图形翻折(与答案)

1、图形翻折图形翻折一.填空题1.（2008·郴州）如图1所示，D是AB边上的中点，将ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上的F处，若DE为折痕，B =500，则BDF = 度解:AD=BD,可证ADEFDE, AD=DF, BD=DF,又B =500，BFD =500，BDF =1800500500=800.2.（2007·成都）如图2所示，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C' 、D'的位置上，E C'交AD于点G已知EFG = 580，那么BEG = 解:可证EFG=FEC=FEG=580, BEG=18002FEG=18002

2、×580=640 3.如图3，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，点B恰好落在AD边上，设此点为F，若AB:BC=4:5则cosDCF的值是 解:可知FC=BC,AB=CD, cosDCF=4. (2009.河南)动手操作:在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图4所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'在BC边上可移动的最大距离为 . 解:当Q点与D重合时，图中的A'1是符合要求的最左边的点，此时A'1D =5,CD=3，

3、在 RtA'1CD中, A'1 C4；当点P与B重合时，图中的A'2是符合要求的最右边的点，此时B A'2 =3,则A'2C=53=2; A'应在A'1 A'2之间移动，所以A'在BC边上可移动的最大距离为C A'1C A'2=42 =2.5. (2009·北京）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使点A落在MN上，落点记为A'，折痕交AD于E.若M、N分别是AD、BC边的中点，则A'N= ；若M、N分别是AD、BC边

4、上距DC最近的n等分点（n2，且n为整数），则A' N= (用含有n的式子表示）. 解 (1)当M、N分别是AD、BC的中点时，易证A'BN是直角三角形，由折叠知A'B = AB1.又BN =，由勾股定理得，A'N=(2)如图，当M、N分别是AD、BC边上距DC最近的n等分点（n2，且n为整数）时，NC，BN=BCNC1易证A'BN为直角三角形，A'B = AB1，由勾股定理得A'N=6.如图6已知矩形纸片ABCD，BC=2,ABD=300,将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为 .解:ABD

5、=300 ,ABD=EBD=EBC=300,可证DEFBCF,可设EF=FC=x,在RtABD中，ABD=300，AD=BC=2, BD=4, AB=BE=2 BF=2x, 在RtBCF中, FC2+BC2=BF2, (2x)2=x2+22 x= , BF=2= 过F作FMBD于M,则在RtBFM中，FBM=300，BF= FM=,即点F到直线DB的距离为。7.将矩形纸片ABCD按如图7所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为 .解: 折叠后得到菱形AECF，可知AD=AO,BC=OC, AC=2BC, BAC=300, 在在RtABD中，BAC=300，AB=3, tanB

6、AC= tan300=, = BC=8.(09河北) 如图8，等边ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm. 解:AD= A'D,AE= A'E,阴影部分的周长=AB+BC+AC=BD+ A'D+BC+EC+ A'E=39.(09深圳) 如图是长方形纸带，DEF=200，将纸带沿EF折叠成图，再沿BF折叠成图，则图中的CFE的度数是 解:根据题意知，FGD=EFG+FEG=2DEF=400, GFC=1400, CFE=GFCEFG=1200

7、.10. 如图10，矩形ABCD中，AB = 2，将D与C分别沿过A和B的直线AE、BF向内折叠，使点D、C重合于点G，且EGF=AGB，则AD = 解:D=C=EGA=FGB=900, 且EGF=AGB，AGB=900,且AG=BG =AD,AGB是等腰直角三角形，又AB=2,2AD2=(2)2,AD=211.如图11，在梯形ABCD中，DCB=900，ABCD, AB=25，BC=24.将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么梯形ABCD的面积为 解:可知AB=BD=25,在RtBDC中，BC=24,AB=25,CD=7,梯形ABCD的面积=(7+25)×24=3841

8、2. (09内江)如图12所示，将ABC沿着DE翻折，若12 =800，则B= 解:1+2+A+CB=36001800=1800,又A+C =1800B,1+2+18002B=1800, 2B=1+2,又12 =800，B=400。13.如图13，矩形纸片ABCD中，AB8 cm,把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF= cm，则AD的长为 cm. 解:可知AB=AF=8, 又AF=，EF=8= 又可证ADFCEF, DF=,在RtADF中，AD=6cm14. (09德州) 将三角形纸片(ABC)按如图14所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕

