线性代数与空间解析几何：6-2 方阵的相似与对角化

1、6.2 6.2 方阵的相似与对角化方阵的相似与对角化 1. 1. 两个方阵的相似两个方阵的相似 示示例例11 12 11 11 01 11 21 10 3 2 11 0:1 20 3 .ABAB【注注意意】 【证证明明】1:PAPB 1|EPAP 1|()PEA P 1| | |PEAP 1| |P PEA |.EA 0 00 1,.0 00 0不不相相似似 但但特特征征多多项项式式相相同同示示例例|EB 1 02 12 1:;0 31 21 2可可对对角角化化 0 1:0 0不不能能对对角角化化0 1, :0 0若若可可对对角角化化 则则其其只只能能与与零零矩矩阵阵相相似似示示例例10 10

2、 ().0 0PP 矛矛盾盾等等式式?方方阵阵可可对对角角化化的的条条【题题】件件是是什什么么问问111,;nnnppppAA2. 2. 方阵可对角化的充要条件方阵可对角化的充要条件 【证证明明】:A设设可可对对角角化化11,nPAP 1,;nppP ?nn一一个个阶阶方方阵阵在在什什么么条条件件下下有有 个个线线性性无无关关的的特特【题题】征征向向量量问问【证证明明】;每每个个特特征征值值至至少少有有一一个个特特征征向向量量;对对应应不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量线线性性无无关关.n此此方方阵阵一一定定有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量【注注意意】:此此推推论论是是方方

3、阵阵可可对对角角化化的的充充分分非非必必要要条条件件1 0, 1.0 1可可对对角角化化 但但不不同同的的特特征征值值仅仅一一个个1, 2, 3.A因因为为有有三三个个不不同同的的特特征征值值【解解】2100|021(1)(2) ;002EA A矩矩阵阵的的特特征征多多项项式式1231,2; 特特征征值值r()r(2)2.EAEA 2 :此此方方阵阵最最多多能能找找到到个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量()0, (2)0:EA xEA x方方程程组组的的基基础础解解系系.都都仅仅有有一一个个向向量量.此此方方阵阵不不能能对对角角化化80 0 000 0 008 0 000 0 03, 5

4、:14 0 014 8 012 0 012 0 8EAEA 【解解】r( 3)r(5)2.EAEA 4, .A有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量 可可对对角角化化r()(1, 2,).iinEAkim 【证证明明】():A设设矩矩阵阵可可对对角角化化示示例例r()(1, 2,)iinEAkim 11r();mmiiiinEAkn :而而由由上上一一节节最最后后的的命命题题知知1r();miinnEA r()(1, 2,).iinEAkim =,总总之之(), m反反之之 若若上上述述个个等等式式成成立立: :1,.miiAkn 有有个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量 可可对对角角化化【评评注注】13: 3r()2, 3r()1.EAEA 原原因因【证证明明】A先先求求的的所所有有特特征征值值: :2220,aab acAba bbcca cb c1r()r( )1.A 分分析析:A 试试求求的的非非零零特特征征值值, , :A由由于于相相似似一一定定等等价价 若若可可对对角角化化 其其特特征征值值为为2223.abc T()(0, 0);xxx T()()().xx TT222, 0: ;xxabc 都都是是数数 且且222123, 0, 0.Aabc总总之之 矩矩阵阵的的特特征征值值确