最优控制问题概论

1、10.4 最优控制问题概论最优控制问题概论* 10.4.1 最优控制概述最优控制概述 q 从从20世纪世纪50年代末迅速发展起来的现代控制理论中年代末迅速发展起来的现代控制理论中,最优控最优控制是其中一个主要内容制是其中一个主要内容,亦是目前较活跃的一个分支。亦是目前较活跃的一个分支。 最优控制问题是从大量的实际问题中提炼出来的最优控制问题是从大量的实际问题中提炼出来的,它的它的发展与航空、航天、航海的制导、导航和控制技术密不发展与航空、航天、航海的制导、导航和控制技术密不可分。可分。 下面先通过几个应用实例来引出最优控制问题下面先通过几个应用实例来引出最优控制问题,然后讨然后讨论最优控制问题

2、的描述及数学表达。论最优控制问题的描述及数学表达。 内容为内容为 最优控制问题的提出最优控制问题的提出 最优控制问题的描述最优控制问题的描述10.4.1.1 最优控制问题的提出最优控制问题的提出q 考虑下面实际最优控制问题的例子。考虑下面实际最优控制问题的例子。 飞船的月球软着陆问题飞船的月球软着陆问题1) 飞船的月球软着陆问题飞船的月球软着陆问题q 飞船靠其发动机产生一个与月球的重力方向相反的推力飞船靠其发动机产生一个与月球的重力方向相反的推力,以以控制飞船实现软着陆控制飞船实现软着陆,即落到月球时的速度为零。即落到月球时的速度为零。 问题要求选择发动机推力程序问题要求选择发动机推力程序,使

3、飞船携带的燃料最少使飞船携带的燃料最少或着陆时间最短或着陆时间最短(最速升降问题最速升降问题)。q 设飞船的质量为设飞船的质量为m,高度和垂直速度分别为高度和垂直速度分别为h和和v,月球的重力月球的重力加速度可视为常数加速度可视为常数g,飞船的自身质量及所携带的燃料分别为飞船的自身质量及所携带的燃料分别为M和和F。 若飞船于某一初始时刻起开始进入着陆过程若飞船于某一初始时刻起开始进入着陆过程,由牛顿第由牛顿第二定理和物料二定理和物料(燃料燃料)平衡关系可知平衡关系可知,飞船的运动方程为飞船的运动方程为0kkfmgmfvvh 要求控制飞船从初始状态要求控制飞船从初始状态h(0)=h0, v(0)

4、=v0, m(0)=M+F 出发出发, 在某一末态时刻在某一末态时刻 tf 实现软着陆实现软着陆, 即即h(tf)=0, v(tf)=0 控制过程中控制过程中, 推力推力 f(t) 不能超过发动机所能提供的最大不能超过发动机所能提供的最大推力推力 fmax, 即即- -fmax f(t) fmax 满足上述约束条件满足上述约束条件, 使飞船实现软着陆的推力程序并非使飞船实现软着陆的推力程序并非一种一种, 其中消耗燃料最少的称为其中消耗燃料最少的称为燃料控制问题燃料控制问题, 着陆时间着陆时间最短的称为最短的称为最速升降问题或时间最优控制问题最速升降问题或时间最优控制问题。10.4.1.2 最优

5、控制问题的描述最优控制问题的描述q 从前面的应用实例可以看出从前面的应用实例可以看出,最优控制问题可以抽象成共同最优控制问题可以抽象成共同的数学问题描述的数学问题描述,这将给最优控制理论的研究带来方便。这将给最优控制理论的研究带来方便。 所谓最优控制问题的描述所谓最优控制问题的描述,就是将通常的最优控制问题抽就是将通常的最优控制问题抽象成一个统一描述的数学问题象成一个统一描述的数学问题,并用数学语言严格地表述并用数学语言严格地表述出来。出来。 最优控制问题的描述包括最优控制问题的描述包括: 被控系统的数学模型被控系统的数学模型 目标集目标集 容许控制容许控制 性能指标性能指标 最优控制问题的描

