柯西不等式与排序不等式PPT课件

1、本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养 第1页/共36页设设 为任意实数为任意实数. ., , ,a b c d()()2222abcd联联 想想第2页/共36页一、二维形式的柯西不等式 ., )( 1等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当则则实实数数都都是是若若二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcaddcba bdacdcba 2222)1(bdacdcba 2222)2(二维形式的柯西不等式的变式:22222)()(bdacdcba 你能简明地写出这个定理的证明？你能简明地写出这个

2、定理的证明？2332244)()(, 1babababa 证明证明为实数为实数已知已知例例第3页/共36页 可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮！简洁明了！解答漂亮！第4页/共36页 .,., )( 2等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量当当且且仅仅当当则则是是两两个个向向量量设设柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式定定理理 kk 第5页/共36页111(,)P xy222(,)P xyO Oxy|-|12xx12|-|yy这个图中有什么这个图中有什么不等关系不等关系? ?O Oxy(,)111Pxy

3、(,)222Pxy第6页/共36页221221222221212211)()(R,y,x,y, )( 3yyxxyxyxx 那那么么设设二二维维形形式式的的三三角角不不等等式式定定理理2212212221212221212222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x 22x )(2x 2x 2x )(:yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx 证明证明22122122222121)()(yyxxyxyx 第7页/共36页22122122222121)()( yyxxyxyx 二二维维形形式式的的三三角角

4、不不等等式式221221221222222212121)()()( zzyyxxzyxzyx 三三维维形形式式的的三三角角不不等等式式22222112222122221)()()( nnnnyxyxyxyyyxxx 一一般般形形式式的的三三角角不不等等式式第8页/共36页小结: .,),()()()1(22222等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量当当且且仅仅当当柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kk bdacdcba 2222)2(bda

5、cdcba 2222)3(221221222221212211)()(R,y,x,y, )( )5(yyxxyxyxx那么设二维形式的三角不等式第9页/共36页变式引申:.,94, 13222并并求求最最小小值值点点的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32, 1312.2194, 1)32()11)(94(:222222222最最小小值值点点为为的的最最小小值值为为得得由由时时取取等等号号即即当当且且仅仅当当由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxyxyxyx 的最大值的最大值求函数求函数例例xxy21015 3 第10页/共36页.1,y

6、b, 1的最小值求且已知补充例yxxaRbayx 2min22222)()(.,)( )()(,1, :bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx 时时取取等等号号即即当当且且仅仅当当解解第11页/共36页第12页/共36页第13页/共36页 5,5. 10,10.102 ,102. 52 ,52-A.) (,10,. 122 DCBbabaRba的的取取值值范范围围是是则则且且若若补充练习2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的的最最小小值值是是那那么么已已知知 _1212. 3的的最最大大值值为为函函数数 xxy_2, 62

7、3,. 422值是值是的最大的最大则则满足满足设实数设实数yxPyxyx _)1()1(, 1. 522的最小值是的最小值是则则若若bbaaba AB311225第14页/共36页作业: 课本习题3.1 第1、3、7、8题另加下面 2题第15页/共36页第16页/共36页.,:1221等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当的的柯柯西西不不等等式式化化简简后后得得二二维维形形式式将将平平面面向向量量的的坐坐标标代代入入能能得得到到从从平平面面向向量量的的几几何何背背景景baba， 2221122212221)()()(bababbaa 化简后得将空间向量的坐标代入也能得到从空间向量的几何背景类似地

8、,2332211232221232221)()()(babababbbaaa .)3 , 2 , 1(, 0,等等号号成成立立时时使使得得或或存存在在一一个个数数即即共共线线时时当当且且仅仅当当，ikbakii 根据上面结果根据上面结果,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗你能猜想出一般形式的柯西不等式吗?第17页/共36页猜想柯西不等式的一般形式222112222122221)()(bnnnbabababbbaaa ，aaaAn22221 设设，bbbCn22221 nnbababaB 22112BAC 则则不不等等式式就就是是分析：)( )(2)()(222212211222221nnnnbb

