线性方程组题库

1、知识能力层次一、 填空（每题2分）设方程组有非零解，则 。2线性方程组有非零解，则。3方程组有无穷多解，则 。4非齐次线性方程组（为矩阵）有惟一解的的充分必要条件是_。5设是阶方阵,是齐次线性方程组的两个不同的解向量,则 。6设为三阶方阵，秩，是线性方程组的解，已知，则线性方程组的通解为 。7三元线性方程组的系数矩阵的秩，已知该方程组的两个解分别为 ，则的全部解可表为 。8设，欲使线性齐次方程组的基础解系有两个解向量，则= 。9当 时，线性方程组无解。10方程组=的基础解系所含向量个数是_ _1_。11若5元线性方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则 3 。12设线性方程组有解，则应满

2、足条件。13设齐次线性方程组为，则它的基础解系中所包含的向量个数为n-1。14设是非齐次线性方程组的解向量，则是方程组的解向量15设为非齐次线性方程组的一组解，如果也是该方程组的一个解，则。16设矩阵，则齐次线性方程组的一个基础解系为。17若方程组有惟一解，则所满足的条件是。18设n元齐次线性方程组的一个基础解系中线性无关的解向量个数是n，则为 零矩阵 。19设是阶矩阵，如果，则任何n个线性无关的n维向量都是的基础解系。20设n阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为n-1，则线性方程组的通解为 。二、单项选择填空题（每题2分）1线性方程组 （ a ）a. 无解 b. 只有0解 c. 有惟一解 d

3、. 有无穷多解2设方程组， 当=（ b ）时，方程组有非零解。a.0 b. ±1 c. 2 d. 任意实数3已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则 （ d ）a方程组有无穷多解b. 方程组无解c. 方程组有惟一解或无穷多解 d. 方程组可能无解，也可能有无穷多解4. 若齐次线性方程组有非零解，则的值为（ c）a b c d 5当（ c ）时，仅有零解。 a b c d6设为矩阵，只有零解的充要条件是（ d ）a的行向量组线性无关 b的行向量组线性相关c的列向量组线性相关 d的列向量组线性无关7设a为m×n矩阵，且非齐次线性方程组有惟一解，则必有（c）am=nbr (a)=

4、 mcr (a)=ndr (a)< n8若方程组存在基础解系，则等于（）a2b3c4d59. 设矩阵，则非齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条件是 （ b ）a bc d10若，则元线性方程组（ d ） a有无穷多解 b有唯一解 c无解 d不一定11. 设齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组，是的解，则下列正确的是 （ a ）a是的解 b是的解 c是的解 d是的解12设为矩阵，只有零解的充要条件是（ d ）a的行向量组线性无关 b的行向量组线性相关c的列向量组线性相关 d的列向量组线性无关13设齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组，是的解，则下列正确的是（ a ）a是的解 b是的

5、解 c是的解 d是的解14已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则 ( d ) a方程组有无穷多解b 方程组无解c方程组有唯一解或无穷多解d方程组可能无解，也可能有无穷多解15是n元线性方程组有惟一解的（）a充分必要条件 b充分条件 c必要条件d无关条件16已知线性方程组无解，则（）a. b. c. d. 17为矩阵，是非齐次线性方程组的导出组，则下列结论正确的是（ a ） a有无穷多解，则有非零解b有无穷多解，则仅有零解c仅有零解，则有唯一解d有非零解，则有无穷多解18设为矩阵，有解，则（）a当有惟一解时， b当有惟一解时， c当有无穷解时,只有零解d.当有无穷解时， 19线性方程组有解的充

6、分必要条件是（）a. b. c. d. 20齐次线性方程组，（ ）是它的一个基础解系。a. b. c. d. 三、判断题（每题2分）1若是的解，则也是它的解。 （ 是 ）2若是齐次线性方程组的解向量的一个极大无关组，则是方程组的一个基础解系。 （ 是 ）3若齐次线性方程组有非零解，则线性方程组就一定有解。（ 否 ）4若有无穷多组解，则有非零解。 （ 是 ）5n线性非齐次方程组只要其系数矩阵的a秩,就一定有无穷多组解。（ 否 ）6齐次线性方程组的基础解系不是惟一的。7是方程组的一个基础解系。（ 是 ）8方程组的每个基础解系中只含有一个解向量。 （ 是 ）9线性方程组在时，是有解的。 （ 是 ）1