6、述最优控制问题的描述1. 被控系统的数学模型被控系统的数学模型q 前面讨论的飞船控制系统是非线性系统前面讨论的飞船控制系统是非线性系统, 所建立的描述该最所建立的描述该最优控制问题的数学模型都为状态空间表达式。优控制问题的数学模型都为状态空间表达式。 因此因此,对一般被控系统的最优控制问题对一般被控系统的最优控制问题,其数学模型可以其数学模型可以用如下非线性时变系统的状态空间表达式来描述用如下非线性时变系统的状态空间表达式来描述: 式中式中,x为为n维状态向量维状态向量;u为为r维输入向量维输入向量;y为为m维输出向量维输出向量; f(x,u,t)和和g(x,u,t)分别为分别为n维和维和m维

7、关于状态向量维关于状态向量x、输入向量输入向量u和时间和时间t的非线性函数向量。的非线性函数向量。),(),(ttuxgyuxfx q 对许多实际被控系统对许多实际被控系统,在一定精度范围内在一定精度范围内,其最优控制问题中其最优控制问题中的数学模型也可以分别采用的数学模型也可以分别采用 线性定常系统、线性定常系统、 线性时变系统和线性时变系统和 非线性定常系统非线性定常系统 的状态空间表达式来描述。的状态空间表达式来描述。2. 目标集目标集q 动态系统在控制动态系统在控制u(t)的作用下总要发生从一个状态到另一个的作用下总要发生从一个状态到另一个状态的转移状态的转移,这种转移可以理解为状态空

8、间的一个点或系统这种转移可以理解为状态空间的一个点或系统状态的运动。状态的运动。 在最优控制问题中在最优控制问题中,系统运动的初始状态系统运动的初始状态(称初态称初态)通常是通常是已知的已知的, 即即 x(t0)=x0 为已知为已知, 而所要达到的最终状态而所要达到的最终状态(称末态称末态)是控制所要求达到是控制所要求达到的目标。的目标。 因问题而异因问题而异,末态可以是状态空间的一个点末态可以是状态空间的一个点,更为一般的更为一般的情况是末态要落在事先规定的范围内情况是末态要落在事先规定的范围内,如要求末态满足如如要求末态满足如下约束条件下约束条件g1(x(tf),tf)=0 g2(x(tf

9、),tf) 0 式中式中,g1(x(tf),tf) 和和 g2(x(tf),tf)为关于末态时刻为关于末态时刻tf和末态状态和末态状态x(tf) 的非线性向量函数。的非线性向量函数。 上述末态约束条件概括了对末态的一般要求。上述末态约束条件概括了对末态的一般要求。 实际上实际上, 该该末态约束条件规定了状态空间中的一个末态约束条件规定了状态空间中的一个时变的或时不变的集合时变的或时不变的集合, 此种满足末态约束的状态此种满足末态约束的状态集合称为集合称为目标集目标集, 记为记为M, 并可表示为并可表示为M = x(tf) : x(tf) Rn, g1(x(tf),tf)=0, g2(x(tf)

10、,tf) 0 需要指出的是需要指出的是,有些最优控制问题并没有对末态加以约束有些最优控制问题并没有对末态加以约束,则该问题的目标集为整个状态空间则该问题的目标集为整个状态空间Rn,但此时并不意味着但此时并不意味着对末态没有要求对末态没有要求,系统还可以通过下面要介绍的性能指标系统还可以通过下面要介绍的性能指标等约束末态。等约束末态。 至于末态时刻至于末态时刻tf,它可以事先规定它可以事先规定,也可以由对末态的约束也可以由对末态的约束条件和性能指标等约束。条件和性能指标等约束。3. 容许控制容许控制q 输入向量输入向量u(t)的各个分量的各个分量ui(t)往往是具有不同的物理属性和往往是具有不同

