圆的相似综合题

1、相似与圆综合题目练习2（2013湛江）如图，已知AB是O的直径，P为O外一点，且OPBC，P=BAC（1）求证：PA为O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长3（2013营口）如图，点C是以AB为直径的O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D（1）求证：AC平分BAD；（2）若CD=1，AC=，求O的半径长4（2013西宁）如图，O是ABC的外接圆，BC为O直径，作CAD=B，且点D在BC的延长线上，CEAD于点E（1）求证：AD是O的切线；（2）若O的半径为8，CE=2，求CD的长6（2013宁夏）在RtABC中，ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作O

2、交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F且BD=BF（1）求证：AC与O相切（2）若BC=6，AB=12，求O的面积7（2013黄冈）如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分DAB（1）求证：DC为O的切线；（2）若O的半径为3，AD=4，求AC的长9（2013朝阳）如图，直线AB与O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求O的半径（2）点E在O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论（3）求弦EC的长 11（2013巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点

3、A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长12（2012岳阳）如图所示，在O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC（1）求证：AC2=ABAF；（2）若O的半径长为2cm，B=60°，求图中阴影部分面积14（2012陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+（1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作

4、出的正方形EFPN的边长；（3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由15（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G若=3，求的值 （1）尝试探究在图1中，过点E作EHAB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_，CG和EH的数量关系是_，的值是_（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m0），则

5、的值是_（用含有m的代数式表示），试写出解答过程（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F若=a，=b，（a0，b0），则的值是_（用含a、b的代数式表示）初中数学组卷一解答题（共15小题）2（2013湛江）如图，已知AB是O的直径，P为O外一点，且OPBC，P=BAC（1）求证：PA为O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质3545438分析：（1）欲证明PA为O的切线，只需证明OAAP；（2）通过相似三角形ABCPAO的对应边成比例来求线段AC的长度解答：（1）证明：AB是O的直径

6、，ACB=90°，BAC+B=90°又OPBC，AOP=B，BAC+AOP=90°P=BACP+AOP=90°，由三角形内角和定理知PAO=90°，即OAAP又OA是的O的半径，PA为O的切线；（2）解：由（1）知，PAO=90°OB=5，OA=OB=5又OP=，在直角APO中，根据勾股定理知PA=，由（1）知，ACB=PAO=90°BAC=P，ABCPOA，=，解得AC=8即AC的长度为8点评：本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）

7、题的关键3（2013营口）如图，点C是以AB为直径的O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D（1）求证：AC平分BAD；（2）若CD=1，AC=，求O的半径长考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质3545438专题：压轴题分析：（1）连接OC先由OA=OC，可得ACO=CAO，再由切线的性质得出OCCD，根据垂直于同一直线的两直线平行得到ADCO，由平行线的性质得DAC=ACO，等量代换后可得DAC=CAO，即AC平分BAD；（2）解法一：如图2，过点O作OEAC于E先在RtADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂径定理求出AE=，再根据两角对应相等的两三角形相似证明AEO

8、ADC，由相似三角形对应边成比例得到，求出AO=，即O的半径为；解法二：如图2，连接BC先在RtADC中，由勾股定理求出AD=3，再根据两角对应相等的两三角形相似证明ABCACD，由相似三角形对应边成比例得到，求出AB=，则O的半径为解答：（1）证明：连接OCOA=OC，ACO=CAOCD切O于C，OCCD，又ADCD，ADCO，DAC=ACO，DAC=CAO，即AC平分BAD；（2）解法一：如图2，过点O作OEAC于E在RtADC中，AD=3，OEAC，AE=AC=CAO=DAC，AEO=ADC=90°，AEOADC，即，AO=，即O的半径为解法二：如图2，连接BC在RtADC中，

