7章二进小波变换

1、第7章二进小波变换连续二进小波变换二进小波的构造及一些常用的二进小波离散二进小波变换的快速算法二维二进小波变换及其快速算法二进小波及二进小波变换在连续小波变换中，令参数a=2j9 jZ ,而参数b仍取连续值. 则有二进小波：畑=2亠中一两这时，f(t)"(R)的二进小波变换定义为：重构问题：0(。在满足什么条件下，可以由二进小波变换 WTf(2b)jE Z.b e R重构原信号？卷积定义:假定小波函数卩为实函数，尺度符号改用s表示，相应于(S川)的连续 小波变换记为Wf(s.u)当s = 2jjwZ时，连续二进小波变换为：时(2j) = 22(/* 必)(町其中, 2>(m)

2、= 2；(-w)=清华大学计算机系孙延奎2009清华大学计算机系孙延奎2009重构问题：肖W 在满足什么条件下，可以由二进小波变换Wf(2y?w)| jeZ.ueR 重构原信号?注意与当前文献中各种定义的区别.Wf(s,u) = f*y7s(u)时(x)二/*(")设函数岁wE（R）n（R）,如果存在正常数A与B ,且0< A<B<00 ,使得,/a）&R-O,A 5 工讥2心）< B则Wld曰时0训;<B2jeZ Z且存在jj满足/a> e R -0,工歹（2心#（2心）=1jeZ使得原信号可由二进小波变换得到重构:M）驾古（时（2勺）（

3、0二进小波及其稳定性条件二进小波变换的稳定性条件二进小波及其重构小波二进小波变换具有平移不变性二进小波是允许小波离散小波是二进小波basic admissibledyadic discrete 1 ）灼（6姑丿二进小波的构造1离散小波是二进小波，这时用于计算二进小波变换时快速计算算法 是什么？2. 希望能够构造出非离散小波的二进小波，并给出二进小波的快速算 法3. 通常希望所应用的二进小波满足一些附加条件，如是一个平滑函数 的导数这在信号边缘提取方面很有用.4. 构造可用于快速计算的具有有限长的二进小波滤波器.设h,g,hg都是有限滤波器，（血）找（劲/（血）損（劲是其频域表示 久（0）=血找

4、（0） = 0； 0,?0" 都是能量有限的函数，且满足P=1+00 $)=n卩=1若 Gd(e)二 f从2f 二令32)00/2) WS)=言g(Q/2)0(<y/2)Ah(Tpcoi£c八1- z、q(、'近 '=/?(q/2)0(q/2)0(cd) = -=g (<y/2)(<y/2)*) + g(G?) Q (劲=2(3-34)第一式则0是卩的一个重构小波。A(2- hco) |< gco)7 <B(2- ha>) j I S 卩为二进小波较简单的情况:清华大学计算机系孙延奎2009清华大学计算机系孙延奎2009清

5、华大学计算机系孙延奎2009清华大学计算机系孙延奎2009八1ZX八如）=才0如/2）1C（6?）=艺/（2 心）歹（2心）力9）=石迪/2）0（创2）/I /厉直（创2）0（创2）p（0） + ?（fi?）Q3） = 2A（O）= >/2,g =0清华大学计算机系孙延奎2009最简单的情况:清华大学计算机系孙延奎2009清华大学计算机系孙延奎20092=1卩是二进小波其他附加条件，如有 限滤波器及某一光 滑函数的导数等正交二进小波非正交二进小波二进对偶尺度函数与对 偶小波h = h.g = g/1/X/X0（0） = -j= h（co / 2）0（6? / 2）1A力佃）二-/7$（0

6、/2）0（创2）_K+“r卩厂|2匚）乞机2匕）|”佃）| +惨（劲| =2I/（0）二血找（0）二0推论:从式(334)可知,正交小波一定是二进小波讨论:正交小波必满足左|讥2切=1反之，如何?j=s例72表明，反之不成立！ ！清华大学计算机系孙延奎2009些常用的二进小波例71非正交的二次样条二进小波令0（0）为二次盒样条函数的Fourier变换:A0（血）=厂 sii 宓 / 2)、co! 20S)69 丫cos 2丿.co -I e 2.CD取 g(6?) = 2/2 siriye 22 i() =2.V2 -/fe z sin >97厶CDcos2丿=-j=g(<v/2)