11、的物理属性和意义的控制量意义的控制量,在实际系统中在实际系统中,大多数控制量受客观条件的限大多数控制量受客观条件的限制制,只能在一定范围内取值。只能在一定范围内取值。 如飞船控制系统中控制量有大小范围的限制如飞船控制系统中控制量有大小范围的限制;又如在控又如在控制量为开关量的控制系统中制量为开关量的控制系统中,输入仅能取有限的几个值输入仅能取有限的几个值,如如-1,+1。 由控制量约束条件所规定的点集称为由控制量约束条件所规定的点集称为控制域控制域, 并记为并记为U。 凡在闭区间凡在闭区间t0,tf上有定义上有定义,且在控制域且在控制域U内取值的每内取值的每一个控制函数一个控制函数u(t)称为

12、称为容许控制容许控制,并记为并记为u(t) U。 通常假定容许控制通常假定容许控制u(t)是一个有界连续函数或者是分段是一个有界连续函数或者是分段连续函数。连续函数。4. 性能指标性能指标q 性能指标函数又称为指标泛函、目标函数、代价函数和评性能指标函数又称为指标泛函、目标函数、代价函数和评价函数等。价函数等。q 从前面的应用实例可以看出从前面的应用实例可以看出,最优控制问题最后归结到从所最优控制问题最后归结到从所有容许控制中找出一种效果最好的控制律有容许控制中找出一种效果最好的控制律,这就需要一个能这就需要一个能衡量控制效果好坏或评价控制品质优劣的性能指标函数。衡量控制效果好坏或评价控制品质

13、优劣的性能指标函数。 例如例如, 飞船控制系统要求所携带的燃料最少或到达末态飞船控制系统要求所携带的燃料最少或到达末态的时间最短。的时间最短。 由于各种最优控制问题所要解决的主要矛盾不同由于各种最优控制问题所要解决的主要矛盾不同,设计者设计者的着眼点不同的着眼点不同,因此归结出的性能指标是不同的。因此归结出的性能指标是不同的。q 一般形式的性能指标为一般形式的性能指标为式中式中,右边第右边第1项称为项称为末态性能指标末态性能指标,体现了对末态的要求体现了对末态的要求; 第第2项称为项称为积分性能指标积分性能指标,体现了对系统状态变化过程中体现了对系统状态变化过程中的状态的状态x(t)和和u(t

14、)的要求。的要求。 在通常情况下在通常情况下,可将各种不同的性能指标视为一般形式的可将各种不同的性能指标视为一般形式的性能指标的一种特例性能指标的一种特例。 如飞船控制系统的性能指标可以视为当如飞船控制系统的性能指标可以视为当S(x(tf),tf)=m(tf) L(x,u,t)=0时上述一般形式性能指标的一个特例。时上述一般形式性能指标的一个特例。fttffttttLttSJ0d),(),(),(uxx5. 最优控制问题的描述最优控制问题的描述 q 总结上述最优控制问题的数学模型、目标集、容许控制以及总结上述最优控制问题的数学模型、目标集、容许控制以及性能指标性能指标,则最优控制问题的描述可叙

15、述为则最优控制问题的描述可叙述为: 已知被控系统的状态方程及给定的初态为已知被控系统的状态方程及给定的初态为 规定的末态目标集为规定的末态目标集为M=x(tf): x(tf) Rn, g1(x(tf),tf)=0, g2(x(tf),tf) 0 求一容许控制求一容许控制u(t) U,t t0,tf,使被控系统由给定的初态使被控系统由给定的初态x0出发出发,在在tft0时刻转移到目标集时刻转移到目标集M,并使如下性能指标为最并使如下性能指标为最小小 00( )( ( ), ( ), ),( )ttt tt xf xuxxfttffttttLttSJ0d),(),(),(uxxq 值得注意的是值得

16、注意的是,所谓的所谓的“最优性最优性”,是指被控系统相对于性能是指被控系统相对于性能指标函数意义下的最优性。指标函数意义下的最优性。 不同的性能指标函数不同的性能指标函数,最优控制结果是不相同的。最优控制结果是不相同的。10.4.2 线性二次型最优控制线性二次型最优控制q 对于线性系统对于线性系统,若取状态变量若取状态变量x(t)和控制变量和控制变量u(t)的二次型函的二次型函数的积分作为性能指标泛函数的积分作为性能指标泛函,这种动态系统的最优控制问题这种动态系统的最优控制问题称为线性系统的最优二次型性能指标的最优控制问题称为线性系统的最优二次型性能指标的最优控制问题,简称简称为为线性二次型（

