2020届河南省郑州市重点高中高三上学期期中考试数学文试题(解析版)

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.二、13.页河南省郑州市重点高中 2019-2020 学年高三期中考试文科数学试题选择题（本大题共 12 小题）D.函数 f（ x）=的定义域是（）A. B. C.下列各式的运算结果为实数的是（ ）A. B. C. D.设集合 A=x|x2>4，AB=x|x<-2 ，则集合 B可以为（）A. B. C. D.函数 f（x）=（sinx+cosx）2 的最小正周期为（）A.B.C.D.在平行四边形 ABCD 中，A（1，2），B（-2，0），=（2，-3），则点 D 的坐标为（A.B.C.D.若函数 f（x） =1+|x|+x3，

2、则 =（）A. 2B.4C. 6D. 8在 RtABC 中，C=90°，AC=4，则 =（）A.B.16C.D. 9 已知函数 f（x）=sinx和 g（x）=的定义域都是 -，则它们的图象围成的区域面积是C.)D.A. B.函数 f（ x）=sinx?ln|x|的图象大致是（页11第B.D.A.已知函数 f（ x）A. 为偶函数C. 的值域为a1（a2+a3）=6a1-9，则公比 q 的最大值为（ B. C. D. =2cos2（2x+）+sin（4x+），则下列判断错误的是（ B. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称已知函数的导函数满足恒成立 ,则下列不等式中定成立的是D

3、.（ ）A. B. C. 填空题（本大题共 4 小题） 已知全集 U=R，集合，则 ?UP=14. 若函数 f（x）=arcsin（x-1）-cos（）的图象与 x轴交于点 A，过点 A的直线 l 与函数的图象交于另外两 点 P、Q，O 是坐标原点，则（ + ）?= 15. 若集合 A= x|x2-（a+2）x+2-a<0，xZ 中有且只有一个元素，则正实数 a的取值范围是 16. 正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC、BD 相交于点 O，动点 P 满足，若，其中 m、nR，则的最大 值是 三、解答题（本大题共 6 小题）17. 函数 f（ x）=Acos（ x+）（ A>

4、0，>0，） 部分图象如图所示（ 1）求 f（x）的最小正周期及解析式；（ 2）设 g（ x） =f（x） +sin2x，求函数 g（ x）在区间上的最大值和最小值18. 等差数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 bn是等比数列，满足 a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3 （）求数列 an 和 bn的通项公式；（）令 Cn=设数列 cn的前 n 项和 Tn，求 T2n19. 已知函数，； 若函数在上存在零点，求 a 的取值范围； 设函数，当时，若对任意的，总存在，使得，求 b 的取值范围20. 在 ABC 中， 3sinA =2sin B， tanC =2（1）证明

5、： ABC 为等腰三角形（2）若ABC的面积为 2，D 为 AC 边上一点，且 BD=3CD，求线段 CD 的长21. 已知函数 f（ x） =（ x-a-1）ex+ax（ 1）讨论 f（ x）的单调性；（2）若?x01，2，f（x0）0，求 a 的取值范围22. 若数列 an、bn满足|an+1-an|=bn（nN*），则称 bn为数列 an的“偏差数列”（1）若 bn 为常数列，且为 an的“偏差数列”，试判断 an是否一定为等差数列，并说明理由； （2）若无穷数列 an是各项均为正整数的等比数列，且a3-a2=6，bn为数列 an的“偏差数列”，求的值；（3）设， bn为数列 an的“偏

6、差数列”， a1=1，a2na2n-1且 a2na2n+1，若|an| M对任意 nN*恒成立， 求实数 M 的最小值答案和解析1. 【答案】 A【解析】解：由 f（ x） =，令 x-40，解得 x4， 所以函数 f（x）的定义域为 x|x4 故选： A函数 f（ x）有意义即保证二次根式的被开方为非负 本题考查了二次根式的被开方非负，以及函数定义域的求法问题，是基础题2. 【答案】 D【解析】解： -i（1+i）=1-i；i（1-i）=1+i；（1+i）-（1-i）=2i；（ 1+i）（ 1-i）=1-i2=1+1=2， 故选： D 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查复数代