7、0任何齐次线性方程组都有基础解系。 （ 否 ）11是方程组的一般解。 （ 是 ）12方程组的一般解可表示为。 （ 否 ）13时，方程组有解。 （ 否 ）14与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。 （ 是 ）15若是一个线性方程组的解，那么（其中）也是它的一个解。 （ 是 ）16方程组有非零解。 （ 否 ）17方程组与方程组是同解的方程组。（ 是 ）18用初等变换解，可以对实行列等行变换。 （ 否 ）19若是的解，是的解，则是的解。 （ 否 ）20给定方程组，当时，方程组有解。（ 否 ）理解能力层次一、填空（每题2分）1已知方程组有无穷多解，则 -1 或3 。2设是的解向量，是其导出组的

8、基础解系，则必线性无关。3. 设四阶方阵且，则方程组的一个解向量为 。4. 设方程组有解，则其增广矩阵的行列式= 0 。5设，且方程组的解空间的维数为2，则1。6设为n阶方阵，方程组有非零解，则必有一个特征值等于 。7设，b是三阶矩阵，且，若，则 4 。8设为矩阵，为是矩阵，的列向量是的解，则的最大数为3。9若齐次线性方程组中的系数矩阵的秩，且的代数余子式，则该方程组的通解可以表示为。10已知四元非齐次线性方程组，是它的三个解向量，且，则齐次线性方程组的通解为_。11齐次线性方程组有非零解，则应满足条件。12已知四元线性方程组的三个解为，且，则方程组的通解是 。13已知线性方程组的两个解为则该

9、方程组的全部解为 。14设齐次线性方程组的基础解系中含有三个解向量，其中矩阵，则 2 。15设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，且，其中是它的的三个解向量，则方程组的通解为 。16设，则齐次线性方程组的解空间的一组基为 。17已知是非齐次线性方程组线性无关的解，矩阵，且，若是方程组的通解，则常数须满足关系式 。18设是实正交矩阵，且，则线性方程组的解是 。19设矩阵，其中则线性方程组的基础解系含有解向量的个数是 n-1 。20设为阶方阵，若齐次线性方程组只有零解，则的解是 只有零解 。21设任意一个维向量都是方程组的解，则 0 。22设非齐次线性方程组有两个解，则该方程组的通解为 。23已

10、知齐次线性方程组有无穷多解，则 -5或-6 。24若线性方程组 无解，则常数应满足的条件是.253元非齐次线性方程组有3个解为，则系数矩阵= 。 26若向量，都是线性方程组的解，则系数矩阵= 。27方程组有解的充分必要条件为 。28设元非齐次线性方程组有解，其中为阶矩阵，则 0 。29. 已知为阶方阵，是的列向量组，行列式，其伴随矩阵，则齐次线性方程组的通解为 是的极大线性无关组 。30. 设，其中，则线性方程组的解是。二、单项选择填空题（每题2分）1齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 （ c ） a的任意两个列向量线性相关 b的任意两个列向量线性无关c中必有一列向量是其余列向量的线性组合

11、d中任一列向量是其余列向量的线性组合2设矩阵，且，则线性方程组 （ d ）a可能无解； b一定无解； c可能有解； d一定有解3当 =（）时，方程组无解a. 2 b. 3c. 4d. 54为矩阵，秩(a) =，下列结论正确的是（）a齐次线性方程组仅有零解b非齐次线性方程组有无穷多解c中任一个阶子式均不等于零d中任意个列向量必线性无关。5是个m方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解的（）a充分必要条件 b充分条件 c必要条件d无关条件6设为矩阵，则齐次线性方程组有结论（）a时，方程组仅有零解 b时，方程组有非零解，且基础解系含个线性无关的解向量 c若有n阶子式不为零，则方程组仅有零解d若中所有n

12、 - 1阶子式不为零，则方程组仅有零解7n元线性方程组有惟一解的充分必要条件是（）a导出组仅有零解b为方阵，且时，c. d的列向量线性无关，且可由的列向量线性表示8设为矩阵，则方程组 ( a )a. 当时，有解 b. 当时，有惟一解 c. 当时，有惟一解 d. 当时，有无穷多个解9设为矩阵，且，若的行向量组线性无关，则 （ a ） a、方程组有无穷多解 b、方程组有唯一解 c、方程组无解 d、方程组仅有零解10. 设矩阵，且，则线性方程组 （ d ）a可能无解； b一定无解； c可能有解； d一定有解11若线性方程组有惟一解，则的值为（ d ） a b c d异于与的数12.设是四元非齐次线性

