同济大学第六版高等数学课件（下册）：D12习题课

1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课习题课级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数四、函数的幂级数和傅式级数 展开法展开法一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 第十二章 目录 上页 下页 返回 结束 )(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅里叶级数.xnbxnaxunnnsincos)(当为傅氏系数) 时,时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;nnba ,(目

2、录 上页 下页 返回 结束 一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分审敛法部分和极限1目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnuLeibniz审敛审敛法法: 若,01nnuu且,0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛 ,概念概念:且余项.1nnur1nnu若收敛 ,1nnu称绝对收敛1nnu若发散 ,1nnu称条件收敛目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 若级

3、数11nnnnba 与均收敛 , 且nnnbca, ),2, 1(n证明级数1nnc收敛 .证证: nnnnabac0, ),2,1(n则由题设)(1nnnab 收敛)(1nnnac 收敛1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收敛练习题练习题: P320 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示:P320 题2. 判别下列级数的敛散性:;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn. )0,0()5(1sanansn提示提示: (1) nnnnn11lim, 1据比较审敛法的极

4、限形式, 原级数发散 .nnn1lim发散11nn目录 上页 下页 返回 结束 12nnnnn10ln1lim原级数发散 :2) !()2(122nnn:2cos)3(132nnnn:ln1)4(210nn故原级数收敛21nn发散,收敛,22) 1(2 ! ) 1(limnnn222) !(nn,22cos032nnnnnn1nnn10lnlimxxx10lnlimxxx9ln10lim28910limxx用洛必达法则nnnn2lim21, 原级数发散 目录 上页 下页 返回 结束 : )0,0()5(1sanansn时收敛 ;时, 为 p 级数时收敛;1s时发散.1s1a时发散.1a1asn

5、snnanan) 1(1limsnnna1lima目录 上页 下页 返回 结束 P320 题3. 设正项级数1nnu和1nnv12)(nnnvu也收敛 .法法1 由题设,0limlimnnnnvu,)(1收敛nnnvu )(limnnnvu 0根据比较审敛法的极限形式知结论正确.都收敛, 证明级数nnnnnvuvu2)(lim法法2 因 ,0limlimnnnnvu故存在 N 0,当n N 时,0)(limnnnvu)(nnvu 2)(nnvu , 1)(0nnvu从而 再利用比较法可得结论目录 上页 下页 返回 结束 P320 题4. 设级数1nnu收敛 , 且,1limnnnuv1nnv是

6、否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .,) 1(nunn问级数提示提示: 对正项级数,由比较判别法可知1nnv级数1nnu收敛 ,1nnvnnnuvlim收敛,级数发散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvnn1) 1(目录 上页 下页 返回 结束 ;1ln) 1()3(1nnnnP320 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;1) 1() 1(1npnn;sin) 1()2(1111nnnn.! ) 1() 1()4(11nnnnn提示提示: (1) p 1 时, 绝对收敛 ; 0 p1 时, 条件收敛 ;p0 时, 发散 .(2)故原级数绝对收敛.nnn11lim

7、,1sin) 1(1111nnnn,111收敛nn, 11目录 上页 下页 返回 结束 11ln) 1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因单调递减, 且但对nnn1ln1nkkk1ln)1ln()1ln( n)(n所以原级数仅条件收敛 .kkSnkn1ln1由Leibniz审敛法知级数收敛 ;0limnnu目录 上页 下页 返回 结束 11! ) 1() 1()4(nnnnn因nnuu12)2(! )2(nnn1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn1e1所以原级数绝对收敛 .目录 上页 下页 返回 结束 二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先

8、求收敛半径 R : 再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .P320 题7. 求下列级数的敛散域:;)11 ()2(12nnnxn.2)4(21nnnxn练习练习:,lim1nnnaaRnnnaR lim1或(自证) 目录 上页 下页 返回 结束 1 解解:nnnnnna)11 (limlim当e1x因此级数在端点发散 ,e)11 (1nnnnuenn)11 ( nn)11 ( )(0e1n. )e1,e1(e时,12)11 ()2(nnnxn,e1Re1e1x故时原级数收敛 .故收敛域为目录 上页 下页 返回 结束 nnnxn212)4()()(l

9、im1xuxunnn解解: 因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛域为. )2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散; 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.) 1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原级数 =1)(kkx1)(kkx 其收敛半径4121,minRRR注意: 此题目录 上

10、页 下页 返回 结束 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和函数求积或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和nnnxa0目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求幂级数.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x目录 上

11、页 下页 返回 结束 法法2 先求出收敛区间, )(xS则210001( )d( 1)d(21)!xxnnnnS xxxxn220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(设和函数为),(x120!) 12(1) 1(nnnxnn目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:.) 1()4(1nnnnx;212) 1()1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x 1221nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x = 0 时上式也正确,. )2,2(x故和函

12、数为而在2xx0,)2(2)(222xxxSP320 题8. 求下列幂级数的和函数：级数发散,目录 上页 下页 返回 结束 (4)nnxnn1111原式101dxnntt 011dxnnttx01d1xtt01d1xttxt)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( x101dxnntt011dxnnttxx0目录 上页 下页 返回 结束 1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx显然 x = 0 时, 级数收敛于0, 根据和函数的连续性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 时, 级数也收敛 . 即得)1(

13、ln)11(1lim0 xxx0)1(lnlim10 xxx又 目录 上页 下页 返回 结束 00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn练习练习:0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sinP320 题9(2). 求级数注注: 本题也可利用例3间接求和.例3 目录 上页 下页 返回 结束 四、函数的幂级数和傅式级数展开法四、函数的幂级数和傅式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1) 将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:xx21)2(122

14、1121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x1. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法目录 上页 下页 返回 结束 2) 设)(xf0,arctan12xxxx0,1x, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,1241) 1(nnn的和. ( 2001考研 )解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctan2011dxxx,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求级数目录 上页 下页 返回 结束 02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn12

15、12) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的傅式级数展开法函数的傅式级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法练习练习: xyO),上的表达式为 ),0,e)0,0)(xxxfx将其展为傅氏级数 .na1xnxxdcose021)cossin(e1nnxnxnx0),2, 1,0(11) 1(e12nnnP321 题11. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在解答提示解答提示目录 上页 下页 返回 结束 xnxbxndsine10

16、21)cos(sine1nnxnnxx0),2, 1(1) 1(12nnenn21e)(xf11n)sin(cosnxnnx 2e ( 1)11nn),2,1,0,(kkx思考思考: 如何利用本题结果求级数20e ( 1)1?1nnn的和根据傅式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有21e11n211) 1(enn2)0()0(ff21提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 P320 6 (2); 7 (3); 8 (1), (3) ; 9(1) ; 10 (1) ; 12 作业作业目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 设幂级数),(0在nnnxa满足解解: 设)(xy1)0(, 0)0(, 042 yyyyxy, 2, 1,122nanann,0nnnxay内收敛, 其和函数(1) 证明(2) 求 y(x) 的表达式.则由1)0(, 0)0(yy 22) 1(nnnxanny1, 010aa得,2nnnxaxy,121nnnxany代入微分方程得( 2007考研 )目录 上页 下页 返回 结束 1)0(, 0)0(, 042 yyyyxy 22) 1(nnnxanny2nnnxaxy211n