合情推理与演绎推理考点与题型归纳

1、合情推理与演绎推理考点与题型归纳一、基础知识1. 合情推理(1) 归纳推理 定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳). 特点：由部分到整体、由个别到一般的推理.(2) 类比推理 定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). 特点：由特殊到特殊的推理.类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误.(3) 合情推理归纳推

2、理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.戸合情推理的关注点(1) 合情推理是合乎情理的推理.(2) 合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向.2 演绎推理(1) 演绎推理从一般性的原理出发， 推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.J演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.(2) “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提 已知的一般原理； 小前提一一所研究的特殊情况； 结论一一根据一般原理，对特殊情况做出的判

3、断.二、常用结论(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正 确时，得到的结论一定正确.(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理.考点一归纳推理考法(一)与数字有关的推理,423,344145, 55524，则按照以上规律,A. 25若C. 63解析具有“穿墙术”，则 n=()具有“穿墙术”，则n = 92 1 = 80.，5塩可得若D答案5524，典例聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自 诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：考法(二)与式子有关的推理典例已知 f（x）=食，f1

4、（x）= f ' （x）, f2（x） = f1（x）',fn+ 1（x） = fn（x）', n N *，经1 一 xx 23 一 x计算：f!（x） =T, f2（x）= X2, f3（x） = 7",，照此规律，贝 Vfn（x）=eee1 n x n解析因为导数分母都是ex,分子为(1)n(x n),所以fn(x)= 药n、1 x n答案旷考法(三)与图形有关的推理典例分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如图所示的分形规律可得如图（2）所示的一个树形图若记图

5、 （2）中第n行黑圈的个数为 an,贝a2 019 =解析根据题图（1）所示的分形规律，可知 1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑 圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图 中的树形图的第1行记为（1,0），第2行记为（2,1），第 3行记为（5,4），第4行的白圈数为2 X 5+ 4= 14,黑圈数为5+ 2 X 4= 13，所以第4行的“坐标”为（14,13）,同理可得第5行的“坐标” 为(41,40),第6行的“坐标”为(122,121),.各行黑圈数乘2,分别是0,2,8,26,80,31 2 018 - 1所以 a2 019 =2+ 1,，由以上可推测出一个一般性结论：对于n N*，贝U1

6、 + 2+ n + + 2+ 1 =解析：由 1= 12,1+ 2+ 1 = 4= 22,1 + 2+ 3+ 2 + 1 = 9 = 32,1 + 2+ 3+ 4 + 3 + 2+ 1 = 16 = 4题组训练1. (2019兰州实战性测试)观察下列式子：1,1 + 2 + 1,1 + 2 + 3 + 2+ 1,1 + 2+ 3 + 4+ 3 + 2,，归纳猜想可得 1 + 2+ n+ 2+ 1 = n2.答案：n22. 某种平面分形图如图所示， 一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1,两两 夹角为120°二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来线段，且

7、这两条线段与原线段两两夹角为120°，依此规律得到 n级分形图.则n级分形图中共有 条线段.解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知，一级分形图有 3 = 3X 2- 3条线段， 二级分形图有9= 3 X 22- 3条线段，三级分形图中有21 = 3 X 23 - 3条线段，按此规律n级分形图中的线段条数 an = 3 X 2n- 3.答案：3 X 2n- 3考点二类比推理典例我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦.若 a, b, c为直角三角形的三边，其中 c为斜边，则a2 + b2= c2,称这个定 理为勾股定理.现将这一定

8、理推广到立体几何中：在四面体O-ABC中，/ AOB=/ BOC =/ COA = 90° S为顶点O所对面 ABC的面积，Si, S2, S3分别为侧面 OAB, OAC ,OBC的面积，则下列选项中对于S, Si , S2 ,S3满足的关系描述正确的为 ()A .S?+ S2+ SB .o111s2= S1+ S2+ SC. S= Si + S2+ S3D .1 1 1 s= + + S= S1 + S2+ S3解析如图，作0D丄BC于点D，连接AD，贝U AD丄BC,从而S2= 2bc AD 2= 4bc2 ad2=4BC2 - OA2+ OD2) = 4(OB2+ OC2)

