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文档简介

1、数列通项公式求法的进一步思考递归数列通项公式的求法摘要:数列是高中数学中的重要内容,求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一,每年都有一个大题, 既可考查等价转化与化归这一数学思想,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性,而且数列问题背景新颖,综合性强,能力要求高,思维力度大,内在联系密切,思维方法灵活,致使很多考生在数列题当中失分较多,特别是已知条件以递推形式给出的数列递归数列,求其通项公式就显得更加困难. 本文对几类常见的递归数列求通项问题作一些探求,希望对大家有所启发.关键字:递归数列 递推公式 通项公式 求法一、定义:对任意的自然数n,有递推关系 确定的数列,其中为

2、初始值,r为递归数列的阶数。二、通项公式的求法类型1.若数列例1.(07年北京考卷15题)数列.(1)求c的值 (2)求的通项公式.分析:有条件(1)易知则=点评:一般地,对于型如类的通项公式,只要能进行求和,则宜采用此方法求解,称之为叠加法。类型2. 若数列=·例2:在数列中, =1, (n+1)·=n·,求的表达式。分析:由(n+1)·=n·得,=··= 所以点评:一般地,对于型如=(n)·类的通项公式,当的值可以求得时,宜采用此方法;称之为叠乘法.类型3. 若数列p=1为等差,q=0时为等比.当构造1:,转化

3、类型1,可求其通式构造2:设存在,即可求其通式例3.(07年全国试卷22题)已知数列(1) 求的通项公式;(2) 若数列分析:(1)利用构造2:由,,可求其通式公式.利用构造1:,同样可求得其通项公式.类型4. 若数列分析:可在式子的两边同除以,化为类型3构造1,可求其通项公式.例4.(07年天津21题)在数列中,(1) 求数列的通项公式;(2) 求数列的前n项和;(3) 证明存在分析:由题意得: 所以是首项为0,公差为1的等差数列,即类型5. 若数列p,q为常数.分析:若能找到-,令 ,则为等比数列,且,由此可化为类型4.下面主要探讨如何来确定:可化为,比较得,此方程称的特征方程.于是有所以

4、,转化为类型4可求其通式. 分析:上式可化为, ,转化为类型1,可求其通式.已知数列的递推关系求数列的通项公式,都可转化化归为以上五中类型之一进行求解,等差数列和等比数列是最为常见较为简单的递归数列,熟悉以上几种类型,明确其中的原理,渗透其中的构造思想,对我们解决数列方面的问题大有帮助.三、应用1.若数列求其通项公式解:原式可变为首项,4为公差的等差数列,则,由类型1;可得.2.设,求此数列的通项公式.解:可把递推公式化为,可见是常数列,于是=,即,进而可变形为:,所以是等差数列,由等差数列的通项公式可得.3(02年高考). 某城市01年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有

5、量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?分析:本题主要考查数列、数列的极限等基础知识,考查建立数学模型,运用所学知识解决实际问题的能力。解:设01年末汽车保有量为万辆,以后各年末汽车保有量依次为万辆,万辆,每年新增汽车x万辆,则对于,有递推关系,数列是以为首项,以0.94为公比的等比数列,故当,即时,当,即时,因为数列单调增加,且,所以可以任意靠近,但不会超过。因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,即,则,即(万辆)综上,每年新增汽车不应超过3.6万辆。4. “hanni塔谜”。有n个外径不等的圆环,套在尖端

6、朝上的木钉上,最大的圆环在最底层,成为一个上小下大的塔形(如图),另外还有两钉子竖直钉在木板上,现将塔形移到第二个钉子上,而每次只能移动一个圆环,但在每次移动中都不能将大圆环置于小圆环之上,这些当然要第三个钉子的作用,试问必须搬动多少次?分析:用递归数列思想建立与的递归关系是解题的关键所在。解:设为搬完这n个圆环所需搬动的次数,易知,首先将第一个钉子最上的个圆环移到第三个钉子上,需搬动次,将底部最大圆环搬到第二个钉子上,需1次,然后将第三个钉子上的圆环搬到第二个钉子上,需要次搬动,于是有关系式,即,则数列是首项为2,公比为2的等比数列,故,即在数列中,已知,利用类型3构造2,令,与对比,得,由

7、数列是等比数列,可得,即.总结:数列是初等数学与高等数学的衔接点,它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系因而在历年的高考试题中占有较大的比重,求解数列题往往涉及到重要的数学思想方法,对学生的能力要求较高所以,数列问题成为历年高考的热点内容在这类问题中,求数列的通项往往是解题的突破口、关键点,本文以高考题为实例,根据教学实践,谈谈求解高考数列题的常用策略:化归转化策略数列问题常可化归为等差(等比)数列或化归为我们熟悉的数列问题去求解,就数列通项公式的几种初等求法作一总结,供参考参考文献:1.j数学教学研究; 1996年06期;李康海;27-302.j中学数学教学参考;1999年07期;方逢安;44-4

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