地球物理场论讨论

1、Q：请结合你所学的物理知识，以一个具体的物理场介绍标量函数的梯度、矢量函数的散度和旋度各有什么物理意义。梯度 gradient 定义： 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。梯度的方向就是方向导数最大值的方向。也就是函数变化率最快得方向。物理意义： 梯度在物理场中表示该物理场参数的变化率。例：例

2、：设体系中某处的温度为T，在与其垂直距离的dy处该参数为T+dt，则称为该温度场的梯度，也即该温度场的变化率。散度 散度定义为区域直径趋于0时其边界面上的矢量积分和区域体积的比值。 从定义中可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量，所以说散度是通量的体密度。物理意义： 物理上，散度的意义是场的有源性。某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零则表示向量场在这一点或区域有通量湮灭。这样的点或区域分别称为向量场的正源（发散源）和负源（洞）。例： 在电场中，一点的散度就可以解释为：包围此点的一个很

3、小曲面上的电通量和这个小曲面包围体积的比。或者可以理解为某点附近单位体积包围面的电通量。 如果某点E散度为0，那么此点就没有电荷。这是麦克斯韦方程。旋度 定义 旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。 这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。旋度向量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。物理意义： 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积也将逐渐减小.一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的

4、极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则,旋度的重要性在于，可用通过研究表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度,进而得到其单位面积平均环流的极限的大小程度。例：2 有哪些方法可以证明一个矢量场是无散场？又有哪些方法可以证明一个矢量场是无旋场？ 如果矢量场的散度处处为0，则矢量场是无散场 如果矢量场的旋度处处为0，则矢量场是无旋场 3 有哪些方法可以求解两个矢量的夹角？ 设a,b是两个不为0的向量，它们的夹角为 (或用 , ,.,字母表示)1. 由向量公式：cos=a.b/|a|b|. -(公式)2. 若向量用坐标表示，a=(X1,y1,z1), b=(x2,y2,z2),则,a.b=(x1x2+y1y2+z1z2).|a|=(x12+y12+z12), |b|=(x22+y22+z22).将这些代人公式(),得到：cos=(x1x2+y1y2+z1z2)/(x12+y12+z12)*(x22+y22+z22) -(公式).4 求矢量函数A(x,y,z)=(x+z) +y +sin(x+y) 的散度和旋度，并画