第三章 刚体力学

1、第一篇第一篇 力力 学学 第三章刚体力学第三章刚体力学 (6学时学时) 第一篇经典力学第一篇经典力学描述物体的运动描述物体的运动状态状态运动学运动学寻求物体具有某种运动寻求物体具有某种运动状态的原因状态的原因动力学动力学万万有有引引力力定定律律质点质点运动运动学学刚体刚体运动运动学学静力学静力学动力学动力学质点质点力平力平衡衡刚体刚体力矩力矩平衡平衡质点质点动力动力学学刚体刚体动力动力学学内容结构内容结构已学过已学过内容结构内容结构第三章刚体力学第三章刚体力学刚体运动学刚体运动学刚体动力学刚体动力学1. 建立物理模型建立物理模型刚体模型刚体模型2. 引入物理参量引入物理参量角参量角参量3.刚体

2、运动学规刚体运动学规律的应用律的应用瞬时效应瞬时效应时间累积时间累积空间累积空间累积1.保持转动状态保持转动状态 的原因的原因2. 改变转动状态改变转动状态 的原因的原因3. 刚体转动定律刚体转动定律 (相当牛二律相当牛二律)1.冲量矩冲量矩,角动量角动量 冲量矩定理冲量矩定理 (相当冲量定理相当冲量定理)2.角动量定理、角动量定理、 角动量守恒角动量守恒(相当动量定理相当动量定理)1.力矩作功、转力矩作功、转 动动能、势能动动能、势能 转动动能定理转动动能定理 转动势能定理转动势能定理 (与平动对应与平动对应)2.机械能守恒机械能守恒内容结构内容结构请与平请与平动对应章节比较动对应章节比较A

3、.将刚体看作刚性连接的特殊质点、质点系，以质点、质点系将刚体看作刚性连接的特殊质点、质点系，以质点、质点系的运动规律来研究刚体的转动规律。的运动规律来研究刚体的转动规律。B.将一般刚体运动看作为平动和转动的组合，而转动又看作为将一般刚体运动看作为平动和转动的组合，而转动又看作为绕固定转轴转动的组合。因此，研究刚体的转动，绕固定转轴转动的组合。因此，研究刚体的转动，只需要研只需要研究绕固定转轴的转动究绕固定转轴的转动这样简单的情形。这样简单的情形。C.考虑到前面已反复处理由单质点向质点系过渡方法，本章我考虑到前面已反复处理由单质点向质点系过渡方法，本章我们直接按质点系方法处理问题们直接按质点系方

4、法处理问题)3.1力矩的瞬时效应力矩的瞬时效应刚体的转动定律刚体的转动定律 一绕固定转轴的刚体转动定理一绕固定转轴的刚体转动定理 1.改变物体转动状态的原因改变物体转动状态的原因力矩力矩 2.绕固定轴转动的刚体转动定理绕固定轴转动的刚体转动定理 二绕定轴转动的转动定理的应用二绕定轴转动的转动定理的应用 3.刚体转动惯量的求解刚体转动惯量的求解 研究方案研究方案一绕固定转轴的刚体转动定理一绕固定转轴的刚体转动定理 1.改变物体转动状态的原因改变物体转动状态的原因力矩力矩 力矩力矩：力与力臂的乘积，称为力矩。：力与力臂的乘积，称为力矩。FrM 或或 zyxFFFzyxkjiM 记记讨论讨论：A.力

5、矩是使物体转动状态发生改变的原因力矩是使物体转动状态发生改变的原因(相当于平动问相当于平动问题中的合外力题中的合外力) B.力矩是矢量：大小：力矩是矢量：大小： 方向：按矢积定义，由右手螺旋法则决定方向：按矢积定义，由右手螺旋法则决定 运算法则：矢量合成法则，并满足独立性原理。运算法则：矢量合成法则，并满足独立性原理。 sinFrM LL2.绕固定轴转动的刚体转动定理绕固定轴转动的刚体转动定理 任意形状刚体绕固定轴转动，如图，将刚体看作质点系。设位任意形状刚体绕固定轴转动，如图，将刚体看作质点系。设位矢为矢为ri的质点受到质点的质点受到质点j的内力为的内力为fij，受到合外力为，受到合外力为F