9、为EF.已知AB = AC=3，BC=4，若以点B'，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是 解:分两种情况 (1)若B'FCABC，则B'FAB，,又可知BF= B'F=x, FC=4x,x=(2) 若FB'CABC，则，B'FC=A,ABC是等腰三角形，FB'C也是等腰三角形，FB'=FC=BF,F是BC的中点，BC=4,BF=2综上:BF的长度是或2二.选择题1.（2007·东营）如图15，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD=6，则AF等于【

10、】 A. 4 B. 3 C. 4 D. 8解:可知AB=AE=6,又E是中点，DE=3,DAE=300,又可知DAE=300, BAF=EAF=300, AD=3,设BF=x,则CF=3x,在RtEFC中，EC=3,EF=x,x2=(3x)2+33,x=4 (选A)2.（2007·江西）如图16所示，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在已处，B C'交AD于点 E，若DBC =22.50，则在不添加任何辅助线的情况下，图中450的角（虚线也视为角的边）有 【 】 A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 (选C)3.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将

11、ABC按如图17那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tanCBE的值是（ ） A. B. C. D. 解:设CE=x,则EA=8x,可知EB=8x, BC=6,在RtBCE中，(8x)2=62+xxx=CE,tanCBE=:6= (选C)4.如图18，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A. 3 cm B.4 cm C. 5 cm D.6 cm 解:E是中点，EC=4,可设NC=x,则可知DN=EN=8x, 在RtBCE中，(8x)2=x2+42 ,x=3 (选A)5.如图19,ABCD是一张矩形纸片，点O

12、为矩形对角线的交点.直线MN经过点0交AD于M，交BC于N.操作:先沿直线MN剪开，并将直角梯形MNCD绕点O旋转 度后（填入一个你认为是正确答案的序号:90；180；270；360)，恰与直角梯形NMAB完全重合；再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转1800后所得到的图形可能是下图中的 （填写正确图形的代号） (选D)三.解答题1.如图(1)，矩形ABCD，AB=3,BC=4,沿对角线BD折叠，求阴影部分的面积。解:设AD与BE相交于M,可知ABMEDM,设AM=x,则MD=MB=4x, 在RtABM中, (4x)2=x2+33,x=SABM=××3= 而SAB

13、D=×3×4=6S阴=6=2.如图(2)，矩形ABCD，AB=4,BC=8,使A,C重合，求折痕EF的长解:可证四边形AECF是平行四边形，可知四边形AECF是菱形，可证APFCDF,可设PF=DF=x,则CF=8x,在RtCDF中,(8x)2=x2+42 x=3,CF=5 又AC与EF互相垂直平分，而AC=4，OC=2在RtCOF中,OF=，EF=23.如图(3)，矩形ABCD，AB=6,BC=10,沿AE折叠，使点D落在BC上的F点上，求(1)DE(2)若O与四边形AFED内切，求内切圆半径解(1)可知BF=8,则FC=2, 设DE=x，则EC=6x, 在RtCEF中,

14、 (6x)2+22=x2,x= (2)可证四边形OMDN,是正方形，设OM=DM=x,则AM=10x可证AOMAED, ,r=4.如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=2,AB=1,求A1点的坐标。解:过A1作A1My轴于M,OA1交BC于N，可证OCNB A1N,得CN=NA1,可设CN=N A1=x,则ON=2x,在RtOCN中,ON2=CN2+OC2,(2x)2=x2+1, x=0.75cm,ON=1.25cm,又CNMA1, =,=MA1=,OM=,A1点的坐标是(,)5.如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，

15、连接OB,将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A1的位置，若OB=，tanBOC=,求点A1的坐标。 解:OB=，tanBOC=BC=1,OC=2,又可证BCFOA1F, FC=FA1,BF=OF,设FC=FA1=x，则BF=OF=2x,在RtBCF中,BF2=BC2+CF2,(2x)2=x2+1, x=,A1F=OF=如图，A1F×OA1=OF×A1G,即×1=×A1G, A1G=,OG=A1点的坐标是(,)6.如图, 矩形纸片OABC是一张放在平面直角坐标系中，0为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA10，OC6.（1）如图（1），在OA上选取一点

