数学模型论文

1、东 北 大 学研 究 生 考 试 试 卷评分考试科目： 数学模型 课程编号： 阅 卷 人： 考试日期： 2012.12 姓 名： 1班 学 号： 注 意 事 项1考 前 研 究 生 将 上 述 项 目 填 写 清 楚2字 迹 要 清 楚，保 持 卷 面 清 洁3交 卷 时 请 将 本 试 卷 和 题 签 一 起 上 交东北大学研究生院数学模型在机械设计中的应用1 绪论机械工业肩负着为国民经济各个部门提供技术装备的重要任务. 机械工业的生产水平是一个国家现代化建设水平的主要标志之一. 而随着生产的发展和科学技术的进步，机械设计的优劣对机械性能的好坏起着越来越重要的作用，而且产品的迅速更新换代也要

2、求设计的过程大大缩短. 因此，对机械设计实际问题进行优化，本质上是运用计算机快速完成传统设计的“评价再设计”的过程. 看起来设计过程和数学模型毫无关联，但为了完成人际交互对话，第一步也是重要的一步就是必须将机械设计问题数学化，即 抽象成为优化设计的数学模型；第二步是应用最优化计算方法的程序在计算机上求解这个数学模型以得到最优解. 2 机械设计简介机械设计是根据用户的使用要求对专用机械的工作原理、结构、运动方式、力和能量的传递方式、各个零件的材料和尺寸形状、润滑方法等进行构思、分析和计算并将其转化为具体的描述以作为制造依据的过程. 机械设计是机械生产的第一步，是决定机械性能的最主要的因素. 机械

3、设计的努力目标是：在各种限定的条件（如材料、加工能力、设计理论和计算手段等）下设计出最理想的机械，也就是达到优化设计. 因此需要综合地考虑许多要求，一般包括：最好工作性能、最低制造成本、最小尺寸和重量、使用中最可靠性、最低消耗和最少环境污染. 这些要求通常是相互矛盾的，而且它们之间的相对重要性因机械种类和用途的不同而异. 设计者的任务是按具体情况权衡轻重，统筹兼顾，使设计的机械有最优的综合技术经济效果。随着机械工程基础理论和价值工程、系统分析等新学科的发展，制造和使用的技术经济数据资料的积累，以及计算机的推广应用，优化逐渐依靠科学运算. 服务于不同行业的机械，应用不同的工作原理，要求不同的功能

4、和特性. 各行业机械的设计，特别是整体和整系统的机械设计，须依附于各有关的产业技术而难于形成独立的学科. 因此出现了农业机械设计、矿山机械设计、纺织机械设计、汽车机械设计、船舶机械设计、泵机械设计、压缩机机械设计、汽轮机机械设计、内燃机机械设计、机床机械设计、航空机械设计等分支学科. 但是，这许多专业设计又有许多共性技术，例如机构设计分析和综合、力与能的分析和计算、工程材料学、材料强度学、传动、润滑、密封等. 也出现了许多现代机械设计方法常见的有：计算机辅助设计、优化设计、可靠性设计、并行设计、虚拟产品设计、参数化设计、智能设计、分形设计、网上设计等. 3 数学模型在机械设计中的应用实例3.1

5、在航天器控制系统通用仿真技术中的应用3.1.1航空发动机控制的发展随着航空发动机技术的不断发展，航空发动机控制也在不断发展. 这一发展大致归纳为：由基于经典控制理论的单变量控制系统发展到基于现代控制理论的多变量控制系统；由机械液压式控制系统发展到数字式电子控制系统；发动机独立控制发展到飞行推进综合控制. 一方面，可控变量增加，回路增多，控制装置增加，使系统越来越复杂；另一方面，控制精度不断提高，控制装置的结构也由笨重到小巧，从粗糙到精细，由机械液压式发展到数字电子式控制器，并且运用现代控制理论来进行分析以获得最优性能. 3.1.2航空发动机的建模与仿真航空发动机数学模型是分析发动机特性、研究其

6、控制规律，并对控制系统进行设计和分析的基础，也是发动机控制系统及飞行推进综合控制系统进行半物理仿真、评估控制系统性能并进一步进行试验研究的重要条件. 然而，航空发动机是一个复杂的气动热力系统，其内部工作机理相当复杂，如何用数学方法描述发动机，一直是国内外航空发动机技术研究的重要课题. 对于要研究的对象，计算机一般是不能直接认知和处理的，这就要求为之建立一个既能反映所研究对象的实质，又易于被计算机处理的数学模型. 发动机数学模型是发动机的数学抽象，是用图表、曲线、公式、微分方程等来描述发动机工作过程（稳态、动态）的规律. 计算机处理这些经过抽象的数学模型，并通过输出这些模型的相关数据来展现研究对

