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用空间向量解决立体几何的平行问题一、线线平行问题例1 已知直线平面,直线平面,为垂足求证:证明:以点为原点,以射线为非负轴,如图1,建立空间直角坐标系,为沿轴的单位向量,且设,即点评:由向量的共线的充要条件知,只要证明即可二、线面平行问题例2已知是正三棱柱,是的中点,求证:平面证法1:建立如图2的空间直角坐标系设正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,则设平面的法向量为,则由,得取得,得由,得,即平面证法2:如图3,记,则,共面又平面,平面点评:用向量证明线面平行问题通常有两种方法:向量与两个不共线的向量共面的充要条件是存在惟一的有序实数对,使利用共面向量定理可证明线面平行问题,如证法2设为平面的法向量,要证明,只需证明,如证法1三、面面平行问题例3已知正方体的棱长为1,分别为的中点,求证:平面平面证明:建立如图4所示的空间直角坐标系,则得设为平面的法向量,设为平面的法向量空间计算:由,得平面平面点评:设分别为平面的法向量,要证,只需证明:存在一个非零常数,满足,则其实本题也可转化为线线平行,则面面平行即用向量先证明,则有线面平行,从而平面平面3用心 爱心 专心
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