13、方程组的三个解向量，且，(c为任常数)，则线性方程组的通解是 ( c )a. b. c. d. 13设矩阵，齐次线性方程组的系数行列式，而中的元素的代数余子式，则这个方程组的每个基础解系中解向量的个数都是 （ a ） a b c d14.设向量组中是齐次线性方程组的一个基础解系，则向量组( d ) 也是的一个基础解系a. b. c. d. 15设为矩阵， ，是非齐次方程组的三个不同的解，则正确的结论是 ( d )a. 线性相关 b. 是的基础解系 c. 的任何线性组合是的解 d. 当线性无关时，则是的通解,其中是满足的任何数16要使都是线性方程组的解，只要系数矩阵a为 ( b ) a. b.

14、c. d. 17设为矩阵，若有解，是其两个特解，的基础解系是，则 ( b )a. 的通解是 b. 的通解是 c. 的通解是 d. 的通解是 上述四项中均为任意常数18已知是齐次方程的基础解系，那么基础解系也可以是( b )a b c d 19齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则 ( c )a b c d 20已知，则齐次线性方程组的通解为 （ ）a b c d三、判断题（每题2分）1齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是。（ 否 ）2若非齐次线性方程组系数矩阵的秩小于n，则方程组有无穷多解。（ 否 ）3设为n阶方阵，且，是的两个不同的解向量，则的通解为。（ 否 ）4设齐次线

15、性方程组的系数行列式，而中的元素的代数余子式，则这个方程组的每个基础解系中解向量的个数都是1。 （ 是 ）5设为矩阵，若非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则时，方程组有解。 （ 是 ）6设a，b都是n阶非零矩阵，且，则的秩都小于n 。 （ 是 ）7设a为n阶奇导方阵，a中有一个元素的代数余子式，则齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为n 。（ 否 ）8设为矩阵，只有零解的充要条件是的行向量组线性无关。（ 否 ）9设为矩阵，只有零解的充要条件是的列向量组线性无关。（ 是 ）10设为阶方阵，且是的三个线性无关的解向量，则是的一个基础解系。（ 是 ）11设为线性无关的n维列向量，则非齐次线性方程

16、组有惟一解。（ 是 ）12设是的基础解系，则为的通解。（ 否 ）13已知为非齐次线性方程组的两个不同的解，为对应的齐次方程组的基础解系，则（其中）是的通解。（ 是 ）14设4阶方阵的秩是3，且每行元素的和为零，则方程组的基础解系为。（ 是 ）15设为的基础解系，为一n维列向量，若，则可由线性表示。（ 是 ）16给定方程组，则对任意的，方程组均有解，且有无穷多解。（ 是 ）17设为矩阵，为维列向量，则当方程组有解时，加入一个方程后方程组也有解。（ 否 ）18设为矩阵，为维列向量，则当方程组无解时，加入一个方程后方程组也无解。（ 是 ）19设线性方程组，当时，方程组仅有零解。（ 否 ）20设为矩阵

17、，非齐次线性方程组系数矩阵的秩，则方程组有解。（ 是 ）简单应用能力层次一、计算题（每题5分）1求线性方程组 的一般解 解： 因为系数矩阵 3分所以一般解为：， 其中，是自由未知量。 .5分 2求线性方程组的一般解。解：因为增广矩阵 3分所以一般解为： （其中是自由未知量）。 5分 3当取何值时，线性方程组有非零解？并求一般解解： 因为增广矩阵 3分所以当= -2时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：是自由未知量) 54当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解解：因为增广矩阵 3分 当=3时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：是自由未知量)。 5分 5求线性方程组的一般解。解： 因为系数矩阵

18、3分所以一般解为 （其中，是自由未知量）。 .5分6设齐次线性方程组问取何值时方程组有非零解，并求一般解. 解：因为系数矩阵 a = 3分 所以当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为： （其中是自由未知量）。 .5分 7设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解 因为 .3分所以 r(a) = 2，r() = 3. 又因为r(a) < r()，所以方程组无解。 .5分8求下列线性方程组的一般解。解：因为增广矩阵 .3分 所以一般解为： （其中是自由未知量） .5分9设线性方程组讨论当a，b为何值时，方程组无解，有惟一解，有无穷多解。 .3分所以当且时，方程组无