7、象的某些特质，当然，这种展现可以是三维立体的，由于三维显示清晰直观，已为越来越多的研究者所采用. 通过对这些输出量的分析，就可以更加清楚的认识研究对象. 通过这个关系还可以看出，数学建模的精准程度是决定计算机仿真精度的最关键因素. 从模型角度出发，可以将计算机仿真分为三个步骤：模型的建立、模型的转换和模型的仿真实验. 这里重点介绍模型的建立，首先需要根据发动机仿真所要达到的目的抽象出一个确定的系统，并且要给出这个系统的边界条件和约束条件. 之后，需要利用各种发动机基础学科的知识，把所抽象出来的系统用数学的表达式描述出来，描述的内容就是所谓的“数学模型”，这个模型是进行计算机仿真的核心. 对于发

8、动机这个多学科仿真系统来说，可以将模型大体分为几个层次：一、发动机整体模型，把发动机看作一个独立完整的系统，是一个稳态热力学基本模型，根据发动机结构和部件性能计算发动机系统性能和效率. 二、发动机系统动态和控制模型，该模型是一个一维热力基本模型，并带有简化的结构元件、控制及其它学科数据. 它利用部件性能，几何尺寸和动力学数据来计算发动机推力和重量，以及系统瞬态特性. 三、发动机系统空间和时间平均模型，该模型是一个二维流体模型，使部件边界条件与整个系统边界条件相关. 四、部件三维实时精确模型，把所有零部件的全部物理过程进行全三维实时精确仿真，这类模型正是目前航空发动机数值仿真追求的目标. 国外发

9、动机数学模型技术的发展以美国为代表. 最早的航空发动机数学模型NASALewis于六十年代开发SMOTE模型、随后又开发了GENENG，GENENG模型，但这三个模型都只能进行发动机的稳态性能计算；之后又开发了三转子、三函道、具有动态计算性能的DYNGEN模型，该模型可任意选择发动机结构，这就是国内广泛使用的“7901程序”. 90年代，NASA Lewis研究中心的推进系统数值仿真NPSS计划，开始采用面向对象的结构设计，建立“数字式试车台”的通用发动机性能仿真程序，现已成功开发出MAPSS软件和Onys软件. 我国自七十年代中期开始进行发动机建模与仿真技术，当时主要采用定比热或平均比热法.

10、 近二十年，随着国内外发动机研究机构广泛开展发动机模型的开发工作，包括面向对象的建模方法，在发动机建模方面取得了长足的进步，逐步缩小了与发达国家的差距. 3.1.3航空发动机的数学模型简介航空发动机数学模型是发动机工作过程的数学描述，是关于发动机设计参数和使用条件与发动机性能参数之间的数学关系. 根据不同目的和研究任务时，需要推导不同形式的发动机数学模型. 发动机数学模型的形式多样，一般分为：线性的和非线性的；定常和非定常的；确定的和随机的；连续和发散的；具有集中参数及具有分布参数的；实时和非实时的. 从研究发动机的特性出发，数学模型分为：稳态、小偏离动态和大偏离动态三类. 建立发动机数学模型

11、的方法有解析法、试验法. 试验法是通过对发动机试验数据的处理，获取发动机特性，从而得到发动机模型的方法. 采用解析法建立数学模型需要对发动机内部的物理过程有详尽的了解，并能用数学方法描述. 这种方法通过顺次描述发动机主要部件（风扇、气压机、燃烧室、涡轮、喷管等）工作的微分方程和代数方程来建立数学模型. 然后根据发动机各部件参数间的联系建立平衡关系式（如流量平衡、压力平衡和功率平衡等），这些平衡关系实际上构成了一系列的非线性方程，这些方程即为发动机数学模型. 实验法建立的发动机数学模型在数学上是具有分段线性系数的线性微分方程和代数方程的组合，由于这种方法依赖大量的试验数据，因而适合于已存在的发动

12、机建模，对于方案设计阶段的发动机，试验法显然不适合. 而解析法建模能够考虑各种工作条件对发动机特性的影响，无论哪一个发动机部件的特性发生变化，只要改变描述该部件的模型方程即可，并能应用于预研工作，具有较强通用性. 另外，随着数字计算机运算能力的快速提高，在许多情况下可以采用实时解析模型来代替试验模型. 发动机解析建模需要知道各个部件工作时的内部特性，而发动机主要部件都是非常复杂的流体机械和热力机械，要获得发动机各个部件的特性往往牵涉到非常复杂的部件内部工作过程的数值模拟问题，且各部件进出口流场计算的工作量大，边界条件相对复杂. 故目前广泛采用的建立发动机数学模型的方法是将发动机各个部件视为“黑

