概率论例题讲解经典实用

1、概率论例题讲解例题讲解 设射手在相距100m处对目标射击，击中的 概率是0.6，若第一次未击中，则进行第二次射击， 但目标被移远使距离拉成了150m；若第二次仍未击中， 则进行第三次射击，但此时已是相距200m了。设射手 击中目标的概率与距离成反比，求射手击中目标的一、（2概 -5） 率。1,2,3 kiai：设“第i次射击时击中目标”事件 k 击中目标的概率=距离解是常数概率论例题讲解001( )()( )0.50.51( )()( )100( )0.50111xxxf xpxf t dtdtxxf xpxpxf xxxx 当时，当时，所以，的分布既不是离散型，也不是连续型。0.51y=f(

2、x)概率论例题讲解3-3 设一个口袋中有依次标有-1,2,2,2,3,3数字的六个相同的球，从口袋中任取一个球，取得的球上标有的数字x是一随机变量，求x的分布函数。x的分布律：x-123p1/61/21/31( )()0 xf xp xx 当时，1-12( )(1)6xf xp x 当时，3( )(1)(2)112 623xf xp xp x 当2时，概率论例题讲解(45) 21 1/0.25( , )4( , )( , )001 0, ( , )0210, 21 2( , )( , )sx yxyyxx ybx ybf x yxyx ybf x yxyxf x yf u v dudv 、求出

3、服从在b上均匀分布的随机变量( , )的分布 密度及分布函数，其中b为 轴、 轴及直线所围成的三角形区域。：联合密度函数：否则否则当或时，()则当，七解时2210.501442xududvxu-0.51 (x,y)v概率论例题讲解102010210, 021 2( , )( , )422120, 01 ( , )( , )4212syxvsyvxyxf x yf u v dudvydvduyxxyf x yf u v dudvydvduy当时，当时，u-0.51 (x , y)vu-0.51 (x , y)v概率论例题讲解0, 1 , )( , )( , )1bxyx ybf x yf u v

4、 dudv当时，(的左下区域包含了 ，u-0.51 (x , y)v概率论例题讲解八、设随机变量x和y独立，其分布列分别为则下列各式正确的是 。x=y (2) p(x=y)=1/2(3) p(x=y)=0 (4) p(x=y)=1解：虽然x和y是相同的分布，但不写成x=y； p(x=y)=p(x=1,y=1)+p(x=-1,y=-1)=p(x=1)p(y=1)+p(x=-1)p(y=-1)=0.50.5+0.50.5=0.5选答案(2)5 . 05 . 011 5 . 05 . 011yx概率论例题讲解九九、设x,y满足d(x+y)=d(x-y), 则x, y必有 .解：因为d(x+y)=d(

5、x)+d(y)+2cov(x,y) d(x-y)=d(x)+d(y)-2cov(x,y) 由于d(x+y)=d(x-y) 得 2cov(x,y)=-2cov(x,y) cov(x,y)=0 x,y不相关。概率论例题讲解十十、对随机变量x和y，已知e(x)=-2, e(y)=2, d(x)=1, d(y)=4, x与y的相关系数r = -0.5 由契比 雪夫不等式所能确定的最小正数c为何值(其中c满 足不等式 p|x+y|6c )解：e(x+y)=e(x)+e(y)=-2+2=0 d(x+y)=d(x)+d(y)+2cov(x,y) =d(x)+d(y)+2r =1+4+2(-0.5)12=3

6、p|(x+y)-e(x+y)|6d(x+y)/62 p|x+y|63/62=1/12 c=1/12)()(ydxd概率论例题讲解十一、设nb(n, p). (0p1, n=1,2,)则对任意实数x，有解：0 )( 21)() ? (|lim 22bdteaxnppxtnn 等于0)0()0(limlimlim|limnpqxnpqxnpqxnpqnpnpqxpxnpxpxnppnnnnnnn 概率论例题讲解十二、(习题5-2) 设服从几何分布 p(=k) = pqk ( k=0,1,2, 0p0, p(b)0, 定义随机变量为 试证：若的相关系数 r=0，则必相互独立。不发生若发生若不发生若发

7、生若bbaa01 01 )()()()()(),cov()(0),cov(, 0)() 1, 1() 1()0(0) 1(1)(1 , 0 1 , 0,)( )() 1()0(0) 1(1bpapabpbpapeeeeerabpppppebpeappppe 所以由于证明：概率论例题讲解十六、设是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为 又知随机变量 ，求w的分布律及其分布函数。解：)0(0, 00,)( ),0(0, 00,)(21byybeyfaxxaexfbyax 01wbabwpwpbaadyabedxdxdyyxfpwpyxabeyfxfyxfxbyaxyxbyax) 1(1)0(),(

8、)() 1(00, 0,)()(),(),(021 其它的联合密度函数：概率论例题讲解 w的分布律为： w的分布函数：w01pbabbaa00( )(w)0111ba bxf xpxxx概率论例题讲解十七十七 设随机变量和独立同分布, 且 p( =k)=1/3, k=1,2,3 又设x=max(,), y=min(,). 试(1) 写出(x,y)的 联合分布律； (2) 求e(x)解: (1) 由于=1,2,3, =1,2,3 所以，x=1,2,3; y=1,2,3 当ij时，p(x=i, y=j)=p(max(,)=i, min(,)=j)=p(=i, =j)+p(=j, =i) =p(=i

9、)p(=j)+p(=j)p(=i)=(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9 当i=j时， p(x=i, y=j)=p(max(,)=i, min(,)=j)=p(=i, =i)= p(=i)p(=i) =(1/3)(1/3)=1/9 当ij时， p(x=i, y=j)=p(max(,)=i, min(,)=j)=0概率论例题讲解(x,y)的联合概率分布律：(2) x y12311/90022/91/9032/92/91/9922)919292(3)9192(2911),()(,jijiiyxpxxe概率论例题讲解十八十八、设某班车起点站上人数x服从参数为的泊松分布，且中途不再有人上

10、车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以y表示在中途下车的人数。试求 (1) (x,y)的联合分布律； (2) 求y的分布律解: (1) xp(), 当x=n时，yb(n, p) p(y=k|x=n) = cnkpk(1-p)n-k k=0,1,2,n 当nk时，p(x=n,y=k)=0 当nk时，p(x=n,y=k) = p(x=n)p(y=k|x=n) , 3 , 2 , 1 , 0n !)( ennxpnknknknknknkknnppknkeppknknenppcen)1 ()!( !)1 ()!( !)1 (! 概率论例题讲解(x,y)的联合分布律为：x=n=0,1,2,3, y=k=0,1,2,3,(2) knknknkppekynxpknkn0)!( !)1 (),( 1000(1)()(,)(0,1,2,3,)(1)(,)0!()!(1)() (1)!()!()() y!nkn kknnn kkkn kn kkii n kn kikkppp ykp xykp xykeppp xn ykk nkepppepknkkipepeekk 所以，泊松分p( p)布dd 2),(cov( 证明：2222222 t( )()()()2()()() ()2(cov( , ), ( )0 ()2(cov( , )02