19、解； 当时，方程组有唯一解； 当且时，方程组有无穷多解。. .5分 10当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.解：因为增广矩阵 .3分 所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是自由未知量。 .5分11已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为问取何值时，方程组有解？当方程组有解时，求方程组的一般解。解：当=3时，方程组有解. 当=3时，.3分 一般解为， 其中, 为自由未知量。 .5分 12当为何值时，方程组有解，并求其通解。解： .3分当，同解方程组为令，令 .5分13. 设线性方程组为，问：、取何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多解？ 在有无穷多解时求出其通解。解： .2分

20、 当时，方程组有惟一解当，时，方程组无解 当，时，=2<3，方程组有无穷多组解,其通解为，为任意常数。 .5分14.线性方程组为 ，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。解： .3分 当2时，方程组有唯一解 当2，1时，方程组无解 当2，1时，2<3，方程组有无穷多组解,其通解为 (为任意常数)。 .5分15已知是齐次线性方程组的一个解，试求方程组的一个包含的基础解系。解：，.2分令，得方程组的两个解为：，从而所求基础解系即为和。 .5分16求解线性方程组。解 ：将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 ，.3分因为 ，r(a) = r(a) = 3，

21、所以，方程组有解 一般解为: (x4是自由未知量)。 .5分 17设线性方程组试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。解：因为 .2分所以当c = 0时，方程组有解且 .3分所以，原方程组的一般解为： （x3是自由未知量）。 .5分18试讨论a取什么值时，线性方程组有解，并求出解 。 解： .3分当时，方程组有解，解为 .5分19试讨论a取什么值时，线性方程组有解，并求出解 。 .3分当时，方程组有解，解为 .5分20设为阶矩阵，且，试问的基础解系所含解向量的个数。解：，又因为阶矩阵，故中至少有一个阶子式不为，则中至少有一个非零元素，则， .2分又，所以， .4分从而有，故的基础

22、解系所含解向量的个数为4-1=3个。.5分二、证明题（每题5分）1. 设是的一个基础解系，证明：也是的一个基础解系。证明：是的一个基础解系，都是的解，且线性无关，从而都是的解，.2分设即由线性无关，得，仅有零解，从而线性无关，也是的一个基础解系。.5分2证明方程组有解的充要条件是。证明：3分方程组有解，即，即5分3设n阶矩阵可逆，证明：线性方程组 无解。证明：线性方程组的系数矩阵为，因为矩阵，所以， .2分又因为该方程组的增广矩阵为，而是可逆的， .4分从而系数矩阵的秩<增广矩阵的秩，所以非齐次线性方程组无解。.5分4设实数域上的线性方程组，证明：（1）如果，则方程组有惟一解；（2）如果

23、则方程组无解；（3）如果则方程组有无穷多解。证明：（1）令，因为，从而方程组有惟一解，由克莱姆法则得其解为：；（2），从而方程组无解；（3），从而方程组有无穷多解。.5分5 证明：含有n个未知量n+1个方程的线性方程组 若有解，则行列式证明：易知方程组的系数矩阵为矩阵，所以，又因为该非齐次线性方程组有解，所以必须满足关系式：增广矩阵的秩，而增广矩阵为阶方阵，且， 。.5分6设是矩阵，是矩阵，证明线性方程组，当时，必有非零解。证明：是矩阵，是矩阵，且 ， ，由，得，而是，所以当时，必有非零解。 .5分7已知行列式，证明方程组无解。证明：由题设知方程组的增广矩阵的秩， .2分而系数矩阵是矩阵， .

