第八章 时间序列分析和预测

1、 统计学讲义 第八章第八章 时间序列分析教学目的与要求：运用动态数列计算出各种指标进行统计分析在实际中应用非常广泛。通过本章的学习，要求明确动态数列的概念、种类和编制原则；掌握动态数列各种水平指标、速度指标的计算方法及应用；熟悉动态数列变动的分析方法及季节变动分析的意义和计算方法。教学重点与难点：重点为动态数列的种类和特点；序时平均数和平均发展速度的计算；长期趋势测定的最小二乘法；季节变动测定的方法。难点是序时平均数的计算和长期趋势的测定。时间序列分析是一种广泛应用的数量分析方法，它主要用于描述和探索现象随时间发生变化的数量规律性。时间序列分析就其发展的历史阶段和所使用的统计分析方法来看，有传

2、统的时间序列分析和现代时间序列分析。本章主要介绍传统的时间序列分析方法，内容包括时间序列数据的统计描述、预测和时间序列分解分析等。第一节 时间序列及其分解一、时间序列的概念概念：是同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列。两个形式因素：现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值。时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式。本书用t表示所观察的时间、Y表示观察值，则为时间上的观察值。二、时间序列的分类1. 平稳序列与非平稳序列平稳序列是基本上不存在趋势的序列。这类序列中的各观察值基本上在某个固定的水平上波动，虽然在不同的时间段波动的程度不同，但并不存在某种规律，而其波动可以看出是随机的。非

3、平稳序列是包含趋势性、季节性或周期性的序列。可能只包含其中的一种成分，也可能是几种成分的组合，因此非平稳时间序列又可以分为有趋势的序列，有趋势、季节性和周期性的序列，即复合型序列。2. 绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列（1）绝对数时间序列：由一系列绝对数按时间顺序排列而成的序列。它是时间序列中最基本的表现形式，用于反映现象在不同时间上所达到的绝对水平。根据观察值所属的时间状况不同，分为：时期序列和时点序列。如国内生产总值序列就是时期序列，时期序列中的观察值反映现象在一段时期内的活动总量，并且各观察值可以直接相加，用于反映现象在更长一段时期内的活动总量；如年末总人口属于时点序列，时

4、点序列中的观察值反映现象在某一瞬间时点上的总量，它是在某一时点上统计得到的，序列中的各观察值通常不能相加。（2）相对数时间序列：由一系列相对数按时间顺序排列而成的序列。如人口自然增长率序列。（3）平均数时间序列：由一系列平均数按时间顺序排列而成的序列。如居民平均消费水平序列。三、时间序列的分解1. 时间序列的构成要素T趋势：指时间序列在长时间内呈现出某种持续向上或持续向下的状态或规律，是由于某种固定性的因素作用于序列而形成的，包括线性趋势和非线性趋势。S季节性（季节变动）：指时间序列在一年内重复出现的周期性波动。如“销售旺季”或“销售淡季”。季节性中的“季节”一词是广义的，它不仅指一年中的四季

5、，是指任何一种周期性的变化。C周期性（循环波动）：是时间序列中呈现出来的围绕长期趋势的一种波浪型或振荡式变动。它不同于趋势变动，不是朝着单一方向的持续运动，而是涨落相间的交替波动；它也不同于季节变动，季节变动有比较固定的规律，且变动周期大多为一年，而循环波动则无固定规律，变动周期多在一年以上，且周期长短不一。I不规则波动（随机性）：除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动。2. 分解模型乘法模型：Yi=Ti×Si×Ci×Ii加法模型：Yi=Ti+Si+Ci+Ii 当四个因素对序列具有相互影响时，使用乘法模型；当四个因素序列的影响相互独立时，用加法模型。本章以乘法模

6、型为基础。第二节 时间序列的描述性分析一、图形描述对时间序列进行分析时，先作图，然后通过图形观察数据随时间的变化模式及变化趋势，作图是观察时间序列形态的一种有效方法。见P360图13-1。二、时间序列的水平分析（一）发展水平与平均发展水平在时间序列中，用表示现象所属的时间，表示现象在不同时间上的观察值。也称为现象在时间上的发展水平，它表示现象在某一时间上所达到的一种数量状态。若观察的时间范围为，相应的观察值表示为，其中称为最初发展水平，为最末发展水平。若将整个观察时期内的各观察值与某个特定时期做比较时，时间可表示为，相应的观察值表示为，其中称为基期水平，为报告期水平。平均发展水平是现象在时间上