17、线性二次型（LQ）问题）问题。 该类问题的优点是能得到最优控制解该类问题的优点是能得到最优控制解u*(t)的统一解析表的统一解析表达形式和一个简单的且易于工程实现的最优状态反馈律。达形式和一个简单的且易于工程实现的最优状态反馈律。 因此因此,线性二次型问题对于从事自动控制研究的理论工线性二次型问题对于从事自动控制研究的理论工作者和工程技术人员都具有很大吸引力。作者和工程技术人员都具有很大吸引力。 50 多年来多年来, 人们对各种最优状态反馈控制系统的结构、人们对各种最优状态反馈控制系统的结构、性质以及设计方法进行了多方面的研究性质以及设计方法进行了多方面的研究,并且有许多成并且有许多成功的应用

18、。功的应用。 线性二次型问题是最优控制理论中发展最为成熟、最有线性二次型问题是最优控制理论中发展最为成熟、最有系统性、应用最为广泛和深入的分支。系统性、应用最为广泛和深入的分支。 本节将介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一性和本节将介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一性和最优控制解的充分必要条件。最优控制解的充分必要条件。 线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。q 线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题 设线性时变系统的状态方程和输设线性时变系统的状态方程和输出量测方程为出量测方程为式中式中, x(t)是是n维状态向量维状

19、态向量,u(t)是是r维控制向量维控制向量,y(t)是是m维输出向量。维输出向量。 A(t)、B(t)和和C(t)分别是分别是nn、nr和和mn维的分段维的分段连续的时变矩阵。连续的时变矩阵。 假定系统的维数满足假定系统的维数满足0m r n,且且u(t)不受约束。不受约束。 用用z(t)表示预期的输出表示预期的输出,它为它为m维向量维向量,则定义则定义输出误差输出误差向向量如下量如下e(t) = z(t) - y(t)00( )( ) ( )( ) ( ),( )( )( ) ( )tA ttB ttttC ttxxuxxyx 控制的目标是寻找最优控制函数控制的目标是寻找最优控制函数u*(t

20、),使下列二次型性能使下列二次型性能指标泛函为最小指标泛函为最小式中式中, F为为mm维非负定的常数矩阵维非负定的常数矩阵; Q(t)为为mm维时变的分段连续的非负定矩阵维时变的分段连续的非负定矩阵; R(t)为为rr维时变的分段连续的正定矩阵维时变的分段连续的正定矩阵,且其逆矩且其逆矩阵存在并有界阵存在并有界; 末态时刻末态时刻tf是固定的。是固定的。011 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d22ftfftJtFtt Q ttt R tttueeeeuuq 下面对上述性能指标泛函作细致的讨论下面对上述性能指标泛函作细致的讨论:1) 性能指标泛函性能指标泛函Ju()中的

21、第中的第1项项e (tf)Fe(tf),是为了突出对是为了突出对末端目标的控制误差的要求和限制而引进的末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端称为末端代价函数。代价函数。 非负定的常数矩阵非负定的常数矩阵F为加权矩阵为加权矩阵,其各行各列元素的其各行各列元素的值的不同值的不同,体现了对误差向量体现了对误差向量e(t)在末态时刻在末态时刻tf各分量各分量的要求不同、重要性不同。的要求不同、重要性不同。 若矩阵若矩阵F 的第的第 i 行第行第 i 列元素值较大列元素值较大, 代表二次项的代表二次项的重要性较大重要性较大, 对其精度要求较高。对其精度要求较高。2) 性能指标泛函性能指标泛函J