7、(at/ 2)=ia)( sin(6?/4)>col 4 丿dt&（/）=仇（21）平滑函数肖 是一个二进小波（验证!）清华大学计算机系孙延奎20091.系数计算方法参阅参考文献,.多尺度B样条小波边缘检测算子，中国科学（A辑）,1995hj>l2gfl/42 gn/y/2清华大学计算机系孙延奎2009清华大学计算机系孙延奎20092.小波图形的特点清华大学计算机系孙延奎2009清华大学计算机系孙延奎2009与高斯小波的比较。0.6 r图71非正交二次二进样条小波3.二进小波的做图方法1）用小波的解析表达式；2）用upcoef画图的合理性。实验发现，这种做图方法是正确的，但

8、如何从 理论上进行证明其有效性是需要解决的问题应该可以证明!！例72正交的二次样条二进小波清华大学计算机系孙延奎2009令0(0)为二次盒样条函数的Fourier变换:X0(耐=siig/2)(3)/2gw吗牛近2 =203)丄严646e64/、3(CD COSI2丿15 4415©o o6464 64ilcoICD6e64-i2a)清华大学计算机系孙延奎20093g 3) = £ 久严恆 =g )g* )n=-2由教材参考文献5中第28页，h与g的数值如下:K = K-n > 8 n =81-,其中，当 n>3 时 hn = gn =0 hj = 0.3750

9、9A2/V2 = 0.1250再/2 = 0.0000gj 近=0.579& g2“ = 0.0869, g3/V2 = 0.0061清华大学计算机系孙延奎2009清华大学计算机系孙延奎2009正交的二次二进样条小波讨论：gn是如何求出的？该结论由教材参考文献5中 第28页给出没有具体的推导 过程该滤波器在许多论文中 被用于信号的边缘检测.但经过验证，该结论是不正确 的!！-般问题：如何通过下式求解g（z）? ggf 2-力力（汀）N二兔+工4（艺+广）/=!例72正交的三次样条二进小波令0(0)为三次盒样条函数的Fourier变换:/S09) =<sin(6t>/2)Y&

10、lt;69/2)类似地，可以求出h 和g : hn = h_n,gn = -g_n ； hn =gn=0 4hQ / y/2 = 0.3750曲 / >/2 = 0.2500,码 / >/2 = 0.0625旳=/i4 = 0g° = 0,幻 /= 0.59261,/72 = 0.10872, g3 / Ji = 0.01643,% /血=0.00008另一个解杨福生著,P151：hn = h_n, gn = _ghQ /y/2 = 0.3750, % / /2 = 0.2500, % />/2 = 0.0625,7 = /i4 = 0gj 忑二 0.59261?

11、g2 />/2 = 0.10872, g3 / 72 = 0.01643, gj 迈二 0.00008问题：是否都正确？这同样涉及到上面提到的一般求解问题.能否给出正交的任意m次样条二进小波的求解公式?翩譌册小波翩歳时相同？正交的任意m次样条二进小波的求解孙延奎，丁辰摘要：研究一类样条二进小波滤波器的构造方法与性质。给出这类二 进小波滤波器的一般构造方法，证明了这种二进小波的低通滤波器是 对称的，高通滤波器不具有对称性。最后，给出二次与三次样条二进 小波滤波器的构造实例，纠正了当前文献中的有关差错。（在审中）正交的任意m次样条二进小波的求解正交二次样条小波滤波器fi.0/v2 = hi/

12、V'2 = 03750, ft_L/v2 = h乜迅=H1250g g_5o? 5i? g?g = 0:0335,0;2253, 0.6736,-0.9324修正过!！正交三次样条小波滤波器hj他=0B750, h*迫=h&迥=0.2500, h_2/v = hj 近=00625g = g-空g-i,g(hQ,ffij= -0.04628, -0.13844, -0.82967,0.84555,0.16884例7.3零对称和反对称二进样条小波的构造m阶中心b样条的定义。记-<t<-2 2 其他必二U呐沁2称必为加阶中心B样条。m+1阶中心B样条必+卫)与m次盒样条0