6、i，由牛顿，由牛顿第二定律：第二定律： x y z ri Fi i j fij i rj i iijiijiiamfF sinsin考虑到刚体绕固定考虑到刚体绕固定z 轴转动轴转动 iira 将上式两边同时乘以将上式两边同时乘以ri并利用矢量矢并利用矢量矢积的定义有：积的定义有： 2iijijiiirmfrFr 考虑刚体中所有质点、力矩的定义以及内力考虑刚体中所有质点、力矩的定义以及内力 jijijifrfr 上式成为上式成为 iiiiirmM 2当微元趋于无限小时当微元趋于无限小时 VdmrM2 定义定义转动惯量转动惯量 VdmrI2绕定轴转动的转动定理绕定轴转动的转动定理 IM 讨论讨论：

7、A.关于转动惯量关于转动惯量转动惯量的物理意义：保持刚体原有转转动惯量的物理意义：保持刚体原有转动状态的原因，是转动惯性的量度。转动惯量的求法：动状态的原因，是转动惯性的量度。转动惯量的求法： 连续体连续体 VdmrM2 离散体离散体 iiirmI2(ri是质点到转轴的垂直距离，考察推导过程是质点到转轴的垂直距离，考察推导过程) B.关于绕定轴转动的转动定律关于绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动定律的地位等同于平动问题中的牛顿第二定律刚体绕定轴转动定律的地位等同于平动问题中的牛顿第二定律适于研究刚体转动的瞬时效应，对于有固定转轴的刚体转动，适于研究刚体转动的瞬时效应，对于有固定转轴的刚体转动，

8、转动定理可以写为标量式，此时，外力、位矢应当分解到与转转动定理可以写为标量式，此时，外力、位矢应当分解到与转轴垂直的平面内。轴垂直的平面内。(仔细考察推导过程仔细考察推导过程)。适用条件：惯性系。适用条件：惯性系 x y z ri Fi i j fij i rj i 3.刚体转动惯量的求解刚体转动惯量的求解 例：如图，三个质量相等的小球等间距地分布在例：如图，三个质量相等的小球等间距地分布在x-y平面的角平面的角平分线上，且绕平分线上，且绕y轴转动。轴转动。求：系统的转动惯量求：系统的转动惯量 x y m a 解：由解：由 iiirmI2得得 2222222227)322()2()(maaaa

9、mrmIii 例：例：(连续体的转动惯量连续体的转动惯量)如图，线密度为如图，线密度为 、质量为、质量为m的均匀的均匀细杆与转轴的夹角为细杆与转轴的夹角为 .求求:其转动惯量。其转动惯量。 说明说明：A.本题的目的是要求能正确求解离散体的转动惯量，本题的目的是要求能正确求解离散体的转动惯量，理解转动惯量中理解转动惯量中r的物理含义的物理含义B.简单计算可知，转动惯量依赖质量大小，依赖质量分布简单计算可知，转动惯量依赖质量大小，依赖质量分布 。 x y m dm r l 解：由解：由 VdmrI2在杆上在杆上l 处任取微元处任取微元dm，显然，显然 :dldm 而杆的总长度：而杆的总长度： ml

10、 0，于是，于是 2230231022sin31)(sin)sin(0mlldlldmrIlV 说明说明：求解连续体的转动惯量，关键问题是统一：求解连续体的转动惯量，关键问题是统一r 和和dm 的积分的积分变量。并注意变量。并注意r 的物理含义。的物理含义。 例：例：(连续体与离散体的混合转动惯量连续体与离散体的混合转动惯量)。将上述两个例题结合。将上述两个例题结合起来，设杆上等间距地套上三个质量相等的小球，且杆的质起来，设杆上等间距地套上三个质量相等的小球，且杆的质量也与小球质量相等。求：系统的转动惯量量也与小球质量相等。求：系统的转动惯量 解：如果系统中既有连续体，又有离散体，只需要将连续

