直线的方程考点综合

1、1the distance between dream and reality is called ACTION梦想与现实的距离叫做行动。直线的方程一、知识回顾1直线的倾斜角(1)定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角 当直线与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0(2)倾斜角的范围为0，)2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即tank，倾斜角是 90的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为ky2y1x2x1y1y2x1x2

2、.3直线方程名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为 kyy0k(xx0)不含垂直于 x 轴的直线斜截式斜率为 k， 纵截距为 bykxb不含垂直于 x 轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2，y1y2)yy1y2y1xx1x2x1不包括垂直于坐标轴的直线截距式在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 a，b(a，b0)xayb1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A，B 不全为 0)2the distance between dream and reality is called ACTION梦想与现实的距离叫做行动。4.线段的中点坐标公式若点

3、P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2的中点 M 的坐标为(x，y)，则xx1x22，yy1y22，此公式为线段 P1P2的中点坐标公式5.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线 l1，l2，斜率分别为 k1，k2平行k1k2k1与 k2都不存在垂直k1k21k1与 k2一个为零、另一个不存在6.两条直线的交点7三种距离点点距点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|（x2x1）2（y2y1）2点线距点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离d|Ax0By0C|A2B2线线距两条平行线 AxB

4、yC10 与 AxByC20 间的距离d|C1C2|A2B2知识拓展1一般地，与直线 AxByC0 平行的直线方程可设为 AxBym0；与之垂直的直线方程可设为 BxAyn0.2过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R)，但不包括 l2.3the distance between dream and reality is called ACTION梦想与现实的距离叫做行动。二、考点探究考点 1：直线的倾斜角和斜率【例 1】(1)直线 xcos 3y20 的倾斜角的范围是()A.6，2 2，56B.0，6

5、56，C.0，56D.6，56(2)直线 2xcos y30 6，3的倾斜角的变化范围是()A.6，3B.4，3C.4，2D.4，23思维升华：(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：求出斜率 ktan的取值范围利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围求倾斜角时要注意斜率是否存在(2)斜率的求法定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据 ktan求斜率公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)求斜率【过关斩将 1】 （1）若直线 l 的斜率为 k，倾斜角为，且6，4 23，则 k 的取值范围是_（2）经过

6、P(0，1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角的取值范围分别为_，_.4the distance between dream and reality is called ACTION梦想与现实的距离叫做行动。考点 2：求直线的方程【例 2】根据所给条件求直线的方程：(1) 直线经过点 A(2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，（2）直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.【过关斩将 2】如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30

7、角，过点 P(1，0)作直线 AB 分别交OA，OB 于 A，B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y12x 上时，则直线 AB 的方程为_5the distance between dream and reality is called ACTION梦想与现实的距离叫做行动。考点 3：直线方程的综合问题【例 3】直线 l 过点 P(1，4)，分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A，B 两点(1)当|PA|PB|最小时，求 l 的方程；(2)当|OA|OB|最小时，求 l 的方程【过关斩将 3】已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点

8、，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线 l 的方程6the distance between dream and reality is called ACTION梦想与现实的距离叫做行动。考点 4：两条直线平行与垂直【例 4】已知两条直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值(1)l1l2，且 l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等思维升华：两直线平行、垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直两直线的斜率之积等于1.提醒当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的

9、情况(2)已知两直线的一般方程两直线方程 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 中系数 A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：A1A2B1B20l1l2；A1B2A2B10 且 A1C2A2C10l1l2.【过关斩将 4】已知两直线 l1：xysin10 和 l2：2xsiny10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.7the distance between dream and reality is called ACTION梦想与现实的距离叫做行动。考点 5：两条直线的交点【例 5】求经过直线 l1：3x2y10 和 l2：5x2y10 的交点，且垂

10、直于直线 l3：3x5y60 的直线 l 的方程【过关斩将 5】 直线 l 过点 P(1， 2)且到点 A(2， 3)和点 B(4， 5)的距离相等， 则直线 l 的方程为_考点 6：距离公式【例 6】直线 l 经过点 P(2，5)且与点 A(3，2)和点 B(1，6)的距离之比为 12，求直线 l 的方程8the distance between dream and reality is called ACTION梦想与现实的距离叫做行动。【过关斩将 6】 已知 A(4，3)，B(2，1)和直线 l： 4x3y20，在坐标平面内求一点 P，使|PA|PB|，且点 P 到直线 l 的距离为 2

11、.考点 7：对称问题【例 7】已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)求：(1) 点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2) 直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程；9the distance between dream and reality is called ACTION梦想与现实的距离叫做行动。(3)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程思维提升：中心对称问题的处理方法：若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x2ax1，y2by1.直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出

12、它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程(2)关于轴对称问题的处理方法：点关于直线的对称若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：AxByC0 对称，则线段 P1P2的中点在 l 上，而且连接P1P2的直线垂直于 l，由方程组A（x1x22）B（y1y22）C0，y2y1x2x1 （AB）1，可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标(x2，y2)(其中 B0，x1x2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行【过关

13、斩将 7】在等腰直角三角形 ABC 中，ABAC4，点 P 是边 AB 上异于 A，B 的10the distance between dream and reality is called ACTION梦想与现实的距离叫做行动。一点，光线从点 P 出发，经 BC，CA 发射后又回到原点 P(如图)若光线 QR 经过ABC 的重心，则 AP 等于()A2B1C.83D.43课后练习题（1）1已知函数 f(x)ax(a0 且 a1)，当 x0 时，f(x)1，方程 yax1a表示的直线是()2直线 x2yb0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值范围是()A2，2B(，22

14、，)C2，0)(0，2D(，)3若点(m，n)在直线 4x3y100 上，则 m2n2的最小值是()A2B2 2C4D2 34若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10 表示一条直线，则参数 m 满足的条件是()Am32Bm0Cm0 且 m1Dm15过点 P(2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直线共有()A1 条B2 条C3 条D4 条6直线 l 经过点 A(1，2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是_7直线 l：ax(a1)y20 的倾斜角大于 45，则 a 的取值范围是_11the distance between dream and reali

15、ty is called ACTION梦想与现实的距离叫做行动。8. 已知直线 l 过点 P(0，1)，且与直线 l1：x3y100 和 l2：2xy80 分别交于点 A，B(如图)若线段 AB 被点 P 平分，求直线 l 的方程9经过 P(0，1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角的取值范围分别为_，_课后练习题（2）1直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30Dx2y302若向量 a(k2，1)与向量 b(b，1)共线，则直线 ykxb 必经过定点()A(1，2)B(1

16、，2)C(1，2)D(1，2)3若动点 A，B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为()A3 2B2 2C3 3D4 24已知点 P(x0，y0)是直线 l：AxByC0 外一点，则方程 AxByC(Ax0By0C)0 表示()A过点 P 且与 l 垂直的直线B过点 P 且与 l 平行的直线C不过点 P 且与 l 垂直的直线D不过点 P 且与 l 平行的直线12the distance between dream and reality is called ACTION梦想与现实的距离叫做行动。5已知过点 P(2,2)的直线与圆(

17、x1)2y25 相切，且与直线 axy10 垂直，则 a 等于()A12B1C2D.126设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的取值范围是()A 5，2 5B 10，2 5C 10，4 5D2 5，4 57已知点 A(1，3)关于直线 ykxb 对称的点是 B(2，1)，则直线 ykxb 在 x 轴上的截距是_8已知平面上三条直线 x2y10，x10，xky0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数 k 的所有取值为_9将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则 mn_.10.如图，已知直线 l1l2，点 A 是 l1，l2之间的