24、4分故，方程组无解。 .5分8设是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且，证明：向量组是线性无关的。证明：设有常数，使得，上式左乘，得，.3分以此类推，分别左第乘，得，故向量组线性无关。 .5分9设是矩阵，且有惟一解，证明：为可逆矩阵，且的解为。证明：有惟一解，仅有零解，故，即为可逆矩阵， .3分于是由，得，所以。 .5分10设是矩阵，且,若满足,证明:。证明：设，其中为维列向量，故线性无关，由于，即=， .3分所以，由于线性无关，故，所以。 .5分综合应用能力层次一、 计算题（每题8分）1.设线性方程组，讨论当为何值时，方程组无解？有惟一解？有无穷多解？（不必求解）解：5分当时，方程

25、组无解；当时，方程组有惟一解；当时，方程组有无穷多解 .8分2.设线性方程组，讨论当为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？（不必求解）解：5分当时，方程组无解；当时，方程组有惟一解；当时，方程组有无穷多解 .8分3.设线性方程组，讨论当为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？（不必求解）解：因为对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换得： 所以，当时，方程组有唯一解。.5分而当时，由上面的结果可知：所以，当且时，方程组无解； 当且时，方程组有无穷多解。.8分4. 设线性方程组，讨论当为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？（不必求解）解：对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换得： ，

26、5分 当时，因为，所以方程组有唯一解； 当且时，因为，所以方程组无解； 当且时，因为，所以方程组有无穷多解。.8分5. 当，为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解？（不必求出解）解：对方程组系数的增广矩阵施行初等行变换：.5分 由阶梯形矩阵可见：(1)当时，故此时方程组有唯一解;(2)当且时，故此时方程组无解; (3)当且时，故此时方程组有无穷多解.8分6当为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解？在有解时，求出方程的通解。解： 设方程组的增广矩阵为,对进行初等变换= .4分当a=3时， 方程组无解。当a3且a2时， 方程组有唯一解。最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为，则方程组

27、的解为 。 .6分当a=2时， 方程组有无穷多个解。此时梯形矩阵对应的梯形方程组为 则方程组的解为（c为任意常数）。.8分7. 求线性方程组的全部解(用其导出组的基础解系表示).解： .5分全部解为：8分8. 的全部解（用其导出组的基础解系表示）。解：5分全部解为： 8分9求线性方程组的全部解（用其导出组的基础解系表示）。解：对线性方程组的增广矩阵进行行初等变换得： ， 5分 令自由未知量，得方程组的一个特解：， 令分别取：，得到导出组的基础解系为：；所以，方程组的全部解为： （其中、为任意常数）。8分10. 求线性方程组的全部解（用其导出组的基础解系表示）。解：对线性方程组的增广矩阵施行行初

28、等变换得： ，.5分 令自由未知量，得到一个特解 ， 再取分别为，得到导出组的基础解系： ， 所以方程组的全部解为 ，（为任意常数）.8分11. 用基础解系表示线性方程组的全部解。解：设方程组的系数矩阵为，对其增广矩阵作初等变换，得： . 5分原方程组同解于，取得方程组一个特解。导出组的系数矩阵可化为，导出组与方程组同解，取，得基础解系：。故原方程组的全部解为:，（为任意系数）.8分12已知方程组() 的解都是方程组() 的解，试确定。解：=， 于是得方程组()的全部解： ，.3分将代入()的导出组得，将代入()得，解此四式得。 .8分13已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解，(1)证明此

29、方程组的系数矩阵的秩为2.(2)求的值和方程组的通解. 解:(1) 设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是的两个线性无关的解.于是的基础解系中解的个数不少于2,即,从而,又因为的行向量是两两线性无关的,所以,两个不等式说明.(2)对方程组的增广矩阵作初等行变换: .3分 由,得出,代入后继续作初等行变换: .5分 得同解方程组, 得到方程组的通解: (2,-3,0,0)t+c1(-2,1,1,0)t+c2(4,-5,0,1)t, c1,c2为任常数. .8分14设,.讨论为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解? 并在有无穷多解时，求出其通解.解：经计算 因

30、此方程组有唯一解.2分时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形: 因 ，即时无解。 .5分时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形: 因，所以时有无穷多解。等价方程组为: 得通解为：，（为任意系数） .8分15已知线性方程组 ，试讨论：(1)取何值时，方程组无解；(2)取何值时,方程有唯一解，并求出其解；(3)取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。解： (1)时， ，无解； .2分 (2)时，唯一解 .5分(3)时，无穷多解, 通解 。 .8分16已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关,如果,求方程组的通解。解：令，则由得，将代入上式，整理后得，由线性无关，知， .5分解此方程组得，其中k为任意常数。