16、G，将COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的表达式；（2）如图（2），在OC上选取一点D，将AOD沿AD翻折，使点0落在BC边上，记为E'，求折痕AD所在直线的表达式解:(1)由折法知，四边形OCEG是正方形， OG=OC=6, G(6,0)，可设直线CG的解析式是:y=kx+6,过G(6,0),则k=1,y=x+6(2)可证RtA E'BRtE'DC, =,而在RtAB E'中,B E'=8=,CD=,OD=6=,D(0, )。又A(10,0),可设AD的表达式是y=kx+,则k=,y=x+7.(2008·福州)如

17、图，以矩形OABC的顶点0为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA=3，OC =2，点E是AB的中点在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1)直接写出点E、F的坐标； (2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由解:(1)E(3,1),F(1,2).(2）在RtEBF中,B =900, EF=设点P的坐标为(0, n)，其中n>0, 顶点F(

18、1,2)，设抛物线解析式为y=a(x1)2+2(a0).当EFPF时，EP2PF2，12+(n2)2=5.解得n10(舍去），n24. P(0，4)4=a(01)2+2解得:a=2. 抛物线解析式为y=2(x1)2+2.当EPFP时EP2FP2，（2n）2十1=(1n)29.解得n（舍去）当EF=EP时，EF= < 3,这种情况不存在综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=2(x1)2+2 (3)存在点M,N,使得四边形MNFE的周长最小如图，作点E关于x轴的对称点E'，作点F关于y轴的对称点F'，连接E' F'，分别与x轴y轴交于M、N,则点M、N就是所求

19、点E' (3, 1), F' (1,2) ,NF=NF',ME=ME'.BF=4; BE'=3,FNNMMEFNNMME'E' F'=5.又EF =，FN+NM+ME+EF=5十，此时四边形MNFE的周长最小，最小值是5.8. 矩形纸片OABC是一张放在平面直角坐标系中的，0为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA10，OC6. （1）如图，在AB上取一点M，使得CMB沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B'点，求B'点的坐标； （2)求折痕CM所在直线的解析式； （3）作B'G/AB交CM于点G，若抛物线y

20、x2+m过点G，求抛物线的解析式，并判断以原点0为圆心，OG为半径的圆与抛物线除交点G外，是否还有交点？若有，请直接写出交点坐标解:(1)可得C B'=10,OC=6O B'=8,B'(8,0)(2)由题意知，A B'=2,设BM=x,则M B'=x,AM=6x,在RtAM B'中,x2=(6x)2+22,x=,AM=6=,M(10, ),而C(0,6)，可设CM的解析式是y=kx+6过M(10, )，则k=,CM的解析式是y=x+6(3)B'(8,0)，G点的横坐标是8，而G在直线y=x+6，yG=×8+6=G(8, ),又点

21、G 在yx2+m上，则=×82+m，m=yx2,除G点外还有G点关于y轴的对称点G'(8，)9.如图，四边形OABC是一张平面直角坐标系中的正方形纸片.点0与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC =4，点E为BC的中点，点N的坐标为（3,0)，过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M.现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点. （1)求点G的坐标； (2)求折痕EF所在直线的解析式； （3)设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P,使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，

22、请说明理由解:(1)由题意得:CE=EG=2,EM=1, 在RtGEM中,GM=，GN=4,G(3,4)(2)过F作FHMN于H,可证EMGGHF,=,=,GH=,HN=4-=4-2,F (0,42).可设EF直线的解析式是y=kx+4-2,过E(2,4),k=,y=x+4-2(3)存在四种情况能使PFG是等腰三角形。FG=CF=4(42)=2当P1F=FG时P1(，1-2); 当P2G=FG时P2(3，4+);当P3F=P3G时P3(1，4-); 当P4F=FG时P4(，7-2)10. (2007·龙岩)如图，在ABC中，A=900，AB=4，AC=3. M是AB边上的动点（M不与