13、上)的区别与联系: 当m为奇数时，em (r) = A/,+1 (r)当m为偶数时，em (?)由凡曲 向右平移1/2得到。以下分偶数阶和奇数阶中心B样条介绍零对称和反对称二进小波的构造方法。例73零对称和反对称二进样条小波的构造（续）以偶数阶中心B样条为基础的二进样条小波0（。=必“ h（CD）=y/20)cos 2丿2 + /+严、4>/1八八n0S）=石力（0）0（0/2） 却V1卫N）n维实数组R=1清华大学计算机系孙延奎2009清华大学计算机系孙延奎2009k=lN、TJ2_”(e)I八/(") =话 g(Q/2)$(e/2)g(e)二 dsgn(e) 1 +工 &#

14、169;cos 畑 J2- A(6?)=1N、T (吕)I Ig(o>)= 1+， cos畑 J2- 7z(fy) g（6c>） = 1+畋 COS 畑 k=l1=V2/（"） =厉g（e/2）$（Q/2）零对称的二进样条小波g(6?) = ZSgn(6i?) 1 +工 QrCOS 畑 2=11八,/(") =厉g(Q/2)$(0/2)0(劲=石 g(0/2)$(e/2)零反对称的二进样条小波清华大学计算机系孙延奎2009 21IIiIIIIi-0.4 i1111111-4-3-2-101234由0(r) =凡(r)构造的零对称二进样条小波0.8 r0.6-0.

15、4-0.2-0- -0.2- -0.4- -0.6-0.8 l-43 101234零反对称二进样条小波清华大学计算机系孙延奎2009清华大学计算机系孙延奎2009例73零对称和反对称二进样条小波的构造（续）以奇数阶中心B样条为基础的二进样条小波 礼”+】=护 3） N2m+l（）&）= VI 解决方法：。（/） = *也”+1z、2w?+lCDCOS I 2丿,0（2力）=-/1（69）0（69）,力（0）= J2（COS0）'5/22m+lg(Q)= 1+工绞 coskco J2- j(o)k=lNg(6c>)= 1+2 cos kco J、 k=l丿 V1八/(&qu

16、ot;) =厉g(e/2)$(Q/2) 0(e) =石g(e/2)$(Q/2) 零对称的二进样条小波2 - A (co)g(6?) = zsgn(6<?) 1 +工©cos畑 J2- A(6?)I R=i丿 YA( Ng(<y) = zsgn(<y) 1 +工 ©cos 畑 e=ii八/(") =石 g(e/2)3(0/2) 0(Q)=石 g(0/2)$(e/2) 零反对称的二进样条小波2- A(<y)由心 1/2汕（2）构造的零对称二进样条小波零反对称二进样条小波一些常用的二进小波Marr小波作为二进小波肖(/)=亠(1- /2)

17、6;-宀2注意：与教材上相差一个系数利用滤波器进行计算时的滤波器系数如下(作为二进小波)杨福生著,P148:00.43170.711810.2864-0.230920.0450-0.11203-0.0393-0.02264-0.01320.006250.00320.0039问题：这些滤波器系数是如何计算得到的?更正：应该是关于零对称的系数？离散二进小波变换的恢速算法 介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以 及如何采用滤波器组进行快速计算。/(0 0,1 2-J,J>0小波变换的尺度为：为表述方便，令/(0 = /() N = 2/W UN11 1 1 2八2“小波变换的尺度为

18、：2°,21,-,27由于s=2i,因此，相应的分 辨率j为：由于s=2i,因此，相应的分 辨率j为：0,1,.,/2丿，町=时(”2丿,如何理解釆样间距为1的离散信号是一个被平滑的连续函数的均 匀采样？ 必/0,0 h.g.h.g设aQ=aQ是釆样间距为1的离散信号，贝U存在f 訪(R) I n)neZ使得【参考文献5中定理2.6】£ =(/*)(«),VneZ离散二进小波变换的定义：对任意;>0，记玄=22(/*£)(町neZ对,在整数格点上，二进小波系数由下式给出：百=wf(2y,n) = 2y/2 (/ *)(«) neZ则对任意

