河北省滦州市第一中学2020高一下学期期中考试数学试题

1、河北省滦州市第一中学2019-2020学年度第二学期期中考试试题高一数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列结论正确的是()(a)若ac>bc,则a>b (b)若a8>b8,则a>b(c) 若a>b,c<0,则ac<bc (d) 若a<b,则a>b 2在abc中，已知a，b1，a130°，则此三角形解的情况为()a无解b只有一解c有两解 d解的个数不确定3不等式x25x140的解集为()ax|x7或x2 bx|2x7cx|x7或x2 dx|2x74设等比数列的前项和为，且，则（ ）a375b255c25

2、0d2005.在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知c=3,a=2,b=1,则c等于()(a)5 (b)3(c)7 (d)16.已知等差数列an中,a7+a9=16,a4=1,得a12等于()(a)15 (b)30(c)31 (d)647已知等比数列an满足an>0,n=1,2,且a5·a2n-5=22n(n3),则当n1时,log2a1+log2a3+log2a2n-1的值为()(a)n(2n-1) (b)(n+1)2(c)(n-1)2 (d) n28设，若是的等比中项，则的最小值为（ ）a4bc1d89.x,y满足约束条件x+y-20,x-2y-20,2x-

3、y+20,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()(a)12或-1 (b)2或12 (c)2或-1 (d)2或110.在等比数列an中,sn是它的前n项和,若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,则s6等于()(a) 15 (b)16 (c) 634 (d)61411.如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度bc等于()a120(1) m b180(1) mc240(1) md30(1) m12.已知an为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,

4、以sn表示数列an的前n项和,则使得sn取得最大值的n是()(a)21 (b)20(c)19 (d)18二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知不等式x2bxb>0的解集为r，则b的取值范围是_14.已知abc的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则abc的面积为. 15. 在中,分别为内角所对的边,若,则的最大值为 16.设sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=snsn+1,则sn=. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知不等式log2(ax23x6)>2的解集为x|x

5、<1或x>b(1)求a，b的值；(2)解不等式(axb)(cx)>0(c为常数)18.(本小题满分12分)已知a，b，c为abc的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cosbcoscsinbsinc.(1)求a；(2)若a2，bc4，求abc的面积 19.(本小题满分12分)已知等差数列an的公差d0,其前n项和为sn,若a2+a8=22,且a4,a7,a12成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若tn=1s1+1s2+1sn,证明:tn<34.20.(本小题满分12分)某客运公司用a,b两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务,每车每天往返一次.a,b两种

6、型号的车辆的载客量分别是32人和48人,从甲地到乙地的营运成本依次为1 500元/辆和2 000元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的车队,并要求b种型号的车不多于a种型号的车5辆.若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于800人,为使公司从甲地到乙地的营运成本最小,应配备a,b两种型号的车各多少辆?并求出最小营运成本.21.(本小题满分12分)在abc中,bc=6,点d在bc边上,且(2ac-ab)·cos a=bccos c.(1)求角a的大小;(2)若ad为abc的中线,且ac=23,求ad的长;(3)若ad为abc的高,且ad=33,求证:abc为等边三角形.22.(本小题满分12

7、分)已知正项数列an的前n项和为sn，是与(an1)2的等比中项(1)求证：数列an是等差数列；(2)若bn，数列bn的前n项和为tn，求tn.河北省滦州市第一中学2019-2020学年度第二学期期中考试试题高一数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列结论正确的是(c)(a)若ac>bc,则a>b (b)若a8>b8,则a>b(c) 若a>b,c<0,则ac<bc (d) 若a<b,则a>b 解析:a中,若c<0,则a<b,所以a不正确;b中,(-1)8=1>08=0,但是-1<0,所以b