23、A,B重合），MNBC交AC于点N，AMN关于MN的对称图形是PMN,设AM=x. (1)用含x的式子表示AMN的面积（不必写出过程）；(2)当x为何值时，点P恰好落在BC边上；(3)在动点M的运动过程中，记PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的关系式解：（1）MNBC，AN=ABCNMP(2)SAMN=×AM×AN=×x×=x2（2）如图(2)，由轴对称性质知：AM=PM，AMN=PMN又MNBC，PMN=MPB,AMN=B, B=MPB,AM=PM=BM,点M是AB的中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上（3）i）以下分两种情

24、况讨论：ABCNMP(3)当0x2时，易见y=x2当2x4时，如图(3)，设PM、PN分别交BC于E、F由（2）知ME=MB=4x，PE=PMME=x-(4-x)=2x-4由题意知PEFABC, =SPEF=(x-2)2,y= SPMN- SPEF=x2-(x-2)2=-x2+6x-6y=ii）当0x2时， y=x2,易知y最大=×22=又当2x4时，y= -x2+6x-6=-(x-)2+2当x=时（符合2x4），y最大=2综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为211.如图，在梯形纸片ABCD中，ADBC，ADCD,将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点F出，折痕DE

25、交BC于点E，连接FE。(1)求证:四边形CDFE是菱形。(2)若BC=CD+AD,试判断四边形ABED的形状，并加以证明。(1)证明:可证FDECED,ECFD,EC=FD,四边形ECDF是平行四边形，又CD=FD,四边形ECDF是菱形(2) 四边形ABED是平行四边形 证明:由(1)知，CD=FD=EC,又BC=CD+AD，AD=BCCD=BE四边形ABED是平行四边12.(2006·开封25中)如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，DBC450，折叠梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB,BC于点F,E，若AD=2，BC=8. （1)求BE的长； （2）求tanCDE解

26、:由折叠可知DBC=BDE450，DEB900，则DE是BC边上的高，又等腰梯形ABCD，AD=2，BC=8，则EC=(BCAD)÷2=(8-2)÷2=3，BE=5=DE(2) 在RtDEC中,DE=5,EC=3,tanCDE=13.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D/处，折痕为EF.（1)求证：ABE AD/F;(2)连结CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论解: (1)证明：由折叠可知: D=D', CD =AD/, BCD =D/AE. 四边形ABCD是平行四边形， B=D,AB = CD，BCD =BAD.B=

27、D',AB =AD/, D/AE=BAD，即12=2+3.1=3. ABE AD/F. （2）四边形AECF是菱形 由折叠可知:AE =EC, 4=5.四边形ABCD是平行四边形， ADBC.5 =6.4=6.AF =AE.AE=EC，AF=EC.又AFEC，四边形AECF是平行四边形AF=AE，四边形AECF是菱形14.（2007湖北荆门课改，12分）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0,0)，A(4,0)，C(0,3)，点P是OA边上的动点（与点O,A不重合）现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使

28、直线PD，PF重合（1）设P(x,0)，E(0,y)，求y关于x轴的函数关系式，并求y的最大值；（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P,B,E的抛物线的函数关系式；（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEO是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标图解：（1）由已知PB平分APB，PE平分OPF，且PD,PF重合，则BPE=900OPE+APB=900,又APB+ABP=900, OPE=PBA,RtPOERtBAP 即图2且当x=2时，y有最大值（2）由已知，PAB，POE均为人等腰直角三角形，可得p(1,0),E(0,1),B(4,3

29、)，设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c，则（3）由（2）知EPB=900，即点Q与B重合时满足条件直线PB为y=x-1，与y轴交于点(0,-1)将PB向上平移2个单位则过点E(0,1)，该直线为y=x+1由得Q(5,6)故该抛物线上存在两点Q(4,3),(5,6)满足条件CDOABEO1C1xy15.（2007广东茂名课改）如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，ABx轴， B（3，），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，OAD=300,折叠后，点O落在点O1，点C落在点C1，并且DO1与DC1在同一直线上（1）求折痕AD 所在直线的解析式； （2）求经过三点O，C1，C的抛物线的解析式；（3）若P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，P与两坐标轴都相切时，求P半径R的值 解：（1）由已知得OA=,OAD=300CDOABEO1C1xyFOD=OA·tan300=×=1A(0,),D(1,0)设直线AD的解析式为y=kx+b把A，D坐标代入上式得：，解得：，折痕AD所在的直线的解析式是y=-x+（2）过C1作C1FOC于点F