7、取值的平均数，又称为序时平均数，它可以概括性地描述出现象在一段时期内所达到的一般水平。在证券市场上，对股票价格或股票价格指数的分析常用到序时平均数。由于不同时间序列中观察值的表现形式不同，序时平均数有不同的计算方法：1. 绝对数时间序列的序时平均数绝对数时间序列序时平均数的计算方法是最基本的，它是计算相对数或平均数时间序列序时平均数的基础。由于绝对数时间序列有时期序列和时点序列之分，序时平均数的计算方法也有所区别。（1） 时期序列的序时平均数，计算公式为：例题：根据表中的国内生产总值序列，计算各年度的平均国内生产总值。解：表6- 1 国内生产总值等时间序列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万

8、人)人口自然增长率()居民消费水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.8114333115823117171118517119850121121122389123626124810 14.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.538038961070133117812311272629443094（2）时点序列的序时平均数时点序列有的是按日统计，如职工出勤人数统计；有的是按月末、季末、年末统

9、计的。不同的统计资料，计算方法就不相同。A 连续型时点序列如果时点序列资料是逐日登记，而又按日顺序排列的，则可以看出是连续型时点序列。间隔期有相等和不相等两种情况。若时点序列中各指标在同一时间单位内连续统计，然后逐日排列，则为间隔期相等的连续型时点序列，这时可以用简单算术平均法计算平均发展水平。如：已知某企业某月内每天职工出勤人数按日顺序排列，要计算某月平均每天职工出勤人数，可将每天职工出勤人数相加，再除以该月的制度工作日数。若时点序列中各指标值每次变动有一定的间隔长度，则可用时间间隔长度为权数采用加权算术平均法计算平均发展水平。如，某企业职工再册人数变动资料如下表：日期（日）13489141

10、519202627282931在册人数（人）158150148156160162165则给企业该月职工日平均在册人数为：B 间断型时点序列通常，对时点指标的统计，采用下面两种方法：一种是每隔一定的时间登记一次，且每次登记的间隔相等；另一种是每隔一定时间登记，每次登记的时间间隔不相等，这种时点序列就是间断性时点序列。时点序列中的各观察值是在某个瞬间时点上取得的，由于各观察点的时间间隔长度有所不同，序时平均数通常采用不同的计算方法。间隔不相等的序时平均数的计算方法：先求出两个相邻观察值的平均数，然后由此求出整个观察期的观察值总量，最后再根据这一总量求得平均数。基本公式为：间隔相等的序时平均数的计算

11、方法：当间隔相等(T1 = T2= = Tn-1)时，有例题：设某种股票1999年各统计时点的收盘价如表6-2，计算该股票1999年的年平均价格：表11- 2 某种股票1999年各统计时点的收盘价统计时点1月1日3月1日7月1日10月1日12月31日收盘价(元)15.214.217.616.315.8解：例题：根据表6-1中年末总人口序列，计算19911998年间的年平均人口数。2. 相对数或平均数时间序列的序时平均数相对数或平均数通常是由两个绝对数对比形成的，即观察值，计算序时平均数时，应先分别求出构成相对数或平均数的分子ai和分母 bi 的平均数，而后再进行对比，即得相对数或平均数序列的序

12、时平均数。基本公式为：例题：已知19941998年我国的国内生产总值及构成数据如表6-3。计算19941998年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重。表11- 3 我国国内生产总值及其构成数据年 份19941995199619971998国内生产总值(亿元)其中第三产业(亿元) 比重(%)46759.414930.031.958478.117947.230.767884.620427.530.174772.424033.332.179552.826104.332.8解：第三产业国内生产总值的平均数全部国内生产总值的平均数第三产业国内生产总值所占平均比重（二）增长量与平均增长量

13、增长量是时间序列中的报告期水平与基期水平之差，用于描述现象在观察期内增长的绝对数量。若二者之差为正数，表示增长；若为负数，则表示下降。由于采用的基期不同，增长量有逐期增长量和累积增长量之分。逐期增长量是报告期水平与前一时期水平之差，表示本期比前一期增长的绝对数量；累积增长量是报告期水平与某一固定时期水平之差，说明报告期与某一固定时期相比增长的绝对数量。设时间序列的观察值为，增长量为，逐期增长量：累积增长量：整个观察期内各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量。平均增长量是观察期各逐期增长量的平均数，用于描述现象在观察期内平均增长的数量，公式为：三、时间序列的速度分析（一）发展速度与增长速度1.