11、体看解：如果系统中既有连续体，又有离散体，只需要将连续体看作为若干离散体中的一个，再用求离散体的转动惯量的方法作为若干离散体中的一个，再用求离散体的转动惯量的方法就可以求出系统的转动惯量。就可以求出系统的转动惯量。 杆的转动惯量杆的转动惯量 2221sin31mldmrIV 三个小球的转动惯量三个小球的转动惯量 2227marmIii 系统的转动惯量系统的转动惯量 22221sin317mlmaIII l Ic I l rc r 证明：首先，绕固定轴转动的刚体模证明：首先，绕固定轴转动的刚体模型都可以转化为图示模型，因为只型都可以转化为图示模型，因为只有垂直于转轴的作用力才对刚体转有垂直于转轴

12、的作用力才对刚体转动状态的变化有影响。动状态的变化有影响。 例：例：转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理：其中，其中，Ic是转轴过质心的转动惯量。是转轴过质心的转动惯量。l是与过质心转轴相距为是与过质心转轴相距为l且与之平行的另一转轴。且与之平行的另一转轴。 2mlIIc 因因 VVdmrrdmrI)(2 VccVccdmlrlrdmlrlr)2()(22 VccdmrlmlI22考虑到质心坐标的求解方法考虑到质心坐标的求解方法 dmrrVc 且且Ic是转轴过质心的转动惯量，于是是转轴过质心的转动惯量，于是 2mlIIc 定理得证定理得证 例：例：转动惯量的垂直轴定理转动惯量的垂直轴定理：

13、一个平面薄板刚体对垂直于平面：一个平面薄板刚体对垂直于平面的任一转轴的转动惯量，等于刚体对在平面内并与该垂直轴的任一转轴的转动惯量，等于刚体对在平面内并与该垂直轴相交的任二正交轴转动惯量之和。相交的任二正交轴转动惯量之和。 yxIII xyz证明：因证明：因 VVdmrrdmrI)(2 Vdmj yi xj yi x)(yxVIIdmyx )(22定理得证定理得证例：求均匀分布、质量为例：求均匀分布、质量为m的球体绕其直径作定轴转动的的球体绕其直径作定轴转动的I.解：球体的质量密度解：球体的质量密度 343RmVm 采用球坐标系采用球坐标系 :drddrdVdm sin2 于是于是 drdrd

14、drdrrdmrIVV34222sin2sin)sin(52158)322(52cos)cos1(52255025mRRRdR 二绕定轴转动的转动定理的应用二绕定轴转动的转动定理的应用 刚体转动定律的应用与平动问题中牛顿定律的应用的完全相似刚体转动定律的应用与平动问题中牛顿定律的应用的完全相似主要类型：主要类型：A.已知刚体所受力力矩求刚体转动状态已知刚体所受力力矩求刚体转动状态 B.已知刚体转动状态求刚体所受力矩已知刚体转动状态求刚体所受力矩 C.已知刚体部分转动状态和部分力矩求解未知力矩和未知转已知刚体部分转动状态和部分力矩求解未知力矩和未知转动状态。动状态。 刚体转动定律应用的解题步骤刚

15、体转动定律应用的解题步骤 A.确定研究对象，分析刚体所受力、力矩确定研究对象，分析刚体所受力、力矩B.建立坐标系，列转动动力学方程及必要的平动动力学方程建立坐标系，列转动动力学方程及必要的平动动力学方程C.解算及讨论解算及讨论 例：电风扇开启电源时，经例：电风扇开启电源时，经t1时间达到额定转速时间达到额定转速 0，关闭电源，关闭电源时经时间时经时间t2停止。设电风扇的转动惯量为停止。设电风扇的转动惯量为I，且电机的电磁力，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为恒量。矩与摩擦力矩为恒量。求：电机的电磁力矩求：电机的电磁力矩 解：设电风扇的电磁力矩、摩擦力矩分别为解：设电风扇的电磁力矩、摩擦力矩分别为M、