31、 .8分17已知线性方程组解：，讨论取何值时，方程无解；有惟一解；有无穷多解（不必求解）。解： .4分由于方程有解0，1，故得时有惟一解；时有无穷多解；时无解。 .8分18设线性方程组为：，试讨论下列问题：（1）当取什么值时，线性方程组有唯一解？（2）当取什么值时，线性方程组无解？（3）当取什么值时，线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）。解 ：线性方程组的系数行列式为 .2（1）当，即且时，线性方程组有唯一解； .4分（2）当时，线性方程组无解；. 6分（3）当时线性方程组有无穷多解，且其通解为。 .8分19设线性方程组，已知是该方程组

32、的一个解，求方程组的全部解。解：将代入方程组中得， .2分.4分当时，方程组有无穷多解，此时，方程组的全部解为：（c为任常数），.6分当时，于是，故方程组有无穷多解，全部解为：。 .8分20求一齐次线性方程组，使，构成它的一个基础解系。解：显然，所求的方程组是一个5元线性方程组，且，另一方面，由，得，其中，因此的每一列亦即的每一行，都是方程组的解，且该方程组的一个基础解系所含解向量的个数为，故只要求方程组的一个基础解系，则以为系数矩阵的方程组即满足要求，为此对矩阵施行初等行变换，得， . 4分由此得方程组的一个基础解系：， . 6分故所求的线性方程组为，即。 . 8分二、证明题（每题8分）1已

33、知三阶矩阵且的每一个列向量都是方程组的解，求 (1)的值；(2)证明。(1)解：由得中至少有一非零列向量，的每一个列向量都是方程组的解，所给齐次方程组有非零解，则它的行列式，。 . 4分(2)证明：（反证法）若设，则可逆，因此由题意与矛盾，所以。 . 8分 2已知方程组，若互不相等，证明方程组无解。证明：由于增广矩阵的行列式是范德蒙行列式，且互不相等，故， .4分则,而系数矩阵为矩阵,，方程组无解8分3设有两个n元齐次线性方程组，。证明：（1）若的解都是的解，则；（2）若与同解，则。证明：（1）由条件知的解空间是的解空间的子空间，因此的解空间的维数不大于的解空间的维数，即，于是； .4分（2）

34、由条件知的解空间与的解空间是同一空间，因而该空间的维数为，由此即得。 .8分4已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解，（1）证明方程组系数矩阵的秩；（2）求的值及方程组的通解。解：（1）设是非齐次方程组三个线性无关的解，令，则是其导出组的两个解设即因线性无关，所以必有，即由此得线性无关，因为导出组至少有两个线性无关的解，所以其基础解系至少包含两个解，故，由此得；另一方面，导出组的系数矩阵 存在2阶不等于零的子式，所以，综上所述，即得。 .4分（2）因非齐次方程组有解，故其增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由（1）得,故增广矩阵 的秩也为2，用初等行变换把上述矩阵化为阶梯形 由此得 

35、60;   ，即利用上述阶梯形矩阵，可得同解方程组 即 由此得通解为 ：，其中为自由未知数。 .8分5设方程组(1)及方程组(2)，其中，证明：方程组(1)有惟一解的充要条件是方程组(2)有惟一解。证明：记方程组(1)和方程组(2)的系数矩阵分别为，并令，则有，即有，于是，若方程组(1)有惟一解，则，即，从而，所以方程组(2)有惟一解。.分反之若方程组(2)有惟一解，则，即可逆，所以，若，则，从而由的定义知，因此，矛盾，故，所以方程组(1)有惟一解。.8分发展应用能力层次一、 计算题（每题10分）1设有两个四元齐次方程组(); () ,（1）线性方程组()的基础解

36、系；（2）求方程组()和()的非零公共解。解：（1）方程组()的系数矩阵，则得()的基础解系为：和；.3分（2）由（1）的结果，方程组()的一般解为：,若两个方程组有公共解，将上式代入方程组()中，必有，得，所以()和()的非零公共解为：。.10分2已知非齐次线性方程组，；（1） 求解方程组，用其导出组的基础解系表示通解；（2） 同解，求的值。解：（1）设组（i）的系数矩阵为，增广矩阵为，对作初等行变换，得：， 因，故（i）有无穷多解，且通解为，为任意常数。.5分（2）将通解代入组（ii）第一个方程，得到：，即，由得任意性，得。将通解代入组（ii）第二、三个方程，分别得到。因此，。 .10分 3设非齐次线性方程组有3个解向量，求此线性方程组的系数矩阵的秩，并求其通解。其中为常数。解：设所给方程为