9、OA2+ 11 1 1BC2 OD2= 2OB OA 2+ 2°C OA 2+ 2BC OD 2=目+ & + s3.答案A题组训练1. 给出下面类比推理（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）: “若 a，b R,则 a b= 0? a = b”类比推出“ a, c C,贝U a c= 0? a = c”； “若 a, b, c, d R,则复数 a+ bi = c+ di? a= c, b= d” 类比推出“ a, b, c, d Q,则 a+ b '2 = c+ d 2? a = c, b= d ”； “ a,bR,贝Ua b>0? a> b”类

10、比推出“若a, bC,贝Ua b>0? a>b”； “若 x R,则 |x|v 1? 1 vxv 1” 类比推出“若 z C,则 |z|v 1? 1v zv 1 ”.其中类比结论正确的个数为（）A . 1B . 2C. 3D . 4解析：选B 类比结论正确的有 .2. 设等差数列an的前n项和为Sn,则S3, S6 S3 , S9 S6, S12 S9成等差数列.类比T12以上结论：设等比数列bn的前n项积为Tn,则T3, , ,=成等比数列.解析：等比数列bn的前n项积为Tn,贝V T3= b1b2b3, T6= b1b2b6, T9= b1b2b9,T12= b1b2 b12,

11、所以b4b5b6,T9T12=b7b8b9, = b10 bnb12,所以T3,T6T3T9T6T9的公比为q9,因此T3,T6T3T9T6T12T9成等比数列.考点三演绎推理n+ 2*典例数列an的前n项和记为Sn,已知ai= 1, an+1= Sn(n N ).证明:sn(1) 数列sn是等比数列；(2) Sn + 1 = 4 an.n+ 2证明(1) Tan + 1= Sn+ 1 Sn , an+ 1 = Sn,(n+ 2)Sn= n(Sn + 1 Sn), 即即 nSn+1= 2(n+ 1)Sn.Sn(小前提)Sn+ 1 故 -n+ 1Sn n是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)

12、(大前提是等比数列的定义 )Sn+ 1Sn 1由(1)可知=4 (n> 2),n+ 1 n 1Sn1n 1 + 2 - Sn + 1 = 4(n + 1) = 4 -Si 1 =n1n14an(n > 2).(小前提)又'/a2= 3S1= 3, S2= a1+ a2= 1 + 3= 4= 4a1,(小前提)对于任意正整数n,都有 3+1 = 4an.(结论)解题技法演绎推理问题求解策略(1) 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论.(2) 演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般 地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分

13、条件作为大前提.题组训练1. 正弦函数是奇函数，f(x)= sin(/+ 1)是正弦函数，因此f(x) = sin (x2+ 1)是奇函数，以 上推理()A .结论正确B .大前提不正确C.小前提不正确D .全不正确解析：选C 因为f(x) = sin(x2+ 1)不是正弦函数，所以小前提不正确2. 已知函数 y= f(x)满足：对任意 a, b R, a*b，都有 af(a) + bf(b)>af(b)+ bf(a),试证 明：f(x)为R上的单调增函数.证明：设 XI, X2 R,取 X1VX2,则由题意得 x1f(x1)x2f(x2)>x1f(x2)x2f(x1)，Xlf(x

14、i) f(X2) + X2f(X2) f(X1)>0 , (X2X1)f(X2)f(X1)>0，Xl<X2,.f(X2) f(Xl)>0 , f(X2)>f(Xl).y= f(X)为R上的单调增函数.考点四 逻辑推理问题典例(2019安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从 A, B, C, D , E五个镇选 择参观地点：若去 A镇，也必须去B镇；D, E两镇至少去一镇； B，C两镇只去一 镇；C，D两镇都去或者都不去；若去 E镇，则A，D两镇也必须去.则该参观团至多去了()A.B,D 两镇B.A, B 两镇C.C,D 两镇D.A, C 两镇解析假设去 A 镇,

