数学归纳法在高等代数中的应用

1、数学归纳法在高等代数中的应用 内容摘要：文章主要通过实例介绍了数学归纳法在多项式、排列、行列式、矩阵、二次型、线性空间、线性变换等方面的应用简单的做了汇总，说明了数学归纳法在解决高等代数实际问题中的重要作用.关键词：数学归纳法 高等代数 应用在高等代数课本中我们经常用第一数学归纳法和第二数学归纳法来证明许多的定理，但是课本中却没有数学归纳法明确的定义.因为在上高等代数课老师讲到数学归纳法时讲数学归纳法有好几种（查看附录），我就对这个课题产生了兴趣，所以写了这个课题.数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用，它是用来证明与自然数有关的命题.而在高等代数中，行列式的阶、多项式的元、矩阵的行与列、线

2、性方程组的未知量、二次型的元、线性空间的维数均与自然数有关,因此数学归纳法在高等代数中的应用非常重要.本文将第一数学归纳法和第二数学归纳法在高等代数中的应用做叙述.一数学我归纳法概念【18】【19】1第一数学归纳法：设是关于自然数的命题，若（1）在时成立；（2）在（是任意自然数）成立的假定下，可以推出成立，则对一切自然数都成立.2第二数学归纳法：设是关于自然数的命题，若，（1）在时成立;（2）在（,其中是任意自然数）成立的假定下，可以推出成立，则对一切自然数都成立.二、数学归纳法的应用（一） 数学归纳法在多项式中的应用例1 【7】【12】【14】 每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分

3、解成一次因式与二次不可约因式的乘积.证明：对次数作第二数学归纳法.对一次多项式显然成立.假设对次数的多项式已经证明. 设是次实系数多项式.有代数基本定理，有一个复根.如果是实数,那么，其中是次实系数多项式.如果不是实数，那么也是的根且.于是.显然是一实系数二次不可约多项式.从而是次实系数多项式.由归纳法假定，或可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因之也可以如此分解. 1例2 【9】【10】【17】 已知是不全部为零的多项式,其中 （1），存在多项式，使.证：对用第二数学归纳法当时，结论显然成立.假定对个多项式结论成立，即存在多项式，使 (2)（为的一个公因式）.再证对个多项式结论也成立.由

4、于（为的一个公因式），故存在，使.把（2）式代入（1）式，得或.其中.例3 【8】设及为个多项式，而且.证明:.证：对用第二数学归纳法.当时，再对用第二数学归纳法.当时，结论当然成立，因为有.假定时，结论成立，即有.但是,故由(若得)知，有.即时结论成立.假定结论对成立，即有.再根据时成立的结论,有,得.即结论对成立。从而有数学归纳法原理知，结论对任意正整数均成立.（二） 数学归纳法在行列式中的应用例4 【6】【9】【13】设及为数码得任意两个排列.证明：总可以通过对换把一个变成另一个，且若二者奇偶性相反（相同），则必须用奇(偶）数个对换.证：对数码个数用第二数学归纳法.当时结论显然成立.假定

5、对个数码结论已成立.下证对个也成立.若,则与是个数码的排列，按归纳假设他们可以通过对换互化，亦即与可通过对换互化.如果,设,则通过对换（）化成,它与就是上面情形.所以又可通过对换把化为.又由于对排列每施行一次对换都改变排列的奇偶性，故当与的奇偶性相反时，只能通过奇数个对换把一个变成另一个；而当二者奇偶性相同时，只能通过偶数个对换把一个变成另一个.例5 【14】【17】行列式（1）称为级的范德蒙德行列式.证明：对任意的，级范德蒙德行列式等于这个数的所有可能的差的乘积. 我们对作第一数学归纳法. 当时，结论是对的. 设对于级的范德蒙德行列式结论成立，现在来看级的情况. 在（1）中，第行减去第行的倍

6、，第行减去第行的倍.也就是由下而上依次的从每一行减去它上一行的倍，有.后面这行列式是一个级的范德蒙德行列式，根据归纳假设，它等于所有可能差的乘积；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明.例6 【11】【12】设,证明：=.证：对行列式的阶数用第二数学归纳法.当时可以直接验算结论成立.假定对这样的阶行列式结论成立，进而证明对阶数为时结论成立.按的最后一列，把拆成两个阶行列式相加： =.但由归纳假定，从而有= . 例7 证明： 证：对用第一数学归纳法.当时显然成立.假定对成立，下证对也成立.按第一列把表示成两个行列式相加，再由归纳假设即得=.（三）

7、数学归纳法在矩阵中的应用注：数学归纳法不仅可以在证明题中运用还可以在计算题中运用.在计算题中用到时首先用不完全归纳法猜想出结果，再用数学归纳法证明其结果正确.例 8 【7】【12】【14】计算.解：利用不完全归纳法可猜想到，下面用第一数学归纳法证明.当时，有，即结论成立.假设对于，结论成立，即.则对于，有.故.例9 【12】【14】设是一矩阵，求证：可以表成这一类初等矩阵的乘积.证明：用第一数学归纳法. 当时，结论成立. 假定对于结论成立，可推证当时的结论. 若，则.即可以通过一系列第三种初等变换化成，由于第三种初等变换不改变行列式的值，因此.又是级矩阵，由归纳假设有，可以用第三种初等变换化成