9、AD=3AB是O直径，ACB=90°，CAB=DAC，ACB=ADC=90°，ABCACD，即，AB=，=，即O的半径为点评：本题考查了等腰三角形、平行线的性质，勾股定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用4（2013西宁）如图，O是ABC的外接圆，BC为O直径，作CAD=B，且点D在BC的延长线上，CEAD于点E（1）求证：AD是O的切线；（2）若O的半径为8，CE=2，求CD的长考点：切线的判定；解分式方程；相似三角形的判定与性质3545438分析：（1）首先连接OA，由BC为O直径，CEAD，CAD=B，

10、易求得CAD+OAC=90°，即OAD=90°，则可证得AD是O的切线；（2）易证得CEDOAD，然后设CD=x，则OD=x+8，由相似三角形的对应边成比例，可得方程：，继而求得答案解答：（1）证明：连接OA，BC为O的直径，BAC=90°，B+ACB=90°，OA=OC，OAC=OCA，CAD=B，CAD+OAC=90°，即OAD=90°，OAAD，点A在圆上，AD是O的切线；（2）解：CEAD，CED=OAD=90°，CEOA，CEDOAD，CE=2，设CD=x，则OD=x+8，即，解得x=，经检验x=是原分式方程的解，

11、所以CD=点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用5（2013绍兴）在ABC中，CAB=90°，ADBC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上（1）如图1，AC：AB=1：2，EFCB，求证：EF=CD（2）如图2，AC：AB=1：，EFCE，求EF：EG的值考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质3545438专题：压轴题分析：（1）根据同角的余角相等得出CAD=B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明ACDBE

12、F，即可得出EF=CD；（2）作EHAD于H，EQBC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出QEH=90°，则FEQ=GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明EFQEGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值解答：（1）证明：如图1，在ABC中，CAB=90°，ADBC于点D，CAD=B=90°ACBAC：AB=1：2，AB=2AC，点E为AB的中点，AB=2BE，AC=BE在ACD与BEF中，ACDBEF，CD=EF，即EF=CD；（2）

13、解：如图2，作EHAD于H，EQBC于Q，EHAD，EQBC，ADBC，四边形EQDH是矩形，QEH=90°，FEQ=GEH=90°QEG，又EQF=EHG=90°，EFQEGH，EF：EG=EQ：EHAC：AB=1：，CAB=90°，B=30°在BEQ中，BQE=90°，sinB=，EQ=BE在AEH中，AHE=90°，AEH=B=30°，cosAEH=，EH=AE点E为AB的中点，BE=AE，EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质

14、，解直角三角形，综合性较强，有一定难度解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形6（2013宁夏）在RtABC中，ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F且BD=BF（1）求证：AC与O相切（2）若BC=6，AB=12，求O的面积考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质3545438分析：（1）连接OE，求出ODE=F=DEO，推出OEBC，得出OEAC，根据切线的判定推出即可；（2）证AEOACB，得出关于r的方程，求出r即可解答：证明：（1）连接OE，OD=OE，ODE=OED，BD=BF，O

15、DE=F，OED=F，OEBF，AEO=ACB=90°，AC与O相切；（2）解：由（1）知AEO=ACB，又A=A，AOEABC，设O的半径为r，则，解得：r=4，O的面积×42=16点评：本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了方程思想7（2013黄冈）如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分DAB（1）求证：DC为O的切线；（2）若O的半径为3，AD=4，求AC的长考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质3545438分析：（1）连接OC，由O

16、A=OC可以得到OAC=OCA，然后利用角平分线的性质可以证明DAC=OCA，接着利用平行线的判定即可得到OCAD，然后就得到OCCD，由此即可证明直线CD与O相切于C点；（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到ACB=90°，又DAC=OAC，由此可以得到ADCACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题解答：（1）证明：连接OCOA=OCOAC=OCAAC平分DABDAC=OACDAC=OCAOCADADCDOCCD直线CD与O相切于点C；（2）解：连接BC，则ACB=90°DAC=OAC，ADC=ACB=90°，ADCACB，AC2=ADAB，O的半径为3，