9、bxbababaxaaaxf 构造二次函数构造二次函数0)()()()(2222211 nnbxabxabxaxf又又0)()(4)(4, 0)(222212222122211 nnnnbbbaaabababaxf即即的的判判别别式式二二次次函函数数第18页/共36页。等等号号成成立立时时使使得得或或存存在在一一个个数数当当且且仅仅当当则则是是实实数数设设一一般般形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理,),2 , 1(,),2 , 1(0,)(321321nikbaknibbbbbaaaaiiinn 222112222122221)()(bnnnbabababbbaaa 第19页/共36页2

10、222122121)(1, 1nnnaaaaaanaaa 求求证证都都是是实实数数已已知知例例22122221222)111( )(111(:nnaaaaaa 证明证明22122221)( )(nnaaaaaan 22221221)(1nnaaaaaan 第20页/共36页dacdbcabdcbadcba 2222, 2证证明明是是不不全全相相等等的的正正数数已已知知例例dacdbcabdcbdacdbcabdcbaaddccbbadcbadacdbcabadcbdca 2222222222222222222a )()(,)( )(:即即不成立不成立是不全相等的正数是不全相等的正数证明证明第2

11、1页/共36页的最小值的最小值求求已知已知例例222, 132 3zyxzyx 141143,71,1413211411)32()321)(:2222222222222取最小值取最小值时时即即当且仅当当且仅当证明证明zyxzyxzyxzyxzyxzyx 第22页/共36页1111x1x:1,xx,Rx,x, 6. 412222121n21n21 nxxxxxxPnn求证求证且且设设1)()1x1 1111()x1x 11()11x(1 )111()1(:2212n222111n2n222121212222121 nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn证明证明1111x1x

12、2222121 nxxxxnn第23页/共36页.,16a, 8, 122222的的取取值值范范围围求求满满足足已已知知实实数数例例eedcbedcbaedcba 5160, 01651664464,)8()16(4d)cb(a )(1111( )4(a :22222222222222 eeeeeeeedcbadcb故故即即即即解解 补充例题第24页/共36页.,21,31,61,914136)321()941)(941:2222等等号号成成立立时时即即当当且且仅仅当当用用柯柯西西不不等等式式证证法法一一 zyxzyxzzyyxxzyxzyxzyx36941, 1, 2 zyxzyxRzyx求

13、证求证且且已知已知例例第25页/共36页36941, 1, 2 zyxzyxRzyx求证求证且且已知已知例例.,21,31,61,3,236126414)94()9()4(14)(9)(4)(1941:等等号号成成立立时时即即当当且且仅仅当当代代入入法法证证法法二二 zyxxzxyzyyzzxxzyxxyzyxzzyxyzyxxzyx第26页/共36页22222222222222: 4() (1111)() ()4(16)(8) ,6446416165160,05abcdabcdabcdeeeeeeee 解解即即即即故故 第27页/共36页补充练习3100)1()1()1(:, 1,. 222

14、2 ccbbaacbacba求证求证且且为正数为正数设设222222236)sin1sin1sin1)(:,1RCBAcbaRcbaABC 求求证证外外接接圆圆半半径径为为设设其其各各边边长长为为中中在在2221121413121174:,2. 3 nnn试证试证的正整数的正整数是不小于是不小于若若23)(1)(1)(1:, 1,. 4333 baccabcbaabcRcba试证明试证明且满足且满足设设第28页/共36页第29页/共36页第30页/共36页第31页/共36页的的和和叫叫做做数数组组则则的的任任何何一一个个排排列列是是数数组组设设),(),( ,)1(21212121nnnnbb

15、baaabbbcccnncacacaS 2211乱序和乱序和称称为为所所得得的的和和按按相相反反顺顺序序相相乘乘和和将将数数组组 ),(),()2(2121nnbbbaaa 1231211babababaSnnnn 反序和反序和称称为为所所得得的的和和按按相相同同顺顺序序相相乘乘和和将将数数组组 ),(),()3(2121nnbbbaaa 3322112nnbabababaS 顺序和顺序和21 SSS 即即顺顺序序和和乱乱序序和和反反序序和和第32页/共36页.,c,)( 212122112211112121212121反反序序和和等等于于顺顺序序和和时时或或当当且且仅仅当当那那么么的的任任一一排排列列是是为为两两组组实实数数设设理理排排序序不不等等式式或或称称排排序序原原定定理理nnnnnnnnnnnnnbbbaaabababacacacababababbbccbbbaaa 第33页/共36页?,10,)10, 2 , 1(,10 1多多少少这这个个最最