一道高考测试题折射出的点到面的距离及二面角的多种解法

1、 一道高考测试题折射出的点到面的距离及二面角的多种解法 摘要：本文就一道高考测试题谈论了一题多解的方法。从而使我们理解到以推动素质教育为宗旨的教育改革，以适合每年的高考，这就要求我们不但应着眼于对知识的深化与方法的拓展，而且要注重思想的探索过程的辨析及水平的提升。关键词： 点到面的距离 向量在几何问题上求点到面的距离及二面角问题不但是重点也是难点，更是多年来高考考查的热点。尤其在综合题里面，思维不同所用的方法就不同。这就要求教师在平时的教学与复习时，除了渗透基本方法之外，还应该引导学生去探究点到面的距离及二面角的其他求法。下面通过一道高考测试题我们谈谈关于点到面的距离及二面角的几种求法。 题目

2、：如果，直三棱柱a的底面是等腰直角三角形, =, ,d是线段的中点.1 证明： 平面; 2 求点到平面的距离; <3> 求二面角的大小. 这里只研究问题2和3.由1知平面;一. 找出距离直接求：解法1：如图1 过作,面就是点到面的距离.下面求： =·=·又=,=【评注】：这里通过辅助图由一组线面垂直找出另一组线面垂直,从而找出点到面的距离,再利用等面积求距离.二.利用等体积法求距离：解法2：如图1 =·=·=【评注】：利用同一四棱柱顶点不同,底面不同但体积相同的方式来求点到面的距离.三.利用向量法(法向量)求距离： 解法3： 如图2 取为原点

3、,分别为x,y,z轴,建立直角坐标系,则(0,0,0), (1,0,0),(0,1,0),(1,0,)设面的法向量为= ()=(0,1,0), =(1,0, ), =(,0,) 即法向量 =(,0,1)又=, 又=(-1,1,0)=【评注】：如果建立空间直角坐标系,利用向量坐标及过平面的向量与该平面的法向量的关系把距离求解问题简单化. 一个数学问题,往往因思考角度不同而有多种解法,但不论哪种解法都源于课本上的基本知识点,是把基本知识融会贯通,综合使用,在此立体几何题中,通过2的方法我们利用转化的思想,同样能找出对应的3的几种解法.一.作出二面角利用定义法求二面角：解法1： 由2中找距离所对应的

4、方法,不妨利用2作出-的二面角的平面角. 如图1 过作, 连接ef, 即为所求的二面角的平面角=1, 设二面角的平面角为=， 由此得： =解法2. 如图2 过作,连接 为的中点, 即为所求的二面角=,=设二面角的平面角为=【评注】：这里通过补形找出二面角的平面角使之在易求解的三角形中从而回归定义求解.二.利用面积射影定理求二面角： 由方法一中所作辅助线的不同在此方法中我们能够得到与之对应的转化.解法3： 如图1,当面时,连接,e为在面上的射影.故在面上的射影为设所求二面角的平面角为则易求： =解法4： 如图2, 当时, 连接,为在面上的射影.故在面上的射影为设所求二面角的平面角为则易求 =【评

5、注】：如果能求得二面角一个面内的几何图形的面积及它在另一个面内的射影面积利用面积射影定理,进而化难为易.三. 利用向量(法向量)求二面角： 设两平面与间的二面角用来表示,而两平面的法向量与的夹角记为则有=或 -通过2中三的解法,如图2, 已知=同理,设面的法向量 , 设与的夹角为,而二面角的平面角为则, 由此题得=【评注】：向量是一种重要的运算工具,高考中常出现它和高中数学中其它知识点交汇的试题,这里利用向量来求二面角问题,数形结合,相得益彰.另外向量除了能够处理二面角问题之外,还能够解决立体几何中的距离和其他角问题.通过对上述实例的分析与说明,我认为,教师在讲解习题时只给出准确答案是远远不够的,它还需要勤积累,多思考,善总结,只有这样才能在课堂上保持高度的灵活性,多变性,同时使学生的知识网络得以持续优化与完善,使学生的思维水平得到持续的发展与提升,以期达到举一反三,开拓思路,融会贯通之目的.参考文献：1 费新慧 中学数学教育 中