22、u()中的被积函数中的第中的被积函数中的第1项项e (t)Q(t)e(t),表示在系统工作过程中对控制误差表示在系统工作过程中对控制误差e(t)的要求和限制。的要求和限制。 由于时变的加权矩阵由于时变的加权矩阵Q(t)为非负定的为非负定的,故该项函数值故该项函数值总是为非负的。总是为非负的。v 一般情况下一般情况下, e(t)越大越大, 该项函数值越大该项函数值越大, 其在整其在整个性能指标泛函所占的份量就越大。个性能指标泛函所占的份量就越大。v 因此因此,对性能指标泛函求极小化体现了对误差向对性能指标泛函求极小化体现了对误差向量量e(t)的大小的约束和限制。的大小的约束和限制。v 在在e(t

23、)为标量函数时为标量函数时, 该项该项可取为可取为e2(t), 于是该项于是该项与经典控制理论中判别系统性能的误差平方积与经典控制理论中判别系统性能的误差平方积分指标一致。分指标一致。 非负定的时变矩阵非负定的时变矩阵Q(t)为加权矩阵为加权矩阵,其各行各列元素其各行各列元素的值的不同的值的不同,体现了对相应的误差向量体现了对相应的误差向量e(t)的分量在的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。各时刻的要求不同、重要性不同。v 时变矩阵时变矩阵Q(t)的不同选择的不同选择,对闭环最优控制系统对闭环最优控制系统的性能的影响较大。的性能的影响较大。3) 性能指标泛函性能指标泛函Ju()中的被积函数的

24、第中的被积函数的第2项项u (t)R(t)u(t),表表示在系统工作过程中对控制向量示在系统工作过程中对控制向量u(t)大小的要求和限制。大小的要求和限制。 由于时变的加权矩阵由于时变的加权矩阵R(t)为正定的为正定的,故该项函数值在故该项函数值在u(t)为非零向量时总是为正的。为非零向量时总是为正的。v 而且而且u(t)越大越大,该项函数值越大该项函数值越大,其在整个性能指其在整个性能指标泛函所占的分量就越大。标泛函所占的分量就越大。v 因此因此,对性能指标泛函求极小化体现了对控制向对性能指标泛函求极小化体现了对控制向量量u(t)的大小的约束和限制。的大小的约束和限制。v 如如u(t)为与电

25、压或电流成正比的标量函数时为与电压或电流成正比的标量函数时,该该项为项为u2(t),并并与功率成正比与功率成正比,而而 u2(t)dt则与在则与在t0,tf区间内区间内u(t)所做的功或所消耗的能量成正比。所做的功或所消耗的能量成正比。v 因此因此,该项该项Lu是用来衡量控制功率大小的代价函是用来衡量控制功率大小的代价函数。数。v 正定的时变矩阵正定的时变矩阵R(t)亦为加权矩阵亦为加权矩阵,其各行各列其各行各列元素的值的不同元素的值的不同,体现了对相应的控制向量体现了对相应的控制向量u(t)的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。 时变矩阵时变矩阵R(t)

26、的不同选择的不同选择,对闭环最优控制系统的性对闭环最优控制系统的性能的影响较大。能的影响较大。v 综上所述综上所述,可见线性系统的二次型性能指标泛函可见线性系统的二次型性能指标泛函的最优控制问题的实质在于用不大的控制量的最优控制问题的实质在于用不大的控制量,来来保持较小的控制误差保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控以达到所耗费的能量和控制误差的综合最优。制误差的综合最优。q 现在讨论上述线性二次型问题的几种特殊情况现在讨论上述线性二次型问题的几种特殊情况。1) 若令若令 C(t)=I, z(t)=0, 则则 y(t)=x(t)=- -e(t)。这时。这时, 线性二次型线性二次型问题的性能

27、指标泛函变为问题的性能指标泛函变为 该问题转化成该问题转化成:用不大的控制能量用不大的控制能量,使状态使状态x(t)保持在保持在零值附近零值附近,称为称为状态调节器问题状态调节器问题。2) 若令若令z(t)=0,则则y(t)=-e(t)。这时。这时,线性二次型问题的性能指线性二次型问题的性能指标泛函变为标泛函变为 该问题转化成该问题转化成:用不大的控制能量用不大的控制能量,使输出值使输出值y(t)保持在零保持在零值附近值附近,称为称为输出调节器问题输出调节器问题。fttfftttRtttQttFtJ0d)()()()()()(21)()(21)(uuxxxxufttfftttRtttQttFt