14、发展速度发展速度是报告期发展水平与基期发展水平之比，用于描述现象在观察期内相对的发展变化程度。有环比发展速度和定期发展速度之分：环比发展速度：定基发展速度：环比发展速度与定基发展速度之间的关系是：（1）观察期内各环比发展速度的连乘积等于最末期的定基发展速度：（2）两个相邻的定基发展速度，用后者除以前者，等于相应的环比发展速度：2. 增长速度 “增长率”是增长量与基期水平之比，用于描述现象的相对增长程度。它可以根据增长量求得，也可以根据发展速度求得，计算公式为：由于采用的基期不同，增长速度也可以分为环比增长速度和定基增长速度。环比增长速度：定基增长速度：环比增长速度与定基增长速度之间没有直接的换

15、算关系。在由环比增长速度推算定基增长速度时，可先将各环比增长速度加1后连乘，再将结果减1，即得定基增长速度。（二）平均发展速度与平均增长速度平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，用于描述现象在整个观测期内平均发展变化的程度。平均增长速度（平均增长率）则是用于描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度，通常用平均发展速度减1求得。计算平均发展速度的常用方法是水平法，又称为几何平均法，是根据各期的环比发展速度采用几何平均法计算出来的：平均增长速度计算平均发展速度应用几何法的特点：1. 从最初水平Y0出发，每期按平均发展速度发展，经过n期后将达到最末期水平Yn2. 按平均发展速度推算的最后一期的

16、数值与最后一期的实际观察值一致3. 只与序列的最初观察值Y0和最末观察值Yn有关4. 如果关心现象在最后一期应达到的水平，采用水平法计算平均发展速度比较合适（三）年度化增长率增长率或平均增长率可按年度数据计算，称为年增长率；也可以根据月份数据或季度数据计算，称为月增长率或季增长率。如果所观察的时间跨度多于1年或少于1年时，那么用年增长率进行比较就显得很有用了；也就是将月或季增长率换算成年增长率，从而使各增长率具有相同的比较基础。当增长率以年来表示时，称为年度化增长率或年率，计算公式为：§ m 为一年中的时期个数；n 为所跨的时期总数§ 季度增长率被年度化时，m 4 

17、7; 月增长率被年度化时，m 12§ 当m n 时，上述公式就是年增长率四、速度的分析与应用1. 当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度2. 在有些情况下，不能单纯就速度论速度，要注意速度与绝对水平的结合分析增长1绝对值表示速度每增长一个百分点而增加的绝对数量，计算公式为：第三节 平稳序列的平滑和预测时间序列分析的一项重要内容就是根据过去已有的数据来预测未来的结果，利用时间序列数据进行预测时，通常假定过去的变化趋势去延续到未来，这样就可以根据过去已有的形态或模式进行预测。时间序列的预测方法既有传统方法，也有较为精确的现代方法。本节介绍传统的预测方法，包括简单平均法、移动平均

18、法和一次指数平滑法。这些方法主要是通过对时间序列进行平滑以消除其随机波动，因而也称为平滑法。平滑法既可用于对时间序列进行平滑以描述序列的趋势，也可以用于对平稳时间序列进行短期预测。一、简单平均法简单平均法是根据过去已有的t期观察值来预测下一期数值的一种预测方法。设时间序列已有的t期观察值为 Y1、Y2、 、Yt，则t+1期的预测值Ft+1为：有了t+1的实际值，便可计算出的预测误差为：t+2期的预测值为：简单平均法的特点：1. 适合对较为平稳的时间序列进行预测，即当时间序列没有趋势时，用该方法比较好2. 如果时间序列有趋势或有季节变动时，该方法的预测不够准确3. 将远期的数值和近期的数值看作对