16、Mf 电风扇开启时受电磁力矩与摩擦力矩的作用，即电风扇开启时受电磁力矩与摩擦力矩的作用，即 当电风扇达到额定转速时当电风扇达到额定转速时 110t 电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，即电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，即 1 IMMf 2 IMf 达到停止时达到停止时 0220 t 解此联立方程组，得解此联立方程组，得 )11(210ttIM 例例6-6(p143)：(已知运动状态求力矩已知运动状态求力矩)说明说明：A.如果系统中既有物体平动又有物体转动，那么，对转如果系统中既有物体平动又有物体转动，那么，对转动物体，存在线量与角量的自然连接条件。动物体，存在线量与角量的自然连接条

17、件。B.如果系统中既有物体平动又有物体转动，那么，转动如果系统中既有物体平动又有物体转动，那么，转动物体与平动物体连接处，存在摩擦力。如本题中，滑轮左右物体与平动物体连接处，存在摩擦力。如本题中，滑轮左右两边绳子的张力不再相等。两边绳子的张力不再相等。 例例6-7(p144)：(已知力矩求运动状态已知力矩求运动状态) 说明说明：A.可作定理使用的重要结论：可作定理使用的重要结论：对于有固定转轴的刚体，对于有固定转轴的刚体，重力对转轴的力矩，等于将重力集中在重力对转轴的力矩，等于将重力集中在质心对转轴所产生的力矩。质心对转轴所产生的力矩。B.重要的数学技巧重要的数学技巧 dddtddddddtd

18、dtd C.熟悉关于转动的运动学公式熟悉关于转动的运动学公式 RMmTmg 例：质量为例：质量为M、半径为、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为子下端挂一质量为m的物体，如图所示。的物体，如图所示。求：柱体的角加速度及绳中的张力。求：柱体的角加速度及绳中的张力。解：对柱体解：对柱体 ImgR 该式对吗？该式对吗？错错! 因：因：mgT 正确的解法是用隔离体法正确的解法是用隔离体法maTmg 对对m对柱对柱 RaITR ，解得解得)2/(2R

19、Mmmg )2/(MmMmgT 求解联立方程，代入数据，可得：求解联立方程，代入数据，可得：T1T1T2mgm1m2mRr 1 2例：质量例：质量m1=24kg的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为绕于盘上，另一端通过质量为m2=5kg的具有水平光滑轴的圆的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有盘形定滑轮后挂有m=10kg的物体。的物体。求：物体求：物体m由静止开始下落由静止开始下落h=0.5m时，物体的速度及时，物体的速度及 绳的张力绳的张力 解：各物体受力情况如图所示解：各物体受力情况如图所示1211121 RmRTm ：2221

20、2221 rmrTrTm ：maTmgm 2：ahvrRa2221 ， NTNTsmv5848/221 ，例：一根质量为例：一根质量为m、长为、长为l的均匀细棒的均匀细棒AB，可绕一水平光滑轴，可绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，在竖直平面内转动，o轴离轴离A端的距离为端的距离为 l/3。今使棒从静止开。今使棒从静止开始由水平位置绕始由水平位置绕o轴转动轴转动求：棒转过角求：棒转过角 时的角加速度和角速度。时的角加速度和角速度。 ABo Cmg cos6lmgMo 22291)6(121mllmmlIo cos23lgIMoo cos23lgdddtddddtd 又因又因解：各物体受力情况如图

21、所示。解：各物体受力情况如图所示。所以所以 dlgdcos2300 完成积分得完成积分得lg sin3 lglg/3090).2(0)2/(30).1(0 ，时，时，当当，时，时，当当讨论讨论:解：摩擦力分布在整个盘面上，计算摩擦力的力矩时，应将圆解：摩擦力分布在整个盘面上，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为盘分为无限多个半径为r、宽为、宽为dr 的圆环积分。故摩擦力矩：的圆环积分。故摩擦力矩：例：一质量为例：一质量为m、半径为、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以面的光滑轴正以 o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌的角速度转动。现将