28、J0d)()()()()()(21)()(21)(uuyyyyu3) 若若z(t)0,则则e(t)=z(t)-y(t)。 这时这时,线性二次型问题为线性二次型问题为:用不大的控制能量用不大的控制能量,使输出使输出y(t)跟踪期望信号跟踪期望信号z(t)的变化的变化,称为称为输出跟踪问题输出跟踪问题。q 下面将陆续介绍状态调节器、输出调节器和最优跟踪问题的下面将陆续介绍状态调节器、输出调节器和最优跟踪问题的求解方法、解的性质以及最优状态反馈实现求解方法、解的性质以及最优状态反馈实现,具体内容为：具体内容为： 时变状态调节器时变状态调节器 定常状态调节器定常状态调节器10.4.2.1 时变状态调节

29、器时变状态调节器q 前面已经指出前面已经指出, ,状态调节器问题为状态调节器问题为: : 用不大的控制能量用不大的控制能量, ,使状态使状态x(t)保持在零值附近的二次型保持在零值附近的二次型最优控制问题。最优控制问题。 该问题的描述如下。该问题的描述如下。q 有限时间有限时间LQ调节器问题调节器问题 设线性时变系统的状态方程和初始设线性时变系统的状态方程和初始条件为条件为 式中式中,控制量控制量u(t)不受约束。不受约束。 寻找最优控制函数寻找最优控制函数u*(t),使下列二次型性能指标泛函为使下列二次型性能指标泛函为最小最小式中式中,F和和Q(t)为非负定矩阵为非负定矩阵; R(t)为正定

30、矩阵为正定矩阵; 末态时刻末态时刻tf是固定的。是固定的。000( )( ) ( )( ) ( ),( ), ,ftA ttB ttttt txxuxxdtttRtttQttFttuJfttff0)()()()()()(21)()(21)(uuxxxx1. 最优控制的充分必要条件最优控制的充分必要条件q 定理定理4-1(有限时间有限时间LQ调节器调节器) 对于有限时间对于有限时间LQ调节器问题调节器问题,为其最优控制的充分必要条件是为其最优控制的充分必要条件是 最优轨线为下述状态方程最优轨线为下述状态方程的解的解, ,而最优性能值为而最优性能值为式中式中,P(t)为下述矩阵为下述矩阵黎卡提黎卡

31、提微分方程的正定或半正定解微分方程的正定或半正定解。*1T( )( )( ) ( )( ),)K tRttt Bt P tKux,)(),()()()()(000*fttttttBttAtxxuxx *0001( )(0),02JJtPuxxx10( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ,(),ffP tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ ttt tP tF q 上述具有充分必要的最优控制实际上是一个线性状态反馈上述具有充分必要的最优控制实际上是一个线性状态反馈,因此因此,可以将线性系统最优状态调节器的最优控制表示成如可以将线

32、性系统最优状态调节器的最优控制表示成如图图4-1所示的状态反馈形式所示的状态反馈形式,其闭环系统的状态方程为其闭环系统的状态方程为图图4-1 线性系统最优状态调节器线性系统最优状态调节器q 上述结论是线性时变系统的结论上述结论是线性时变系统的结论,当系统是线性定常的时候当系统是线性定常的时候,上述结论仍然成立上述结论仍然成立,而且计算还要简单。而且计算还要简单。2. 最优控制的存在性与唯一性最优控制的存在性与唯一性q 对于一般的最优控制问题对于一般的最优控制问题,论证最优控制解的存在性是很困论证最优控制解的存在性是很困难的难的,但对于最优状态调节器问题但对于最优状态调节器问题,可以证明最优控制

