时间序列平滑预测法

1、时间序列平滑预测法第一节移动平均法又称滑动平均法一. 一次移动平均法假定随时间顺序t=i2，n发生变化的u知 数据.设为n=20,则为y2, j20将其分为若干段，以5个数据作为一段，进行滑动。第一段：片 y2, ys, y ys：, m=(l/5) e yt 二 m5右于在此段，园为数据平均值，所有数据应在它 上下波动。因此推出，可以用于预测t二型的值岡 ye的实际值还按前一组值的变化规律诵的上下波第二段：滑动舍去初始的yi,新一组为y2 $3 $4 $5 $6 := (1/5) e yt 二 m6»n 一冇y7 = y6 二 m6第十六段：yi6 $17 $18 $19 $20

2、: y2o = (1/5) e yt = m20 a 可预测 021 = y20 二 m20平均值一般地：mt(1) =yt + yt-i+ yt.n+1/n =(1/n) 这个公式就称为一次移动平均公式。2004/10/18递推式 m<» =yt + yt-i+ yt.n+1/n=yt-i+yt-n"n + ytyt-n/n=mj + yt一yt-n /n =移动平均法基本上是在平均值的基础上进 行预测。一般来讲，若经济变臺在某一值上下 波动情况及升降缓慢预测效果比较好，反之误 差比较大.另外，n的选取也起着较大的作用，n小 一些，预测跟踪效果好一些。反映较灵敏。特

3、别 地当n=l,则与实际状况相同。|n大一些，平滑特性就好一些，但跟踪能力 差。二、二次移动平均法1、二次移动平均数公於、二次移动平均是在一次平均移动的基础 上再做一次移动平均。m® =mt + mj1）m“+1 /n 递推公式mt二mt+mt（dmt-n/n mt为二次移动平均数n 分段数据个数ml）一次移动平均数2、线形趋势条件下的一次移动平均数mt 与二次移动平均数叫的关系一次移动平均预测对于数据变化小，近似 于水平变化的数据平滑作用较好。'线形变化如下:有：如果是线形趋势变化，则分析线落后于真 实数据变化，形成滞后偏差yt mtbt= ytyt-iyt-i=ytbtv

4、t yt<= yt-ibtytabtyt-n+i = yt(nl)bt t-1 t考虑到：mt二(yt + yt-1 冬. +yt-n+l)/n=nyt- l+2+x(n-1)bt/n1+2+(n-l)二n(n-l)/2 mw 二nyt-(n/2)(n-l)bt/n=yt(nl)bt/2 mt-l(1)= yt-l-(n-l)bt/2二 yt-(n+l)bt/2 -： mt-mt-1 二 yt yt-1 二 bt即；mt-1 二 -bt类推：mt-2(1)二 mt-l(1) -bt 二 mn -2bt '、 m,+i二 mj】 -(n-l)bt mt二mj +mt-1 <1

5、)+.'x+mt_n+,<1)/n二 mn (nl)bt/2、移项 m/h -mt二(nl)bt/2 有公式(nl)bt/2 二 yt mj即得 m/h -mt二 yt m<二(nl)bt/2. 公式说明：直接用一次移动平均值模拟：真值与一次平均值存 在n l)bt/2的滞后偏差。即公式1在线性趋势条件下:mwmt二(n-l)bt/2此式表明若直接用mt作预测值，滞后偏差将拉大为 (n-l) bt三、二次移动平均法预测公式在线性趋势条件下，回到思维基础，用线性函数拟合假定:=at + btt其中t为目前周期数t为从目前周期t到需要预测的周期的周期个数。 yt+t为第t+t周

6、期的预测值 bt为斜率，at为截距若：令t=0?得yt二at为初始值i 1由于当前数据为人，有負心yt故选取at yt由公式m# -mt二yt _ mw= （n-l）bt/2代入at= yt得at=2mt（h - mf）、.bt =2叫（1 -mt/（n-l）. 公式，（7）构成二次移动平舟法预 测公式。注：1）预测公式是以t时刻为基准的，这个 时刻可以随意选取，当选择靠近当前时刻，准 确度较高；'2 v yt+t mt(1> 二 at + btt mt(1>二2 mn -mg 叫 + btt二 m/imt(2)+ btt = (n-l)bt/2 +btt即与一次移动平均法

7、相比较，滞后偏差(n-l)/2 已补偿。3mw.mt对应的n应一致，且二次移动值mt不 是预测值4. 二次移动平均法预测公式仅适合于线性趋势预 测。不断的丢失信息，且n的大小一般由经验及前 期趋势确定。简例：已知某产品销量统计数据以线形趋 势变动，当处在第20期时，mt=74,mt二 68,n= 5,预测在5个周期之后的销量解：由已知：mt(h = 74，mt(2 = 6& n=5a xt+t = at+ bt t at=2mt一mt二 80 = xt bt =2/(nl)mt 一 mt =3 预测模型：xt+t= 80 + 3t当t = 5时移动平均法应用举例期，股市中的移动奉均進一