22、盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为求：圆盘经多少时间、转几圈将停下来？求：圆盘经多少时间、转几圈将停下来？rdr omgRrdrRmgrMR 32202 RgIM34 于是得：于是得：221mRI 转动惯量：转动惯量：gRtOo 43 gRNoo 1632222 ，得：，得：00 t 又由又由，所以停下来前转过的圈数为，所以停下来前转过的圈数为 2202一冲量矩一冲量矩 二角动量定理、角动量守恒定律二角动量定理、角动量守恒定律 3.2力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律三角动量定理、角动量守恒定理的应用三角动量

23、定理、角动量守恒定理的应用 内容结构、内容结构、请与平请与平动对应章节比较动对应章节比较一冲量矩一冲量矩 冲量矩冲量矩：力矩在时间上的累计矢量，称为冲量矩。：力矩在时间上的累计矢量，称为冲量矩。dtMJd 21ttdtMJ或或 记记讨论讨论：冲量矩的讨论完全类似于冲量的讨论，：冲量矩的讨论完全类似于冲量的讨论，(略，自己补充略，自己补充) 二角动量定理、角动量守恒定律二角动量定理、角动量守恒定律 推导：这一推导过程类似于由牛顿第二定律推导动量定理推导：这一推导过程类似于由牛顿第二定律推导动量定理 由刚体转动定律由刚体转动定律 )()()( IdJdIddtMIMdtId 定义角动量定义角动量

24、IL 于是得到于是得到角动量定理：角动量定理：微分形式微分形式 )( IdLdJd 积分形式积分形式 1221LLdtMJtt 讨论讨论：A.适用条件：惯性系，所有质点相对于同一参考系；有适用条件：惯性系，所有质点相对于同一参考系；有固定转轴的刚体运动。固定转轴的刚体运动。B.推导过程中，没有强调力矩是内力矩还是外力矩，主要因为推导过程中，没有强调力矩是内力矩还是外力矩，主要因为在推导刚体转动定律时已经证明刚体内力矩之矢量和为零。在推导刚体转动定律时已经证明刚体内力矩之矢量和为零。角动量定理中的力矩只有外力矩。角动量定理中的力矩只有外力矩。I 是系统的总转动惯量。是系统的总转动惯量。 C. 角

25、动量定义的其它表述形式角动量定义的其它表述形式 vmrL (因因 ， ， 右手螺旋法则右手螺旋法则) 2rvr 大小大小 sin2mrvmrIL 夹角是夹角是 r 与与 v之间的夹角之间的夹角方向：与角速度方向一致方向：与角速度方向一致 矢量性与独立性：其合成满足矢量合成法则，独立性表现为矢量性与独立性：其合成满足矢量合成法则，独立性表现为 021xxttxLLdtM 021yyttyLLdtM 021zzttzLLdtM D.刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律：当当 时，时， 或或 210ttdtM0LL 0 II 例例：当当I=I0时，时， 0 ，刚体做匀角速度转动，刚体做匀角速度转

26、动 当当I变化时，变化时， ，表明转动惯量与刚体转动状态之间，表明转动惯量与刚体转动状态之间的关系的关系(现象解释现象解释) 00 II三三 角动量定理、角动量守恒定律的应用角动量定理、角动量守恒定律的应用 解：小球所受的力中，重力和桌面的支持力抵消，只有绳的解：小球所受的力中，重力和桌面的支持力抵消，只有绳的拉力影响小球的运动。这个拉力的作用线通过拉力影响小球的运动。这个拉力的作用线通过O点，对点，对O点点的力矩为零，故小球在运动中对的力矩为零，故小球在运动中对o点的角动量守恒，于是有点的角动量守恒，于是有例：如图，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔例：如图，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔O，绳

