圆锥曲线十大题型全归纳

1、目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题2题型二 动弦过定点的问题3题型三过已知曲线上定点的弦的问题4题型四共线向量问题5题型五面积问题7题型六弦或弦长为定值、最值问题10题型七 直线问题14题型八轨迹问题16题型九对称问题19题型十存在性问题21锥曲线题型全归纳题型一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-LO)作直线/与曲线N ： y2 =x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(%,0), 使得AA3七是等边三角形，若存在，求出与：若不存在，请说明理由。9题型二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C：二十二=1（4>/，>0）的离心率为£,且在x轴上的顶点分别

2、为 a 夕2Ai（-2,0）,A2（2,0）.（I）求椭圆的方程；（II）若直线/>2）与x轴交于点T,点P为直线/上异于点T的任一点，直线PAi.PA? 分别与椭圆交于M、N点，试间直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E： 4 + 4 = 1 （。）上的三点，其中点A（2G，0）是 cr lr椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O,且恁0=0, |而卜2|前如图。求点C 的坐标及椭圆E的方程：（II）若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线x = 6 对称，求直线PQ的斜率。题型四：共线向量问题1：如图

3、所示，已知圆C:(x + 1)+)3 =8,定点A(1,O),M为圆上一动点，点P在AM上，点 N在CM上，且满足病 =2而丽双 =0,点N的轨迹为曲线E.I)求曲线E的方程；H) 若过定点F(0.2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足为=4而， 求义的取值范围.2：已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线），='/的焦点， 4离心率为二二.（1）求椭圆c的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点作直线/交椭圆C于A、B两点，交y轴于点， 若加 =44尸，M* = %B户,求证：4+4=-1°.题型五：面积问题例题1、已知椭圆C：

4、二十二=1 （a>b>0）的离心率为立，短轴一个端点到右焦点的距离 cr 1厂3为瓦（I ）求椭圆c的方程；n（II）设直线1与椭圆C交于A、B两点，坐标原点0到直线1的距离为、一，求aAOB而积 2的最大值。2、已知椭圆C:二十=l(a>b>0)的离心率为底，短轴一个端点到右焦点的距离为J5.( I ) cr b-3求椭圆C的方程;(II)设直线1与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线1的距离为二, 2求aAOB面积的最大值.3、已知椭圆,+斗=1的左、右焦点分别为F2.过入的直线交椭圆于8,。两点，过F的直线交椭圆于A, C两点，且AC_L8O,垂足为P. （ I

5、 ）设尸点的坐标为（玉），光）,证明：!< 1 ：32（II）求四边形A3CO的面积的最小值.题型六：弦或弦长为定值、最值问题1、已知。尸。的面积为2J3, OF FQ = m(1)设痣工m<4痣，求NObQ正切值的取值范围：(2)设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q (如图)，I赤l=c,? = (13 1)T当|丽| 取得最小值时，求此双曲线的方程。2、己知椭圆+ +>2 = 1的左焦点为F, 0为坐标原点。（I）求过点O、F,并且与椭圆的左准线/相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与尤轴交 于点G,求点G横坐标

6、的取值范围。3、已知点A,B的坐标分别是（0,-1）, （0,1）,直线相交于点M,且它们的斜率之积 为一；.（1）求点M轨迹。的方程；（2）若过点0（2,0）的直线/与（1）中的轨迹。交于不同 的两点E、F （E在£、尸之间），试求ODE与OOF面积之比的取值范围（。为坐标原 点）.4、已知椭圆G："">">°)的右顶点为4。,0),过G的焦点且垂直长轴的弦长为1.(I)求椭圆G的方程；(II)设点p在抛物线。2： y = /+"(/?eR)上，a在点P处的切线与G交于点 M、N .当线段AP的中点与MV的中点的横坐标相

7、等时，求力的最小值.题型七：直线问题例题1、设椭圆C：二+二=1（。方。）过点且着焦点为6（JIo） a b（I ）求椭圆C的方程：（II）当过点尸（4）的动直线/与椭圆C相交与两不同点AB时，在线段A8上取点Q,满足|AP|.|eS| = |Ag|.|pg| ,证明：点0总在某定直线上2、设K、居分别是椭圆L=1的左、右焦点。4(I)若尸是该椭圆上的一个动点，求西丽的最大值和最小值：(II)设过定点M(0,2)的直线/与椭圆交于不同的两点A、B,且NAO8为镜角(其中。为 坐标原点)，求直线/的斜率左的取值范围。题型八：轨迹问题一、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P

8、(x,y)却随另一动 点Q(x', y')的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x'y表示 为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程,例1、如图，从双曲线x2-y2=l上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中 点P的轨迹方程。二、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中 间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹

9、方程。例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点0的两不同动点A、B 满足AOLBO （如图4所示）.求 AOB的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；图4三、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用 此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数 法的一种变种。例3、抛物线V =4式（。）的顶点作互相垂直的两弦04、0B,求抛物线的顶点O在 直线AB上的射影M的轨迹。题型九：对称问题1、例：若椭圆二+二=1上存在两点A.B关于/：），=4x + ?对称，求7的取值范围 232、己知实轴长为2a

10、,虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线y = -、片x是双曲线S的 一条渐近线，而且原点O,点A (a, 0)和点B (0, -b)使等式OA2 +OB2=-OA2OB2 成立. 3(I)求双曲线S的方程：(II)若双曲线S上存在两个点关于直线/:y = %x+4对称，求实数k的取值范围.题型十：存在性问题1、设椭圆E:工+二=1 (a.b>0)过M (2, N(",1)两点，0为坐标原点，cr y(I)求椭圆E的方程：(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A.B,且砺，砺？若存在，写出该圆的方程，并求IABI的取值范围，若不存在说明理

11、由。212、设人、F?分别是椭圆曰+ / = 1的左、右焦点.(I )若P是该椭圆上的一个动点，求 丽丽的最大值和最小值：(H)是否存在过点A (5, 0)的直线1与椭圆交于不同的两 点C、D,使得IF2CITF2DI?若存在，求直线1的方程：若不存在，请说明理由.23、椭圆G：二十二=1（匕0）的两个焦点为口、Fz,短轴两端点&、Bz,已知R、F?、 cr b-Bi、Bz四点共圆，且点N （0, 3）到椭圆上的点最远距离为5、5.（1）求此时椭圆G的方程： （2）设斜率为k （kiO）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F, Q为EF的中点，问E、 F两点能否关于过点P （0,三）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明 理由.20C:二+ 二=1（。>b>0）4、己知直线x + ' = U经过