7、数形式的乘除运算，考查运算求解能力，是基础题3. 【答案】 C【解析】【分析】 考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算 可解出集合 A，然后进行交集的运算即可【解答】解： A= x|x< -2，或 x>2 ；B= x|x< 1时， AB= x|x<-2故选 C4. 【答案】 B【解析】【分析】 本题考查三角恒等变换，考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题 将 f（ x） = （ sinx+cosx） 2展开，可得 f（ x） =1+sin2 x，从而可求得其最小正周期 【解答】 解： f（x）=（ sinx+cosx） 2=1+2sin xcosx=1

8、+sin2 x，f （ x）的最小正周期为 T=故选： B5. 【答案】 A【解析】解：解：设 C（x，y）， D（ s， t），则：；C（3，-1）；又，；（3-s，-1-t）=（-3，-2）；点 D 的坐标为（ 6， 1）故选： A可设 C（x，y）， D（ s， t），从而根据条件得出（ x-1，y-2）=（2，-3），从而可求出，即 C（3，-1）， 并可求出，根据即可求出点 D 的坐标考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，相等向量的概念6. 【答案】 C 【解析】【分析】 考查对数的运算性质，对数函数的单调性，已知函数求值的方法 可知， 从而可根据 f（x）的解析式得出 =1+lg2+

9、（ lg2）3+1+lg2+（-lg2）3+1+lg5+（ lg5）3+1+lg5+（-lg5）3=6 【解答】 解： =f（lg2）+f（-lg2）+f（ lg5）+f（-lg5）=1+lg2+ （lg2）3+1+lg2+ （-lg2 ）3+1+lg5+ （lg5）3+1+lg5+（-lg5） =4+2 （ lg2+lg5 ） =6故选： C7. 【答案】 B解析】解： C=90°， =0=16 故选： B利用向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则即可得出本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则，属于基础题8. 【答案】 C【解析】解： g（ x）=的图象为圆心为 O

10、半径为 的圆的上半部分，y=sinx 是奇函数，f（x）在 - ，0上与 x轴围成的面积与在 0， 上与 x轴围成面积相 同，则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积S=，故选： C作出 f（ x）与 g（x）的图象，结合图象的对称性进行求解即可 本题主要考查区域面积的计算，作出两个函数的图象，利用图象的对 称性，利用割补法是解决本题的关键，属基础题9. 【答案】 A 【解析】解： f（-x）=sin（-x）ln|-x|=-sinxln|x|=-f（ x）， 函数 f（ x）为奇函数，函数 f（ x）的图象关于原点对称，故排除B， C，当 x+时， -1sinx1， ln|x| +

11、， f（x）单调性是增减交替出现的，故排除，D ，故选： A先根据函数的奇偶性，可排除 B，C，根据函数值的符号即可排除 D 本题考查了函数图象的识别，根据根据函数值的符号即可判断，属于基础题10. 【答案】 D【解析】【分析】 本题考查了等比数列的通项公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题由 a1（a2+a3）=6a1-9，化为： a12（q+q2）-6a1+9=0，当 q+q2=0 时，易知 q=-1，满足题意，当 q+q20，0， 解得 q 范围即可得出【解答】解： a1（ a2+a3） =6a1-9， a12（q+q2）-6a1+9=0， 当 q+q2=0 时，

12、易知 q=-1 ，满足题意， 当 q+q20， =36-36 （ q+ q2） 0，解得 q且 q0， q-1q 的最大值为故选： D 11. 【答案】 D【解析】解： f（x） =1+cos（4x+）+sin（4x+）=1+2sin（4x+）=1+2cos4x， 则A，B，C均正确， D错误故选： D 化简 f（ x） =1+2cos4x 后，根据函数的性质可得 本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，运算求解能力，属中档题12. 【答案】 A【解析】解：由（ x+xlnx）f'（x） f（x）， x（， +），得（ 1+lnx）f'（x）-f（ x） 0， 令，则