19、尺度27 >1 ,离散信号序列dl,d2,-,dJ,aJ称为a的离散二进小波变换。快速算法的基本求解思想：将离散的问题转化为连续的问题处理,然后给出离散的处理结果.清华大学计算机系孙延奎2009a1 =aJhj. dj+l=aJga丿+1aj+iJ+2讨论：在Matlab中，二进小波变换没肴对应 的实现函数，需要 自己编写.aj+i +dj+i * gjad3 X丄 T2与第4章中的相应 算法相比，推导过 程不同.注意分解与重构滤 波器的不同符号.XI f清华大学计算机系孙延奎2009256个采样值9次二进小波分解a)d2A Ar,Rb)清华大学计算机系孙延奎2009二维二进小波变换的一

20、般概念主要介绍如何由一维二进小波，构造可分离的二维二进小 波，并给岀离散二进小波变换的快速算法。通过两个小波0（兀）和肖2（兀y）定义,这里假设这两个小波都是实函数。（2丿2丿丿 （x yE丿2丿和位置（兀）的小波变换则对任意的函数f（x,y）el（R2）, /在尺度由两个分量来定义，即,y） =制匸 f （“, v"（罗，牙”皿=2丿（/ *铐J（x,y） 吟（2丿,1）=今口訂仏少2（丁,养弓如"（/*必）（1） 我们称函数集合 Wf = wlf（2j,x,y）,W2f（2j,x,yjez 为 /（x,y）的二维二进小波变换。®，Q J = 2丿 / （

21、69;, ®）沪（2他 2 叫）以 / （®，®） = 2； f （© ®）""（2 丿 a）x, 2 丿a）y）若存在A0和B>0,使得血= （%®）w疋_（0,0）弘斗眉（2恤,2他）+”2（2他,2他）卜£ 则存在重构小波0,孑,其Fourier变换满足+00八£0（2恤2%）0"（2丿2他,）+ 以（2恤.2叫）产（2丿2他.）二1J=00使得/（"）=左土何/（2/,）*0；）（1）+ （呵（2_,）*0；）（3）j=8 厶称这两个小波旷（兀y）和i/2（x,

22、y）为二维二进小波.二维可分离二进小波变换构造的一般框架方法：利用二维二进小波构造可分离的二维二进小波为简单起见, 仅考虑0=/的情况.力(劲+g(劲QS) = 26(0)广(0)=八22 + hco)g(Q)2龙周期/(&>) 2兀周期20(兀)=以兀)y(y) 0气兀 y) = y(兀)0(y) 0(x,y) = 0(x)g(y) 沂 gy) = £(x)/(y)|0(兀y)和02(i)是重构小波。问题:如何验证0(s)和以(无)满足稳定性条件?常用的二维可分离二进小波例7.4由非正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波取00）=1,则川）=屈）S 2131

23、521-/_3=_/2=/_2=_/1=/_1=_/0=_当 n>3 时，ln =l_n=0二进小波肖2（兀）=血（2兀）0（y）重构小波沂（兀 y） = <f（x）0（y）/2；01 :例75由正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波a22/if co取 G（e）二I（劲,贝|y（f） = $（r）?（q）=清华大学计算机系孙延奎2009清华大学计算机系孙延奎2009清华大学计算机系孙延奎2009清华大学计算机系孙延奎2009其中一组解如下：I = /_lJoJlJ2 = 0.1932,1.1262,0.0139,0.0809修正过!！ 二进小波/重构小波J(x,y) =

24、 (x)/(y)心)=亠(化桥©b(x,y)*(x)0(y)忑(2八2丿注意：教材参考文献【5】等没有给出滤波器I的求解方法。由正交的三次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波取 O) = f(Q),贝!J /(/) = §“効2 = 2+ "(Q)_2/h(a) = y/2 cos彳|S 1(0) =1+ cosy其中一组解如下：/X/j)uJ修正过!I = L2J_lJoJ1J2= 1.1098,0.1795,0.0938,0.0276,0.0035二进小波/重构小波”1（兀 y） = 0（x）y（y） ”2（兀 y） = y（x）0（y）例7.6由零对称和反