33、解的存可以证明最优控制解的存在性和唯一性。在性和唯一性。 对此对此,有如下定理。有如下定理。q 定理定理4-2 对线性时变系统的最优状态调节器问题对线性时变系统的最优状态调节器问题, 当当 tf 0。 试求其最优控制和最优状态轨线。试求其最优控制和最优状态轨线。q 解解 根据定理根据定理4-2, 可以求出该问题的最优控制为可以求出该问题的最优控制为 式中式中, p(t)是如下黎卡提微分方程及边界条件的解是如下黎卡提微分方程及边界条件的解000222( )( )( ),( )11()( )( )d22ftftx tax tu tx txJfx tqx trutt1( )( ) ( )u tp t

34、 x tr 21( )2( )( ),()fp tap tp tqp tfr 由上述微分方程可知由上述微分方程可知, p(t) 的解满足的解满足 积分上式积分上式,可得可得 其中其中()( )2d ( )d12( )( )ffp ttp ttp ssap spsqr2()2()/(- )/-( )/1/-fft tt tfraaaefrap trfraefra21( )2( )( ),()fp tap tp tqp tfr 2arq 最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解 于是得于是得( )( )( )p tx tax tr00( )( )expdtp s

35、x txasrq 最优状态轨线为最优状态轨线为对上述线性定常系统的最优状态调节器问对上述线性定常系统的最优状态调节器问题题, ,其最优状态反馈律和闭环系统状态方程都呈现时变的性其最优状态反馈律和闭环系统状态方程都呈现时变的性质。质。 p2(t)/r p(t) - x =ax+bu 1/r x(t) u(t) p(0) 2a 2ap(t) p (t) + - q - + 图图4-2 状态最优调节器结构图状态最优调节器结构图 这是最优状态调节器在这是最优状态调节器在tf 的的一个重要性质。一个重要性质。 图图4-2是例是例4-1的最优状态调节的最优状态调节器的结构图。器的结构图。 图中信号图中信号

36、p(t)是对黎卡提是对黎卡提微分方程进行电子电路微分方程进行电子电路模拟的结果模拟的结果,其初始信号其初始信号p(0)是对黎卡提微分方程是对黎卡提微分方程的解在的解在t=0时时的值。的值。q 图图4-3(a)表示在表示在a=-1, f=0, tf=1, x(0)=1 和和 q=1时时,以以r为参数的为参数的一组最优状态轨线一组最优状态轨线 x(t)。 可见可见 r 很小意即在性能指标中控制的价值不太重要很小意即在性能指标中控制的价值不太重要,状状态态 x(t) 将迅速被控制到零值将迅速被控制到零值; R 很大意即控制的价值较重要很大意即控制的价值较重要, 状态状态 x(t) 将由于控制量将由于

37、控制量投入得小投入得小, 则衰减得很慢。则衰减得很慢。图图4-3 不同不同 r 值最优状态调节器各变量变化轨迹值最优状态调节器各变量变化轨迹 q 图图4-3(b)表示以表示以r为参数的一组最优控制为参数的一组最优控制u(t)的曲线。的曲线。 可见随着可见随着r的减小的减小,在控制区间在控制区间0,1的开始阶段的开始阶段,控制量控制量u(t)较大较大; 当当r0时时,控制将逐渐变成在控制将逐渐变成在t=0时刻的脉冲信号。时刻的脉冲信号。图图4-3 不同不同r值最优状态调节器各变量变化轨迹值最优状态调节器各变量变化轨迹 q 图图4-3(c)表示以表示以r为参数时为参数时,黎卡提微分方程的解黎卡提微分方程的解p(t)的一组曲的一组曲线。线。 可见随着可见随着r的减小的减小,在控制区间在控制区间0,1的开始阶段的开始阶段,p(t)几乎几乎为一常数为一常数; 当当r很小时很小时,p(t)仅在控制区间的最后阶段才呈现时变的性仅在控制区间的最后阶段才呈现时变的性质。质。图图4-3 不同不同r值最优状态调节器各变量变化轨迹值最优状态调节器各变量变化轨迹 q 图图4-4表示在表示在a=-1,f=0,q=r=1,f取取0或或1的情况下的情况下,以以tf为参数时黎卡提为参数时黎卡提微分方程的解微分方程的解p(t)的一组曲线。的一组曲线。 这些曲线