19、未来同等重要，从预测角度看，近期的数值要比远期的数值对为来有更大的作用。因此简单平均法预测的结果不够准确 二、移动平均法移动平均法是对简单平均法的一种改进方法。它是通过对时间序列逐期递移求得一系列平均数作为趋势值或预测值。其方法有简单移动平均法和加权移动平均法两种。（一）简单移动平均法将最近k的其数据加以平均作为下一期的预测值，设移动间隔为 K(1<k<t)，则t期的移动平均值为：t+1期的简单移动平均预测值为为评价预测的效果或准确性，可计算均方误差，特点：（1） 只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k；（2）主要适合对较为平稳的时间序列进行预测；（3）应用时

20、，关键是确定合理的移动间隔长，对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的；选择移动步长时，可通过试验的办法，选择一个使均方误差达到最小的移动步长。例题见P367例13.6。（二）加权移动平均在简单移动平均公式中，每期数据在平均中的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量并不一样，近期数据包含更多关于未来情况的信息。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，这就是加权移动平均法的基本思想。当时间序列的波动较大时，最近期的观察值应赋予最大的权数，较远的时期的观察值赋予的权数依次递减；当时间序列的波动不是很大时，对各期的观察值应赋予近似相等的权数所选择的各期的权

21、数之和必须等于1。对移动间隔(步长)和权数的选择，也应以预测精度来评定，即用均方误差来测度预测精度，选择一个均方误差最小的移动间隔和权数的组合。设时间序列为：，加权移动平均公式为：式中：为t期加权移动平均数；为yt-i+1的权数，它体现了相应的y在加权平均数中的重要性。利用加权移动平均数来作预测，其预测公式为： 即以第t期加权移动平均数作为第t+1期的预测值。在加权移动平均法中，的选择同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，完全靠预测者对序列作全面的了解和分析而定。二、指数平滑法指数平滑法是对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法

22、，是加权平均的一种特殊形式，观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降。指数平滑法有一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。一次指数平滑法也称单一指数平滑，它只有一个平滑系数，而且当观察值离预测时期越久远时，权数变得越小。预测模型：式中：Yt为t期的实际观察值； Ft 为t期的预测值；a为平滑系数 (0 <a<1)在开始计算时，没有第1个时期的预测值F1，通常可以设F1等于1期的实际观察值，即F1=Y1，则第2期的预测值为第3期的预测值为预测精度，用均方误差来衡量本期预测值（上期实测值）+（1）（上期预测值） 上期预测值+（上期预测误差）在指数平滑中，加权系数的选择是很重

23、要的。的大小决定了在新预测值中新数据和原预测值所占的比重，越大，新数据所占的比重越大，原预测值所占的比重越小。且的大小也体现了修正的幅度，越大，修正幅度越大。因此，值既代表预测模型对时间序列数据变化的反映速度，同时又决定预测模型修匀误差的能力。遵循原则：（1）如果时间序列波动不大，比较平稳，则应取小一点，0.10.3，以减少修正幅度。（2）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则应取大一点，0.60.8，使预测模型灵敏度高些，以便迅速跟上数据的变化。在实际中，多取几个值进行试算，看哪个预测误差小，就采用哪个。第四节 有趋势序列的分析和预测上面介绍的平滑法都可以用于描述时间序列的趋势，包括线性趋

24、势和非线性趋势。当用这些方法进行预测时，要注意他们一般只适合于平稳时间序列。当序列存在明显的趋势时，这些方法就不再适用，就应采用趋势外推预测。时间序列的趋势可以分为线性趋势和非线性趋势两大类。一、线性趋势分析和预测线性趋势是指随着时间的推移而呈现出稳定增长和下降的线性变化规律。线性趋势方程为：式中：时间序列的趋势值；t 时间标号； a趋势线在Y 轴上的截距； b趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个单位时观察值的平均变动数量 b>0 b<0 线性预测模型的特点：一阶差分为常数。因此当时间序列的一阶差分近似为一常数时，其散点图呈直线趋势时，可配合直线预测模型来预测。趋势方程中的两个未知参数a和b可按最小二乘法求得。最小根据极值原理，为使Q具有最小值，则对a和b分别求偏导数，并令其等于0，即整理得方程组：对