13、0故 g（ x）在（， +）递减；g（e）g（1），即 ? f（e）2f（1）故选： A令，可得 0可得 g（ x）在（， +）递减，即可求解 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法，考查了推理能力 与计算能力，属于难题13. 【答案】（ -， 1【解析】解：由 P 中 y=，0x1，得到 y1，即 P=（ 1，+）， 全集 U=R，?UP=（-，1故答案为：（ -，1求出 P 中 y的范围确定出 P，根据全集 U=R，求出 P 的补集即可 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键14. 【答案】 2【解析】解：因为 f（ 1）=0，f（x

14、）=arcsin（x-1）-cos（）在区间 0，2上单调递减且关于（ 1， 0）对称， 所以点 A为（1，0），P、Q 两点关于点 A对称，所以，所以（） =22=2，故答案为： 2先分别观察函数 y=arcsin （ x-1）和 y=cos（）会发现两个函数都在区间 0，2上单调递减且关于（ 1， 0）对 称，所以 f（x）=arcsin（x-1）-cos（）在区间 0，2上单调递减且关于 （ 1，0）对称，所以得到点 A（1，0）， 且 A 为 PQ 中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题本题主要考查三角函数与反三角函数的图象与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三 角

15、函数的单调性与对称性是解决本题的关键15.【答案】【解析】解： x2-（ a+2） x+2- a<0 且 a>02 x2-2x+2<a（x+1） 令 f（x）=x2-2x+2； g（x）=a（x+1） A= x|f（ x）< g（x）， xZ y=f（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线； 而 y=g（x）一次函数，图象是过一定点（ -1， 0）的动直线 又xZ，a>0数形结合，可得： 故答案为：（， 因为集合 A 中的条件是含参数的一元二次不等式，首先想到的是十 字相乘法，但此题行不通；应该把此不等式等价转化为f（x）< g（ x）的形式， 然后数形

16、结合来解答， 需要注意的是尽可能让其中一 个函数不含参数此题主要考查集合 A 的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题16. 【答案】 1，=（2，0），=（ -3， -2）与点 P （x+3）， 2+y2=1，【解析】 解：建立如图所示的直角坐标系， D（ -1， 1）， P（，） 所以 =（ +1， sin +）1 又， 所以， 则=， 其几何意义为过点 E 设直线方程为 y+2=k 点 P 的轨迹方程为 x 由直线与圆的位置关系有： 解得：， 即的最大值是 1， 故答案为： 1 由平面向量的坐标运算得：则 A（-1，-1），B（1，-1），D（-1，1），P（，

17、），所以 =（ +1， sin +）1， =（2，0），=（0，2），又，所以，则 =，其几何意义为过点 E（-3，-2）与点 P（ cos， sin ）的直线的斜率， 由点到直线的距离得：设直线方程为y+2= k（ x+3），点 P 的轨迹方程为 x2+y2=1，由点到直线的距离有：，解得：，即的最大值是 1，得解 本题考查了平面向量的坐标运算、直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属难度较大的题型17. 【答案】解：（ 1）由函数 f（x） =Acos（x+）的部分图象知， A=1 ， =-=， T=，f（ x）的最小正周期为 ；由 =2，且 x=时， f（） =1 ，2 × +

18、=，0解得 =-，f（x）的解析式为 f（x） =cos（2x-）；（2）函数 g（x）=f（ x）+sin2 x=cos （ 2x-） +sin2x=cos2x+sin2x=sin （2x+），当 x0，时， 2x+，sin（2x+）-，1， 函数 g（ x）在区间上的最大值为，最小值为【解析】 （ 1）由函数 f（ x） =Acos（ x+）的部分图象写出 A、T和 、的值，即可写出 f（ x）的解析式； （2）化函数 g（ x）为正弦型函数，求出 g（x）在区间上的最大和最小值 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题18. 【答案】解：（ ）设数列 an的公差为 d，数列 b