17、AD=4，AB=6，AC=2点评：此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全等的条件1=E是解题的关键，（2）（i）根据两次三角形相似求出AP=BF是解题的关键，（ii）判断出路径为三角形的中位线是解题的关键9（2013朝阳）如图，直线AB与O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求O的半径（2）点E在O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论（3）求弦E

18、C的长考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质3545438分析：（1）连接OA，交EC于F，根据切线性质得出OAB=90°，根据勾股定理求出即可；（2）根据AE=AC推出弧AE=弧AC，根据垂径定理求出OAEC，根据平行线判定推出即可；（3）证OFCOAB，求出FC，根据垂径定理得出EC=2FC，代入求出即可解答：（1）解：连接AO，交EC于F，AB切O于A，OAAB，OAB=90°，在RtOAB中，由勾股定理得：OA=6，答：O的半径是6（2）直线EC与AB的位置关系是ECAB证明：AE=AC，弧AE=弧AC，OA过O，OAEC，OAAB，ECAB（3）解：E

19、CAB，OFCOAB，=，=，FC=，OAEC，OA过O，EC=2FC=点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线性质，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力10（2013百色）如图，在等腰梯形ABCD中，DCAB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F（1）求证：ABFECF；（2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长考点：相似三角形的判定与性质；等腰梯形的性质3545438分析：（1）由“两直线平行，内错角相等”推知B=ECF，BAF=E则由“两角法”证得结论；（2）利用（1）中的相似三角形的对应边成比例得到=，即=所以CE

20、=（cm）解答：（1）证明：DCAB，B=ECF，BAF=E，ABFECF（2）解：在等腰梯形ABCD中，AD=BC，AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，BF=3cm由（1）知，ABFECF，=，即=CE=（cm）点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的性质等腰梯形的两腰相等11（2013巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质3545438专题：压轴题分析：（1）利用对应两角相等，证

21、明两个三角形相似ADFDEC；（2）利用ADFDEC，可以求出线段DE的长度；然后在在RtADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度解答：（1）证明：ABCD，ABCD，ADBC，C+B=180°，ADF=DECAFD+AFE=180°，AFE=B，AFD=C在ADF与DEC中，ADFDEC（2）解：ABCD，CD=AB=8由（1）知ADFDEC，DE=12在RtADE中，由勾股定理得：AE=6点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错12（2012岳阳）如图所示，在O中，=，弦AB与弦A

22、C交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC（1）求证：AC2=ABAF；（2）若O的半径长为2cm，B=60°，求图中阴影部分面积考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质3545438专题：几何综合题分析：（1）由=，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出ACF与ABC相似，根据相似得比例可得证；（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由B为60°，求出AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线

23、，可得出AOE为60°，在RtAOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在RtAOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积解答：（1）证明：=，ACD=ABC，又BAC=CAF，ACFABC，=，即AC2=ABAF；（2）解：连接OA，OC，过O作OEAC，垂足为点E，如图所示：ABC=60°，AOC=120°，又OA=OC，AOE=COE=×120°=60°，在RtAOE中，O

24、A=2cm，OE=OAcos60°=1cm，AE=cm，AC=2AE=2cm，则S阴影=S扇形OACSAOC=×2×1=（）cm2点评：此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键14（2012陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+（1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）

25、中作出的正方形EFPN的边长；（3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由考点：位似变换；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质3545438专题：几何综合题；压轴题分析：（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形EFPN，如答图所示；（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式EF+AE+BF=AB，列方程求得正方形EFPN的边长；（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（mn），求得面积和的表达式为：S=+（mn）2，可见S的大小只与m、n的差有关：当m=n时，S取得最小值；当m最大而n最小时，S取得最大值m最大n最小的情形见第（1）（2）问解答：解：（1）如图，正方形EFPN即为所求（2）设正方形EFPN的边长为x，ABC为正三角形，AE=BF=xEF+AE+BF=AB，x+x