15、则也必须去B 镇,但去 B 镇则不能去 C 镇,不去 C 镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D, E镇都不去则不符合条件.故若去A镇则无法按要求完成参观.同理, 假设不去 A 镇去 B 镇,同样无法完成参观. 要按照要求完成参观, 一定不能去 B 镇，而不去B镇的前提是不去 A镇.故 A, B 两镇都不能去,则一定不能去 E 镇,所以能去的地方只有 C, D 两镇.故选 C. 答案 C 解题技法 逻辑推理问题求解的 2 种途径 求解此类推理性试题,要根据所涉及的人与物进行判断,通常有两种途径：(1) 根据条件直接进行推理判断；(2) 假设一种情况成立或不成立, 然后以此为出发点, 联系

16、条件, 判断是否与题设条件相 符合. 题组训练 1. 数学老师给同学们出了一道证明题,以下四人中只有一人说了真话,只有一人会证 明此题. 甲：“我不会证明. ”乙： “丙会证明. ”丙： “丁会证明. ”丁：“我不会证明.根据以上条件，可以判断会证明此题的人是（）A .甲B .乙C.丙D .丁解析：选A 四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.2. （2019大连模拟）甲、乙、丙、丁、戊和己 6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人.已知：

17、甲与乙正面相对；丙与丁不相邻，也不正面相对.若己与乙不相邻，则以下选项正确的是（）A 若甲与戊相邻，则丁与己正面相对B甲与丁相邻C.戊与己相邻D .若丙与戊不相邻，则丙与己相邻解析：选D 由题意可得到甲、 乙位置的示意图如图（1），因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1 ,由己和乙不相邻可知，己只能在1或2,故丙和丁只能在 3和4,4和3,示意图如图 和图，由此可排除B、C两项.对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁 可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确故选D.图(2)图(3)课时跟踪检测1 .下列三句话按三段论的

18、模式排列顺序正确的是（）2 020能被2整除；一切偶数都能被 2整除；2 020是偶数.A .B .C.D .解析：选C 根据题意并按照演绎推理的三段论可知，大前提：一切偶数都能被除小前提：2 020是偶数结论：2 020能被2整除所以正确的排列顺序是故选C.2. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A. 设数列an的前n项和为Sn.由an= 2n-1,求出Si= 12, S2= 22, S3= 32,，推断: Si= n2B .由f(x) = xcos x满足f( x) = f(x)对？ x R都成立，推断：f(x) = xcos x为奇函数 x2 v2C.由圆x2 + y2= r2的面

19、积S= n2,推断：椭圆 孑+ bj2= 1(a> b> 0)的面积S= TiabD.由(1 + 1)2>21, (2 + 1)2>22, (3 + 1)2>23,，推断：对一切 n N*, (n+ 1)2>2n解析：选A 选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列an是等差数列，n 1| 2n1其前n项和等于Sn= n2,选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确.3. 观察一列算式:1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4, 2?3,3?2,4?1 ,则式子 3?5 是第( )A. 22 项B. 23项C. 24 项D . 25 项解析

20、：选C 由题意可知，两数的和为 2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3 个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3?5是和为8 的第3项，所以为该列算式的第 24项.故选C.4. (2018南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是()A .甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B. 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C. 甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D .甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小

21、”可以推得丙是农民， 所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人.所 以选C.5. 若等差数列an的前n项之和为Sn,则一定有S2n-1= (2n 1)an成立.若等比数列bn的前n项之积为Tn,类比等差数列的性质，则有 ()A . T2n- 1= (2n 1) + bnB . T2n-1= (2n 1)bnC. T2n1= (2n 1)bnD . T2n 1=应旷1解析：选D 在等差数列an中，ai + a2n1= 2an，a2 + a2n 2= 2an,B，故有 S2n i = (2n 1)an,在等比数列 bn中，b1b2n1= bn, b2 b2n