25、对称二进小波构造可分离的二维二进小波取$（劲二厶V2l + 2bk coskco J2 + hco)k=丿、TM2>I<1k=lM+ 工仇 coskco k=lJ2+ 力(0)佝上2,九）实数组则利用对称二进小波肖及其重构小波0所构造的0（s）"2（y）是一个对称的二维二进小波。相应地，利用反对称二进小波屮宙及其重构小波莎0所构造的 / （兀,y）2 （兀,y）是一个反对称的二维二进小波。清华大学计算机系孙延奎2009二维离散二进小波变换及其快速算法介绍采样间距为1的规范化离散图像的二进小波变换：设是采样间隔为1的二维离散信号，则存在一个二维函数 f(y)GL2(/?2)

26、,使得(f*0)(n,m) = a爲©(x,y) = 0(x)0(y)对任意j no ,记心=2丿(/*%)(")对丿° ,在整数网格点(n,m)上，二进小波系数由下式给出：d；二M/(2丿”加)二2丿(/*歹；)(弘加)<d； =W2/(2H?m) = 2y(/* 0；)(彼加)则对任意尺度 27 >1，离散信号序列dld2-,dJ'l,dld22,-,dJ'2,aJ 称为a°的离散二维二进小波变换。清华大学计算机系孙延奎2009例74中二维二进小波变换的快速实现:2八A2 +$（0）A（69）+ g（0）Q3） = 2$O

27、）_1JS）_2心（©，%） = A戸血®）沪（2日©）刊 氏（©' ®）=打-仇 ® ） Q （2円 © ） 氏3'讣心（©，®） Q （ 2鬥® ）A”（兀 V）=刀hkhAg （兀 一2, 'k,y2八!）A2? （h,m） = hA, （/? -2jlk,m -27_11）"kkJD； （x，y）=牙 （x - 2 7 y） D,（H,m）=牙?血（mW,加）D；（兀,y）=工g/© （兀'歹 一2八Z）D；（n,m） =工焉心（“，加

28、-2jlI）/ /快速分解算法n,mj+1,2n.tn工g/Q爲2儿快速重构算法1巾4 _ 2円1 :+ &%讯/）= _D）f（2； ©卩（2他）+ 扌 B；j+g,叫,）f（2 / ©技（2,叭 cox, <yv）A（27 q）«（2他）修正过!！亀（兀 V） J ZSjpDi+l （x-k2j,y-p2j） + lkgpDlj+lx-k2j,y-p24 k,pk,p+ LhkhpA2j+x-k2j,y- p2jk,p（仏m）=t 为和IpD；j+、（ri-k2）,m- p2） + 为l唐pD£n-k2）,m-p2）q k,pk,pX

29、hk hpA2J+ln-k2j,m-p2j=7工囲+工滋昇代爲* +工必/ n-kV .m-pV纤 k.pk,pk,p另一种表示方法° * （人 g L,=E/|E Ka-k,m-i "|=E 恋几-如l k7 k,l一护+1,1 =加*（列,5）< d2 =加*（5,列）aJ+l 二加 *（/',/i）分解算法例7.5中二维二进小波变换的快速实现八2做） %）帥（町2 |町护心（®®）=心（®'叫）* （2戸©）讣（27_1 叫）氏3宀炖鬥他® ）列2戸®）广（2鬥）力；（©，叫）=心（® 叫）广（2闩© ） Q（2鬥叫J4 （兀刃=工研心（兀一2戶k,y-2戸p）k,p码（3）=工（% - 27, y - 2戸p）k,p（兀 V）=工右血（x - 27, y - 2jlp）k,pA2；（n,m） =工丘瓦 4 鬥p）k,pD；（彼加）=工g"沪（n -27,m -2鬥p）k,pd：（s）=工石乔d 27-1 k,m 27-1 p）k,pa加审应5k,pJ7+1 1