27、的一端系，绳的一端系有一质量为有一质量为m的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角速度设开始时小球以角速度 0 绕孔绕孔O 作半径作半径r 的匀速圆周运动的匀速圆周运动,现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止时止求：这一过程中拉力的功。求：这一过程中拉力的功。202202222321)2(21 mrmrrmA 02024)2/( rmmr由动能定理，由动能定理，拉力的功为拉力的功为F 0rom解：解：(1)对杆和两小球组成的系统：由于有摩擦外力矩的存在对杆和两小球组成的系统：由于

28、有摩擦外力矩的存在 碰撞过程中好象角动量不守恒。但由于碰撞时间极短，摩碰撞过程中好象角动量不守恒。但由于碰撞时间极短，摩擦外力矩与杆和两小球碰撞过程中的内力矩比较起来，完全擦外力矩与杆和两小球碰撞过程中的内力矩比较起来，完全可以忽略，系统角动量仍守恒。可以忽略，系统角动量仍守恒。.ommvv例：如图，粗糙的水平桌面上，有一长为例：如图，粗糙的水平桌面上，有一长为2L、质量为、质量为m的匀质的匀质细杆，可绕通过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴细杆，可绕通过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由自由转动，杆与桌面间的摩擦系数为转动，杆与桌面间的摩擦系数为，起初杆静止。桌面上有，起初杆静止。桌面上有

29、两个质量均为两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同的速率杆的一端，以相同的速率v相向运动，并与杆的两端同时发相向运动，并与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞生完全非弹性碰撞(设碰撞时间极短设碰撞时间极短)。求：求：(1)两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？ (2)杆经多少时间停止转动？杆经多少时间停止转动？(不计两小球重力造成的摩擦力矩）不计两小球重力造成的摩擦力矩） )2(22mLImvL 解得解得Lv76 其中其中2231)2(121mLLmI (2)摩擦力矩为摩擦力矩为2220

30、LmgxgdxLmML dmOx dxfrLgIM23 由由 = o+ t 得：得：gvt 74 oR/2例：匀质园盘例：匀质园盘(m、R)与一人与一人(m/10,视为视为质点质点)一起以角速度一起以角速度 o绕通过其盘心的竖绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动，如果此人相对于盘直光滑固定轴转动，如果此人相对于盘以速率以速率v、沿半径为、沿半径为R/2的园周运动的园周运动(方向方向与盘转动方向相反与盘转动方向相反), 求求:(1)圆盘对地的角速度圆盘对地的角速度(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？速度大小和方向？(1).外力外力(重力和轴的支撑力重力和

31、轴的支撑力)对转轴的力矩为零，所以系统角对转轴的力矩为零，所以系统角动量守恒，于是有：动量守恒，于是有： oR/2解：系统：圆盘解：系统：圆盘+人。人。2/)(0vRmIII人人盘盘人人盘盘 系统角动量守恒吗？系统角动量守恒吗？否！否！角动量守恒定律只适用于惯性系。角动量守恒定律只适用于惯性系。 所以应用角动量守恒求解所以应用角动量守恒求解问题时，应代入人相对于惯性系问题时，应代入人相对于惯性系(地面地面)的角速度。的角速度。 oRmmR )21(102122)2()2(102122RvRmmR 解出解出Rvo212 (2) 欲使盘静止，可令欲使盘静止，可令0212 Rvo 得得oRv 221

32、 负号表示人的运动方向与负号表示人的运动方向与 o方向相同方向相同3.3力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应刚体的机械能守恒定律刚体的机械能守恒定律 一力矩的功、功率一力矩的功、功率 二绕固定轴转动刚体的动能定理二绕固定轴转动刚体的动能定理 三刚体的势能三刚体的势能 四刚体系的机械能守恒四刚体系的机械能守恒 内容结构、内容结构、请请与平动对应章与平动对应章节比较节比较一力矩的功、功率一力矩的功、功率 设设 r d dm F FrFFr 0 rdrd 质点在合外力作用下所作的功：质点在合外力作用下所作的功： dMdrFrdFrdFdA sin 微分形式微分形式 21 dMA积分形式积分形式 讨论