19、n的公比为 q， 由 b2+S2=10， a5-2b2=a3得，解得an=3+2 （ n-1） =2n+1 ，（ ）由 a1=3，an=2n+1 得 Sn= n（ n+2 ）， 则 n 为奇数， cn= ， n 为偶数， cn=2n-1T2n=（ c1+c3+c2n-1）+（c2+c4+ +c2n）【解析】（ I ）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（）由 a1=3，an=2n+1得 Sn=n（n+2）则 n为奇数， cn= “分组求和”，利用“裂项求和”、等比数 列的前 n 项和公式即可得出本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了

20、推 理能力与计算能力，属于中档题19. 【答案】解：（ 1） f（ x） =x2-4x+a+3 的函数图象开口向上，对称轴为x=2 ，f（x）在 -1 ，1上是减函数，函数 y=f（ x）在 -1 ， 1上存在零点，f（-1）f（1）0，即 a（ 8+a）0，解得： -8a0（ 2） a=3 时，f（x）=x2-4x+6，f（x）在 1，2上单调递减，在 2，4上单调递增，f（x）在 2，4上的最小值为 f（2）=2，最大值为 f（4）=6即 f（x）在 2，4上的值域为 2，6设 g（x）在 1，4上的值域为 M，对任意的 x11， 4，总存在 x21， 4，使得 g（x1）=f（ x2），

21、M? 2，6当 b=0 时， g（x） =5，即 M=5 ，符合题意，当 b>0时， g（ x）=bx+5-2b 在1，4上是增函数，M=5-b，5+2b，解得 0< b当 b<0时， g（ x）=bx+5-2b 在1，4上是减函数，M=5+2b，5-b， ，解得 -1b< 0 综上， b 的取值范围是【解析】（ 1）根据 f（x）在-1，1上单调递减且存在零点可得 f（-1）f（1）0，从而解出 a 的范围； （2）对 b 进行讨论，判断 g（ x）的单调性，分别求出 f（x）， g（ x）在 1， 4上的值域，令 g（ x）的值域 为 f（x）的值域的子集列出不等式

22、组得出b 的范围本题考查了二次函数的单调性判断，值域计算，零点的存在性定理，分类讨论思想，属于中档题20. 【答案】（ 1）证明： tanC=2> 0，C 为锐角，且 sinC=，cosC=过 A 做 AHBC，垂足为 H，则 CH=bcosC=，3sinA=2sinB，3a=2b，即 a=，H 是 BC 的中点，又 AHBC，AB=AC，ABC 为等腰三角形（ 2）解： AH=bsinC=，SABC =2 ，解得 b=3，BC=2，在BCD 中，由余弦定理得 cosC=，解得： CD=【解析】（ 1）过 A做 BC的垂线 AH，根据 C的大小可得 H 为 BC 的中点，从而得出 AB=

23、AC； （2）根据面积求出 BC，在 BCD 中根据余弦定理计算 CD本题考查了余弦定理，三角形中的几何计算，属于中档题21. 【答案】解：（ 1）函数 f（x）=（ x-a-1）ex+ax 的定义域为 R，f（ x）=（x-a）ex-x+a=（x-a）（ ex-1）令 f（ x） =0，可得 x=a，或 x=0， 当 a<0时，x（-，a）（0，+），f（x）>0，x（a，0），f（ x）<0函数 f（ x）在（ -，a），（ 0，+）上递增，在（ a， 0）递减； 当 a=0时， f（ x） 0恒成立， 函数 f（ x）在（ -，+）上递增； 当 a>0时，x（-，0）（a，+），f（x）>0，x（0，a），f（ x）<0函数 f（ x）在（ -，0），（ a，+）上递增，在（ 0， a）递减；（2）设 g（ x） =x-ex， g（ x） =1- ex 在1，2，g（ x） 0恒成立， g（x）单调递减， g（x）g（1）=1-e<0 可得 f（x0）< 0? （x0-a-1） e-+ax0<0? a（ x0-e） +e-? x01， 2