22、2= b2,，故有 T2n 1 = b1 b2 b2n1= b2n 1.6. 我国的刺绣有着悠久的历史,如图, (1)(2)(3)(4) 为刺绣最简单的四个图案, 这些图案都是由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为()A. f(n)= 2n 1B. f(n)= 2n2C. f(n)= 2n2 2nD. f(n)= 2n2 2n1解析：选D 因为f(2) f(1) = 4, f(3) f(2) = 8, f(4) f(3) = 12,，结合图形不难得到f(n) f(n 1) = 4(n 1

23、)，累加得 f(n) f(1) = 2n(n 1) = 2n2 2n，故 f(n)= 2n2 2n+ 1.7. 在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则,将某些数染成红色：先染1；再染两个偶数 2,4；再染 4 后面最近的 3 个连续奇数 5,7,9；再染 9 后面的最近的 4 个连续偶数 10,12,14,16;再染16后面最近的5个连续奇数17,19,21,23, 25,，按此规则一直染下去， 得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17 ,，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 019 个数是 ()A . 3 971B . 3 972C. 3 973D. 3

24、974解析：选D 按照染色步骤对数字进行分组由题意可知，第1组有1个数，第2组有n n+ 12个数，根据等差数列的前n项和公式，可知前 n组共有 2 个数.由于2 016 =63x 63+ 1264 x 64+ 1v 2 019 V= 2 080,因此，第2 019个数是第64组的第3个数，由于第1组最后一个数是1,第2组最后一个数是 4,第3组最后一个数是 9,，所以第n 组最后一个数是 n2,因此第63组最后一个数为632= 3 969,第64组为偶数组，其第1个数为3 970,第2个数为3 972，第3个数为3 974,故选 D.&观察下列等式：1 = 12 + 3 + 4= 9

25、3 + 4 + 5+ 6 + 7= 254 + 5+ 6+ 7 + 8 + 9+ 10= 49照此规律，第n个等式为解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为 1,2,3 ,，则第n行最左侧的数为 n；每个等式左侧的数的个数分别为1,3,5,，则第n个等式左侧的数的个数为2n 1,而第n个等式右侧为(2n 1)2,所以第n个等式为n + (n + 1) + (n+ 2) + (3n 2) = (2n 1)2.答案：n + (n + 1) + (n + 2) + + (3n 2) = (2n 1)29. (2018上饶二模)二维空间中，圆的一维测度 倜长)1 = 2 n,二维测度(面积)S=

26、n2;三4维空间中，球的二维测度(表面积)S= 4n2,三维测度(体积)V = § n3应用合情推理，若四维空 间中，“特级球”的三维测度V = 12n3,则其四维测度 W=.解析：二维空间中圆的一维测度(周长)1 = 2n,二维测度(面积)S=n2,观察发现S'=41，三维空间中球的二维测度 (表面积)S= 4 n2,三维测度(体积)V = - n3,观察发现V' = S, 四维空间中“特级球”的三维测度 V= 12 n3，猜想其四维测度 W满足W' = V = 12 n3, / W= 3 nr4.答案：3 nr410. 在数列an中，a1= 2, an+1=入 n+ 厂1 + (2 ?)2n( n N*)，其中 >,an的通项公式是.解析：ai = 2, a2= 2(2R ?+ 22,a3=人 f+ 22)+ f+ (2 入缶 2f+ 23,a4= ?(2F+ 23) + 於+ (2 l) 亠 3t + 2由此猜想出数列an的通项公式为an= (n 1) l+ 2n.答案：an = (n 1) l + 2n11. (2019吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当 FB丄AB