33、讨论：A.在上述讨论过程中，没有记及刚体内力所作的功，在上述讨论过程中，没有记及刚体内力所作的功， 原因是内力所作功之和为零原因是内力所作功之和为零(内力是作用力和反作用力的关内力是作用力和反作用力的关系且任意质点都没有相对位移系且任意质点都没有相对位移) 。B.力矩作功的正负符号规定：如果力矩方向与刚体转动方向力矩作功的正负符号规定：如果力矩方向与刚体转动方向 一致，则为正，反之为负。这一点可由积分形式或微分形一致，则为正，反之为负。这一点可由积分形式或微分形 式数学表述式得到。式数学表述式得到。 C.力矩作功的功率力矩作功的功率 MdtdMdtdAp二绕固定轴转动刚体的动能定理二绕固定轴转

34、动刚体的动能定理 2122212121 IIdIA 积分形式积分形式 )21(2 IddIdAdtdtdIdIdAdMdA 微分形式微分形式 定义绕固定转轴转动的刚体动能：定义绕固定转轴转动的刚体动能： 221 IEk 绕固定转轴转动的刚体的动能定理绕固定转轴转动的刚体的动能定理 kdEdA 讨论讨论：A.绕固定转轴转动的刚体，其动能的改变只与刚体所受绕固定转轴转动的刚体，其动能的改变只与刚体所受的合外力矩作功有关。的合外力矩作功有关。B.当合外力矩作功为零时，刚体动能的守恒。当合外力矩作功为零时，刚体动能的守恒。 三刚体的势能三刚体的势能 如果刚体受到保守力作用，那么，对该保守力，象质点系一

35、如果刚体受到保守力作用，那么，对该保守力，象质点系一样，可以引入刚体的势能。样，可以引入刚体的势能。 刚体的势能定理刚体的势能定理：保守力对刚体所作的功，等于刚体势能增量：保守力对刚体所作的功，等于刚体势能增量的负值。的负值。 这一结论，只要将刚体看作为特殊质点系，那么，结论成立是这一结论，只要将刚体看作为特殊质点系，那么，结论成立是显然的。显然的。 重要结论：刚体的势能，等于将刚体质量全部集中于其质心所重要结论：刚体的势能，等于将刚体质量全部集中于其质心所得到的质点的势能相等。得到的质点的势能相等。例：重力势能例：重力势能 cVpmghmhdmmgmdmmghghdVE 四刚体系的机械能守恒

36、四刚体系的机械能守恒 刚体系的机械能守恒定律刚体系的机械能守恒定律：如果刚体系运动过程中只有保守力：如果刚体系运动过程中只有保守力做功，则刚体系机械能守恒。做功，则刚体系机械能守恒。(同样，这一结论，只要将刚体同样，这一结论，只要将刚体看作为特殊质点系，那么，结论成立是显然的看作为特殊质点系，那么，结论成立是显然的)。 例：在光滑的桌面上，有一质量为例：在光滑的桌面上，有一质量为M、长、长2l的细杆，质量为的细杆，质量为m、速度为速度为v0的小球沿桌面垂直撞在杆上，设碰撞是完全弹性的小球沿桌面垂直撞在杆上，设碰撞是完全弹性求：碰撞后求和杆的运动状况以及什么条件下，细杆运行半求：碰撞后求和杆的运

37、动状况以及什么条件下，细杆运行半圈后又与小球相撞？圈后又与小球相撞？ 2l m v0 M 解：设碰撞后小球、杆的质心的速度分别为解：设碰撞后小球、杆的质心的速度分别为v1、v2，杆绕质心，杆绕质心的角速度为的角速度为 ，选择小球、杆为系统。，选择小球、杆为系统。 动量守恒动量守恒 210Mvmvmv 角动量守恒角动量守恒(以杆的质心为参考点以杆的质心为参考点) cIvvml )(10动能守恒动能守恒 222212021212121 cIMvmvmv 细杆绕质心转动的转动惯量：细杆绕质心转动的转动惯量：231MlIc 联立求解上述方程组联立求解上述方程组)4(60Mmlmv 0144vMmMmv