13、匣子”来给出部件的特性，属于第二层次数学模型. 该模型是获得简单的、快速计算的、能够实时或更快地进行计算的动态数学模型的基础. 因此，在建模过程做如下假设：发动机截面气体参数只沿轴向变化，径向无变化；所有气体动力学方程不考虑粘性及质量力；在叶片机械及热交换中进行的气动热力学过程看作是定常的；忽略燃烧延迟，按发动机部件顺序，逐一建立气体流动方程、热力方程，最后通过共同工作方程建立混合排气的涡扇发动机数学模型. 根据发动机原理，发动机六个平衡方程可以唯一的确定发动机的工作状态，也即发动机参数可以通过六个独立参数表达. 将平衡方程表述为 （1）只要求解该平衡非线性方程组，就可得到发动机各截面参数.

14、3.2 梁结构可靠性优化设计的应用由于可靠性优化设计弥补了单一可靠性设计的不足，使设计不仅符合工况运行的要求，而且得出最优的设计参数，因而更有工程实用价值，对它的研究已成为目前国内外学者积极探索的重要领域之一. 近年来，贺向东、张义民等在可靠性设计理论和优化设计方面的基础上，提出了一种计算任意分布参数和不完全概率信息的梁结构可靠性设计的数值方法，建立了梁结构可靠性优化设计的数学模型，系统地发展了可靠性优化设计理论. 3.2.1 可靠度计算可靠性设计的一个目标是计算可靠度 （2）其中为基本随机参数向量的联合概率密度，这些随机参数代表载荷、零部件的特性等随机量，为状态函数，可表示零部件的两种状态

15、（3）这里极限状态方程是一个n维曲面，称为极限状态面或失效临界面. 在状态函数为显性表达式时，可以把随机参数向量X，状态参数表示出来. 3.2.2 随机摄动技术根据可靠性的干涉理论，工程结构的刚度破坏问题可以定义为工程结构中的广义位移超过了其允许值，那么工程结构刚度可靠性分析中的状态参数方程可以写成 （4）其中A相对于广义位移向量的允许值. 把随机参数向量X和状态函数表示为 （5） （6）这里为一小参数，下标为的部分表示随机参数中的确定部分，下标为的部分表示随机参数中的随机部分，且具有零均值. 显然这里要求随机部分比确定部分小得多.对上面两式取均值、方差、三阶矩和四阶矩即可. 3.2.3 刚度

16、可靠性设计可靠性优化设计的基本思想是：要求结构在满足一定性能的条件下，使其可靠度达到最大；或者使结构达到最佳性能指标时，要求它的工作可靠度不低于某一规定水平.一般来说，后一种方法更为实用. 当设计要求为,有 （7）这里是给定约束应满足的概率值，可靠度由Edgewonh级数或经验修正公式获得. 刚度可靠性优化设计可用如下模型来求解 （8）其中为给定应满足要求的可靠度，和为不等式约束. 展望数学模型应用于机械设计对提高设计质量，缩短研发周期起到非常关键的作用，有着广阔的应用前景，必将成为产品设计的必要步骤和标准环节. 目前，数学模型应用于机械设计已取得了一定的经济效益和社会效益，但其工程应用远比预

17、期的小. 随着对数学模型方法认识的深入，其在机械设计中的应用会越来越广，它的综合求解能力和使用效果会有很大的提高，主要体现在以下几个方面：(1)、研究对象，从简单的零部件或较复杂零部件简化处理的优化设计，进入到整体优化、分布分级优化、并行优化等全过程的优化设计；(2)、研究方法，开展多目标多学科的建模研究，融机械动力学、现代数学、有限元、计算机技术、智能技术、计算力学等为一体，形成新的能够求解复杂数学建模的理论、方法和体系；(3)、优化算法，研究现有模型的组合，取长补短，发挥优点，寻找新的模型，以解决复杂设计问题；(4)、优化建模，寻求广泛的目标函数和约束的组合，研究自动智能建模技术，提高数学模型的描述能力和建模效率；(5)、借助应用软件求解优化问题，优化程序，同时促进促进设计的发展. 参考文献1.严峻. 机械设计中计算机优化的方法，浙江丝绸工学院学报，1998,02, 13-15.2.濮良贵，纪名刚. 机械设计，北京：高等教育出版社，1982, 10-12.3.孙靖民，梁迎春. 机械优化设计，北京：机