8、、道。琼斯的理论：美华尔'鹫日报创办人 股价运动的三种趋势1、原始波动（primary trends） bull market and bear market股价波动的长期上升（多头市场）和长期 下降（空头市环）是大市波动的基本趋势，基本趋势 一旦形成，通常要延续14年；2、次级波动股价在长期的上升通道中快速下跌，或在长期'下 降通道中急速上升，次及波动方向与原始波动方向相 反，是对原始波动的修正，一般的原始波动均有二至 三个次及波动；次及波动时间为3周数目可不等；3、短期波动(minor trends) 股价在分时或数日内进存快速波动4、次级波动的振幅约为原始波动巾再度的 1

9、/3；次级波动一般由3个或3个以上短期波动 组成；5、次级波动下跌，若谷底上次波动谷底, 确定为长期上升通道；若谷底低于上次波动谷 底，确定为长期下降通道一、移动平均线种类1、 m,m(5),m(10)短期移动平，均线 以5,10日移动平均线较合理2、m(20),m(30),m(60)中期移动平均线、3、m(120)以上为长期移动平均线，对中国股市当前实用意义不大。西方重m(200) o二. 移动平均线的转点、指移动平均线由下行转为上升的最低点或由上升 转为下行的最高点因为移动平均数的取得是要扣减xtn即第t-n日的 股价或指数，在一个上升通道中，上升的速度应保持， 不能转缓甚至下降它的转点为

10、扣减的若是最低价，就是 上升趋势的转点，随时可能由升转跌；反之，在下降过 程中，扣减的是最高值，则随时可能反转由跌转升。短期移动平均转点较多，适合于短线抄手中，长期线转点较为重要，这是中期转势甚至长期 转势的信号三、葛兰维八大买卖法则 买进四大法则1. ma由转平并开始抬头向上，且股价突破ma;2. 股价在ma上方运行，回档未破ma股价再次/;3. ma呈上升状态，股价急速下跌破ma线时；4. ma下降状态股价在ma下方运行,突魅下跌远离 ma线时；卖出法则5. ma由/转平并开始向下，且股价突破ma线z下；6. 股价在ma下方运行，上升时遇ma所阻，再次回黑；7. ma呈下降状态,股价上升突

11、破ma又回落至ma线下方；8. ma呈上升状态,股价在ma上方突然暴涨远离ma四:黄金交叉与死亡交叉由移动平均线原理，对股价趋势变动反应最 快的是短期线，其次是中期线,然后是长期线30日ma与60日ma是判别中期市场的主 要线,若股价跌破此二线为中期调整开始，应出 脱持股.97.5.16 深:ma(5) = 5630 i ma(10) =5689 ima(30) =5090 f ma(60) =4561 f 沪：ma(5) = 1415 i ma( 10) =1437 1ma(30) = 1362 t ma(60) =1239 f第二节指数平滑法一、一次指数平滑法1、一次指数平滑公式，由一次平

12、滑公式的递推 公式m® 二 mtl + yt-yt-1 /n其中 mt 二 yt =yt + yt-1 + yt-n+l/n假定ytn m_即用前一期的移动平均值代替 前期的初始值有my = mtl(d + yt-mt-1 /n二(1/n) yt + (l-l/n) mrl 二勺 t+1令 a 二 1/n，aw(o,l)及st'm”a贝list二 ayt+( 1 a)二 yt+i 、其中a称为平滑系数这个公式称为一次指数平滑公式.300t2、举例某日用电器销售额如表预测12月份的销售量：月 123456789101112200 135 195 197.5 310 175 15

13、5130 220 277235销售额函数图 沁、2001301000填于表中a二0. 1时200193.5193.7194205.620.6197.8191193202.3205.6a 二 0. 5 时200167.5181.3189.4249.7212.3183.7156.8188.4233234a 二 0. 9时200141.5189.7196.9298.7187.4158.2132.8211.3270.9238.6可见当 a = 0. 1 时，xi2= si=205.6 平 滑效果好前期数据影响大。、a = 0. 5时，x12二 si】= 234当a = 0. 9时，x12二sm二238

14、.6 平滑效 果差，后期数据影响大。可以看到：对于波动变化很大的情形；由 一次的指数平滑曲线来模拟误差很大而对振动 较小的情形，则比较合适。1）平滑系数 ae（o,l）当 a osy） sji）预测值接近原来估计值即前期预测敎据起主导 作用。当 a 1st yt预测值接近上一时刻的估计值。后期实际数据起 主导作用，前期预测值作用很小。(2004/10/25)2) 指数平滑由 s/1)=ayt + (l-a)st-l<u递推 st-1 =ayt-i + (1 a)st-2q)将s“代入s公式中，且不断代入st=ayt + (1 a)ayt-i + (1 a) st.2(1)=ayt + a