8、不正确;d中,有a<b,所以d不正确.很明显c是不等式的性质,则c正确.选c.2在abc中，已知a，b1，a130°，则此三角形解的情况为(b)a无解b只有一解c有两解 d解的个数不确定解析:因为a>b，a130°，所以a>b，角b为锐角因此该三角形只有一解答案b3不等式x25x140的解集为(c)ax|x7或x2 bx|2x7cx|x7或x2 dx|2x7解析：x25x140x25x140(x7)·(x2)0x7或x2.答案：c4设等比数列的前项和为，且，则（ b ）a375b255c250d200解析:由题得，成等比数列，则有，解得，同理有，

9、解得.故选：b 5.在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知c=3,a=2,b=1,则c等于(b)(a)5 (b)3(c)7 (d)1解析:c=a2+b2-2abcosc=3.选b.6.已知等差数列an中,a7+a9=16,a4=1,得a12等于(a)(a)15 (b)30(c)31 (d)64解析:等差数列an中,a7+a9=a4+a12=16,a4=1,所以a12=15.故选a.7已知等比数列an满足an>0,n=1,2,且a5·a2n-5=22n(n3),则当n1时,log2a1+log2a2+log2a2n-1的值为(d)(a)n(2n-1) (b)(n+

10、1)2(c) (n-1)2 (d) n2解析:由a5·a2n-5=22n(n3)得an2=22n,an>0,则an=2n,log2a1+log2a3+log2a2n-1=1+3+(2n-1)=n2,选d.8设，若是的等比中项，则的最小值为（ a ）a4bc1d8解析:是的等比中项，3=3a3b=3a+b，a+b=1a0，b0=2当且仅当a=b=时取等号故选a9.x,y满足约束条件x+y-20,x-2y-20,2x-y+20,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(c)(a)12或-1 (b)2或12 (c)2或-1 (d)2或1解析: 由线性约束条件可得其图象如

11、图所示,由图象可知直线z=y-ax经过ab或ac时取得最大值的最优解不唯一,此时a=2或-1.故选c.10.在等比数列an中,sn是它的前n项和,若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,则s6等于(c)(a) 15 (b)16 (c) 634 (d)614解析:设an的公比为q,则由等比数列的性质知,a2a3=a1a4=2a1,则a4=2;由a4与2a7的等差中项为17知,a4+2a7=2×17=34,得a7=16.所以q3=a7a4=8,即q=2,所以a1=a4q3=14,则s6=14(1-26)1-2=634,故选c.11.如图，从气球a上测得正前方的河流

12、的两岸b，c的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度bc等于(a)a120(1) m b180(1) mc240(1) md30(1) m解析:由题图可知，dab15°，所以2tan15°，在rtadb中，ad60 m，dbad·tan15°60×(2)(12060) m.在rtadc中，dac60°，ad60 m，dcad·tan60°60 m.bcdcdb60(12060)120(1) (m)河流的宽度bc等于120(1) m，故选a.12.已知an为等差数列,a1+

13、a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以sn表示数列an的前n项和,则使得sn取得最大值的n是(b)(a)21 (b)20(c)19 (d)18解析:由a1+a3+a5=105得,3a3=105,所以a3=35.同理可得a4=33,所以d=a4-a3=-2,an=a4+(n-4)×(-2)=41-2n.由an0,an+1<0,得n=20.所以使sn达到最大值的n是20.故选b.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知不等式x2bxb>0的解集为r，则b的取值范围是_答案:(3，1)解析:由题知b24<0，即b24b3<0，所以3<

14、;b<1.14.已知abc的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则abc的面积为. 答案:153解析:由于三边长构成公差为4的等差数列,故可设三边长分别为x-4,x,x+4.由一个内角为120°,知其必是最长边x+4所对的角.由余弦定理得,(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)·cos 120°,所以2x2-20x=0,所以x=0(舍去)或x=10,所以sabc=12×(10-4)×10×sin 120°=153.15. 在中,分别为内角所对的边,若,则的最大值为 答案:

