续，且对于内的任意一条逐段光滑的简单曲线（一下简称围线），有，则函数（为内一定点）在内解析，且 （）引理3 设函数在区域内解析，则在内具有各阶导数，且它们也在内解析。定理1 设函数在单连通区域内连续，且对内任一围线有 ： （），为内任意一点，则对于点的某领域及任意点，存在满足条件的点，使得 （2）其中 式中 （），是自然数。

42、本定理证明从略。在定理1中令，且，即可得到以下推论：推论1 设函数，在单连通区域内连续，且对内任一围线有，为内任意一点，则对于点的某领域及任意点，存在满足条件的点，使得 其中，。定理2 设函数在单连通区域内连续，且对内任一围线有 ： （），为内任意一点，则对于点的某领域及任意点，存在满足条件的点，使得 由定理2我们可得到推论2 设函数，在单连通区域内连续，且对内任一围线有，为内任意一点，则对于点的某领域及任意点，存在满足条件的点，使得 特别地当1时，有推论3 设函数在单连通区域内连续，且对内任一围线有，为内任意一点，则对于点的某领域及任意点，存在满足条件的点，使得 说明 上述定理的证明过程都略

43、去，证明过程可参考甘肃教育学院学报（自然科学版）2002年第2期复函数积分中值公式。补充：中值定理在复函数的适用范围 由第一章第三节和本节的内容可知，中值定理可以推广到复函数中去，但是不是也像实函数那样，中值定理可以广泛的应用呢？答案是否定的。那么，复函数的中值定理的使用有什么条件呢？究竟在什么时候才能应用呢？这就是下面所要讨论的问题。定理1如果中值定理适用于一个整函数,那么必定是一个常数或一个一次、二次多项式。在证明定理之前，我们指出如下的推断：引理1中值定理适用于常数，一次多项式和二次多项式。证明： 引用二次多项式举例。令,那么： 这就是我们要证明的。现在我们可以在下面的阶段完成对定理1的

44、证明。由于是一个整函数，我们仅须考虑下面的两种情况。第一种情况：如果是平面上的一个单叶解析函数，它肯定是一个线性函数。如果这不正确，肯定是一个极点或一个本性奇点。在例1中，让作为的排序，那么=0,如果2，我们得到一个矛盾式，因为是单叶的。如果是的一个本性奇点，那么=，由毕卡尔定理，我们会得到一个矛盾式。上面的论证证明肯定是：=，.第二种情况：如果是平面上的一个非单叶解析函数，那么是一个常数或一个至少是二次的多项式或一个超越整函数。我们已经说明了中值定理对于常数和一、二次多项式的有效性。中值定理对于三次以上的多项式和超越整函数并不适用，已足以证明定理1。我们可以拿出三个不同的点,使。令=, ,

45、,分别表示相邻的点,3,令充分小使得是=1,2,3中的一个单叶解析函数。当足够小，在中取每个值恰好一次。令 =, ，很明显, =在的闭包上至少有三个逆解析分支。集合.从论证原理我们知道，如果以左旋方向沿移动，那么也沿着同样方向移动。并且如果形成一个的回路（. 得到一个的变换），那么正切方向也形成一个的回路。令=1,2,3,那么在复数中至少有一个辐角主值满足，.在普遍性损耗以外，我们假设。现在令以左旋方向沿移动，我们得到引理2 令，足够小，对于充分小的0，至少存在一个点 使得在=1,2两条直接切线（对应的左旋方向）是平行的或者它们的交角小于。证明：对于一个任意的，设是上的切线 和x轴的交角。很容

46、易得到的切线和x轴的交角是,也就是。我们可以证明与的交角小于。与之间的角是 由于，我们可以选择足够小使得， 若，那么ti1。如果，那么， 实际上 从论据我们得到 ，因此我们有 <+<. 很明显对于与之间的关系只有四种可能：与平行但不相同。取，此时引理2的推断正确。与顺向相交，换言之，他们的公共点在他们的正延长线或反延长线上。取，引理2的推断也正确。与头尾相交。就是说他们的交点在其中一条的正延长线和另一条的反延长线上。从上述我们得知，如果，那么 让沿着以移动到同一点，将在或中存在例子，支持引理2的推断。 与方向相同，并且多于两个公共点，它们是同方向的切线。让沿移动到同一点也将在或中存

47、在例子，使得引理2的推断正确。据引理2，存在一个点（=1，2）使得同向切线的交角在小于或者它们平行不共线。而且我们可以证明下面的命题：引理3 在引理2的条件下，必定存在， 中相邻的n1,和n2,，使得对于，连接n1和n2的线段不相交。证明：令n1充分小使得在的nii上的切线方向的改变足够小。=1,2当从沿移动，令a=.从到i=1，2在中的弧的弧长显示为.很容易看到是一个上的严格递增函数。定义 从向量 到向量 的交角被定义为左旋方向从到 的最小正角。很明显，0，2。令作为上从 到的直切线的交角。由于和顺向相交或平行但不共线,我们可以假定没有普遍性损耗, .如果=0,令以左旋方向沿从到另一点移动很短的距离,在和中对应的两个点分别为和.如果充分小,我们有 =，0对于这些,连接和的线段不相交.另外,由于他们的交角充分小(因为充分小), 的变化大于,这是一个假设的矛盾式.在这个例子