15、(l a) vt-i + (1a) s)=ayt + a( 1 a) yt-i + (1 a) s0(lt)2jl=o(1-a) /-k + (l-a)s()u)其中s。为初始估计值讨论：a）考虑右边第二项，（1 cx）§o（i）j 0<a<l 即有0<l-a<l初始数据加权值为（1-a） so。这蠱初始值对预 测值的影响大小.t若t>>0,实际数据若t>50,贝ij （1-a ） - 0贝dy-ayso- o可略去，也就是初始数据的影响可不 考虑。若tv 50, 般的可选择最初几个原始数据的平 均值代s0b) 考虑公式右边第一项(1 a)k

16、 xt-k 为除so(l)外其他所有已知的数据的平滑值，即影响大小权数为：a(la)a(la)a( 1 a) 2 a( 1 a)这是一个公比为1q « 1）的递减指数级数（或 儿何级数）、即原始数据平滑按照指数平滑规律加权构成，数 据越原始，被平滑的部分也越多。即对预测值影响越 小，皮之影响舷大。c）由公式可知所有原始数据均参与预测 值的构成。即预测结果包含所有的已須值息量. 这些量的大小取决于平滑系数a的大小。d) 指数平滑的平滑能力(修匀能力) 设数据序列为常数趋势序列:、yt = a +r| t其中a为常数,fl t可视做实际值与a的補養,此为 随机项，应有厂2ef| t =

17、0 且df| t = o t对数据指数平滑st(1) = a(la) vt-k+ (1 a) s°当 t f oo?(l_a)t so_o贝st(l) = a(l a) yi、=a(l a) (am- f| t-k)=aa(la) + a(l a) f| t-k k=aa/l(1 a) + ay(l a)f| t-kk 取数学期望est(l) =a + a(l-a) e|v| t-k =a 即 est(l) = eyj = a考虑均方误差：二 a£(la) = a£(l-a)dst(i) = da£(l a) rdn t-k 2k 9 a 一二 apl/

18、a(2a) -a=a/(2-a) -o 2 < a 2即是说：指数平滑使原始数据集中程度提 高，滤除了一些随机误差，使预测值向均值方向 集中，对原始数据产生了平滑效果e) 平滑能力体现取决于i) a x dst(l) x 平滑能力增强 这种情况适用于不规则起伏，但在某个值 上下波动的时间序列，经验选取0.050.2ii) a z,dst(l)z平滑能力减弱这种情况适用于趋势变化明显的时间序列使跟踪灵嵌度提咼。经醞0.3-0.6iii) 对于变化不太大的时间序列，a取0. 1-0. 4以便于使早期信息充分反映到预测值 中。3) .指数平滑预测不断修正误差：二 st(1) = ayt+(l

19、a) '、=stj)+ayts"即下期预测值二本期预测值+q 本期预测误畫*©係统 |"4为负反馈自动控制系统,有一定的自适应能力o2、二次指数平滑二次,三次乃至高次指数平滑是多项式模 型中利用指数平滑进行模拟而得出的。利用台 劳公式和卷积公式定理以求岀多项式参数.证明即定理详见预测与决策方法1)预测公式:假定数据趋向为线性趋势'=3t +btt2) 预测参数公式第一次平滑 st=ayt + (l-a) su(1)第二次平滑 st =ast<1)+ (1 a)st_i(2)且&二2 一stbt= a/(l-a)st _ st 预测公式

20、即为a yt+i = at +bttstt=2 st(d st + a/ (l-a) st(1) 一注:公式推导参考（日）春日井博v实用预测入门 郭明哲v预测方法二次指数平滑仅适用与线性趋势型.3. 三次指数平滑:假定已知数据呈二次曲线 趋势、1）预测公式' yt+t = at +btt +ctt22）平滑公式s（*二 oyt + （la）st-l s（2）t=ast（i）+ （la）st_i（2）再进行一次平滑st =ast + （1a）st-l 3) 参数公式at =3 st一3 sf)+ st bt=a/2(l-a)2(6-5a ) stx-2(5-4a )s® +(4

21、-3a 0ct = a/2(l -a)23 s/1)3st + st<3)4) 初始值计算二次,三次指数平滑预测均涉及初始值的 问题,书上介绍的为i)数据少时,取最初几个数据的均值为初 始值ii)数据多时，以第一期原始数据为初始值.指数平滑应用一-指数平滑异同移动平均线macd(moving average convergence and divergence)美 gerald apple和 w fredrick hitsckler与 1979年提岀.作用:运用快，慢速移动平均线,加以双重平滑 运算,研判买入和卖出时机，克服移动平均线易出现 假信号的缺陷，是研判中期走势和盘整转势的重要 扌旨*示.1平滑系数a (n)二 2/(n + 1)若n =120,§卩 a (12)二 2/13 二 0. 1538n 二 26 日，艮p a (26)二 2/27 二 0. 07412. 指数平滑值:(ema)st(12)=a (12).今日收盘价xt+la (12)- st