15、解析:由余弦定理,知,整理,得,则有,即,所以,当且仅当时等号成立,所以的最大值为16.设sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=snsn+1,则sn=. 答案:-1n解析:因为an+1=sn+1-sn,an+1=snsn+1,所以sn+1-sn=snsn+1.因为sn0,所以1sn-1sn+1=1,即1sn+1-1sn=-1.又1s1=-1,所以(1sn)是首项为-1,公差为-1的等差数列.所以1sn=-1+(n-1)×(-1)=-n,所以sn=-1n.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知不等式log2(ax23x6)>2的

16、解集为x|x<1或x>b(1)求a，b的值；(2)解不等式(axb)(cx)>0(c为常数)解:(1)依题意可知ax23x6>4即ax23x2>0的解为x<1或x>b，于是知1，b是方程ax23x20的两根，且a>0，解得a1，b2.(2)将a1，b2代入不等式，整理得(x2)(xc)<0.当c>2时，原不等式的解集为x|2<x<c；当c2时，不等式的解集为；当c<2时，不等式的解集为x|c<x<218.(本小题满分12分)已知a，b，c为abc的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cosbcoscsi

17、nbsinc.(1)求a；(2)若a2，bc4，求abc的面积解:(1)cosbcoscsinbsinc，cos(bc).abc，cos(a).cosa.又0<a<，a.(2)由余弦定理，得a2b2c22bc·cosa.则(2)2(bc)22bc2bc·cos.12162bc2bc·.bc4.sabcbc·sina×4×.19.(本小题满分12分)已知等差数列an的公差d0,其前n项和为sn,若a2+a8=22,且a4,a7,a12成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若tn=1s1+1s2+1sn,证明:tn&l

18、t;34.(1)解:因为数列an为等差数列,且a2+a8=22,所以a5=12(a2+a8)=11.因为a4,a7,a12成等比数列,所以a72=a4·a12,即(11+2d)2=(11-d)·(11+7d),又d0,所以d=2,所以a1=11-4×2=3,所以an=3+2(n-1)=2n+1(nn*).(2)证明:由(1)得sn=n(a1+an)2=n(n+2),所以1sn=1n(n+2)=12(1n-1n+2).所以tn=1s1+1s2+1sn=12(1-13)+(12-14)+(13-15)+(1n-1-1n+1)+(1n-1n+2)=12(1+12-1n+

19、1-1n+2)=34-12(1n+1+1n+2)<34.所以tn<34.20.(本小题满分12分)某客运公司用a,b两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务,每车每天往返一次.a,b两种型号的车辆的载客量分别是32人和48人,从甲地到乙地的营运成本依次为1 500元/辆和2 000元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的车队,并要求b种型号的车不多于a种型号的车5辆.若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于800人,为使公司从甲地到乙地的营运成本最小,应配备a,b两种型号的车各多少辆?并求出最小营运成本.解:设应配备a种型号的车x辆、b种型号的车y辆,营运成本为z元.则有32x+48y8

20、00,x+y21,y-x5,xn,yn,即2x+3y50,x+y21,y-x5,xn,yn,目标函数为z=1 500x+2 000y.如图,作出不等式组所表示的可行域,把z=1 500x+2 000y,变形为y=-34x+z2 000,其中z2 000是这条直线在y轴上的截距.当直线z=1 500x+2 000y经过可行域上a点时,截距z2 000最小,即z最小,解方程组2x+3y=50,y-x=5.得x=7,y=12,即a(7,12).所以zmin=1 500×7+2 000×12=34 500.答:应配备a种型号的车7辆、b种型号的车12辆,最小营运成本为3.45万元.21.(本小题满分12分)在abc中,bc=6,点d在bc边上,且(2ac-ab)·cos a=bccos c.(1)求角a的大小;(2)若ad为abc的中线,且ac=23,求ad的长;(3)若ad为abc的高,且ad=33,求证:abc为等边三角形.(1)解:由(2ac-ab)cos a=bccos c及正弦定理,得(2sin b-sin c)cos a=si