38、 0242vMmmv 欲使细杆运动半圈后与小球再次相碰，须使欲使细杆运动半圈后与小球再次相碰，须使 21vv (即两者运动一样快即两者运动一样快)，条件为：，条件为：M=2m 讨论讨论：A. 对于既有平动，又有转动的物体，将其运动分解为质对于既有平动，又有转动的物体，将其运动分解为质心的平动和刚体绕过质心的轴的转动。运用动量定理时，刚心的平动和刚体绕过质心的轴的转动。运用动量定理时，刚体可以看作为质量全部集中于质心的质点。体可以看作为质量全部集中于质心的质点。B.细杆与小球相碰后，一方面，细杆以质心速度细杆与小球相碰后，一方面，细杆以质心速度v2平平 移，同时，细杆绕质心转动。移，同时，细杆绕

39、质心转动。 例：质量、半径相同的例：质量、半径相同的a.圆柱圆柱b.薄球壳薄球壳c. 球体从相同光滑斜面球体从相同光滑斜面的相同高度由静止无相对滑动下滑。的相同高度由静止无相对滑动下滑。求：质心所获得的速度求：质心所获得的速度 h m vc 解：将地球、斜面、解：将地球、斜面、m看作为系统，看作为系统，由机械能守恒由机械能守恒 222121 ccImvmgh 无滑动的条件无滑动的条件 Rvc 对对a 221mRIc 对对b 232mRIc 对对c252mRIc 质心获得的速度分别为质心获得的速度分别为 ghvc34 ghvc56 ghvc710 例：光滑的水平面上，有一轻弹簧，倔强系数为例：光

40、滑的水平面上，有一轻弹簧，倔强系数为k=100N/m，一，一端固定于端固定于O点，另一端连接一质量为点，另一端连接一质量为m=1kg的滑块，如图所的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的长度为示。设开始时，弹簧的长度为l0=0.2m(自然长度自然长度), 滑块速度滑块速度v0=5m/s, 方向与弹簧垂直。当弹簧转过方向与弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度时，其长度l=0.5m求：此时滑块速度求：此时滑块速度v的大小和方向。的大小和方向。 20220)(212121llkmvmv vOl0lv0d解得解得 v =4m/s， =300解：对滑块运动有影响的力只有解：对滑块运动有影响的力只有弹力，故角动

41、量和机械能守恒弹力，故角动量和机械能守恒 sin0mvlmvl 例：质量为例：质量为m的火箭的火箭A，以水平速度，以水平速度v0沿地球表面发射出去，如沿地球表面发射出去，如图。地轴图。地轴oo与与v0平行，火箭平行，火箭A的运动轨道与地轴的运动轨道与地轴oo相交于距相交于距o为为3R的的C点。不考虑地球的自转和空气阻力，点。不考虑地球的自转和空气阻力，求：火箭求：火箭A在在C点的速度点的速度v与与v0之间的夹角之间的夹角 。(设地球的质量为设地球的质量为 M、半径为、半径为R) RMmGmvRMmGmv32121220 由对由对o点的角动量守恒，有点的角动量守恒，有vv0MROmACO 3R解

42、火箭运动过程中只受引力解火箭运动过程中只受引力(保守力保守力)作用，机械能守恒作用，机械能守恒 )43(3sin2020GMRvRv 解得解得 sin30RmvRmv 例：一质量为例：一质量为m、长为、长为l的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止在竖直位置转动。开始时，棒静止在竖直位置求：棒转到与水平面成求：棒转到与水平面成 角时的角速度和角加速度。角时的角速度和角加速度。221sin22 Ilmglmg 22231)2(121mllmmlI 由此得由此得lg/ )sin1(3 cos23lgdddtddddtd 解：解： 棒在转动的过程中，只有保守力棒在转动的过程中，只有保守力(重力重力)作功，故机械能作功，故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有守恒。取水平面为零势面，于是有讨论讨论：本题也