8、单位矩阵，因而也可以用第三种初等变换化成，这就是说，可以用一系列第三种初等变换化成，所以可以表示成这一类初等矩阵的乘积. 若，则由可知，的第一列至少有一个，不妨设，则这就化成了的情形，结论也成立. 综上，结论成立.（四）数学归纳法在二次型中的应用例10 【7】【12】【14】数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式.证明：我们对变量的个数作第二数学归纳法. 对于，二次型就是.已经是平方和了.现在假定对元的二次型，定理的结论成立.再设. 分三种情况来讨论：1） 中至少有一个不为零，例如.这时 这里是一个的二次型.令即这是一个非退化线性替换，它使.由归纳假定，对有非退化线性替

9、换能使它变成平方和.于是非退化线性替换就使变成即变成平方和了.根据归纳法原理，得证.2） 所有，但是至少有一，不失普遍性，设.令.它是非退化线性替换，而且使，这时上式右端是的二次型，且的系数不为零，属于第一种情况定理成立.3） .由于对称性，有这时.是元二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线性替换变成平方和.这样我们就完成了证明.（五） 数学归纳法在线性空间中的应用例11 【12】设是数域上维线性空间的一个维子空间，是的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在中必定可以找到个向量，使得是的一组基.证明：对维数差作第一数学归纳法，当，定理显然成立，因为已经是的基.现在假定时定理

10、成立，我们考虑的情形.既然还不是的一组基，它又是线性无关的，那么在中必定有一个向量不能被线性表出，把添加进去必定是线性无关的.由于，子空间是维的.因为，由归纳假设，的基可以扩充为整个空间的基.根据归纳法原理，定理得证.例12 【17】证明：如果集合的代数运算满足结合律，则对中任意个元素，只要不改变元素的前后次序，无论怎样结合，其结果都是相等的.证: 对元素的个数用第二数学归纳法. 当时，结论当然成立. 假定对元素的个数少于时结论成立，来证明对个元素也成立. 令是由元素按某种结合方法算得的结果.但由于不论怎样结合，其最后一步总是把两个元素结合起来，因此可设，其中是前个元素按某种加括号方法算得的结

11、果，是后个元素按某一种加括号算得的结果.由于，故由归纳假定，于是再由结合律及归纳假定可得 . 这就是说，这个元素无论怎样结合，其结果都等于，从而它们是相等的.例13 【2】【3】证明下面各组多项式都是次数低于的多项式空间的基：（1），为定数.（2）.证：（1）因为是维的，故只需证线段无关即可.对用第二数学归纳法.当时，显然线段无关.假设个线性无关.设，取，则上式得.把代入上式后等式两端约去因式得.按归纳法假设个线段无关，所以上式得.因此线性无关，从而是的一组基. （2）对用第二数学归纳法证明线性无关.当时，显然线性无关.假设个线性无关.设，（1）比较等式两端的系数，得到.把它代入（1）有.由归

12、纳假设个线段无关，因此得.于是线性无关.从而是的一组基.例14 【6】【8】设是线性空间的个非平凡的子空间.证明：中至少有一个向量不属于中任何一个.证：对用第二数学归纳法. 当时，结论成立.假定对个非平凡的子空间结论成立，即在中存在向量， 使. 对第个子空间，若向量，结论已对；若，则由于为非平凡子空间，故存在向量使.对任意数，向量（如果与矛盾），且对不同的数，向量不属于同一个（如果不属于同一个，则，得与矛盾）. 取个互不相同的数，则个向量中至少有一个不属于任何，这样的向量即满足要求.（六）数学归纳法在线性变换中的应用例15 【12】【14】属于不同特征值的特征向量是线性无关的.证明：对特征值的

13、个数作第二数学归纳法. 由于特征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然线性无关.现在设属于个不同特征值的特征向量线性无关，我们证明属于个不同特征值的特征向量也线性无关. 假设关系式（1）成立.等式两端乘以，得（2）.（1）式两端同时施行变换，即有（3）.（3）减去（2）得到.根据归纳假设，线性无关，于是.但，所以.这时（1）式变成.又因为，所以只有.这就证明了线性无关. 根据归纳法原理，得证.例16 【9】【10】【11】设是线性空间的线性变换.证明：如果，但，则线性无关.证：对用第一数学归纳法.当时，向量组即，当然是线性无关的.假定时结论成立，下证时成立：即设，但，即.于是由归纳假设（1）相

14、性无关.而如果（2）线性相关，则必可由（1）线性表示，设，两边施以，由于，故得.这与矛盾.故（2）必线性无关.例17 【4】【7】设是复数域上的一个阶方阵.证明：复数域上任意一个阶方阵都与一个上三角矩阵相似.证：对阶数用第一数学归纳法当时结论当然成立.假定对阶结论成立，证明对阶成立.设为任一阶复方阵，由（）知，存在可逆方阵，使.由于是阶复方阵，故由归纳假设，存在阶可逆方阵，使.从而可逆方阵，使从而得证.（七）数学归纳法在-矩阵中的应用 例18 【2】【8】【17】设为特征根是的阶若当块，而，证明：.证：可以用第二数学归纳法证明.，其中，而当时认为.于是.将代入上式后即得的第行第列的元素为.所以

15、.（八）数学归纳法在欧几里得空间里的应用例19 【12】维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证明：设是一正交向量组，我们对作第一数学归纳法. 当时，就是一组正交基了. 假设时结论成立，也就是说，可以找到向量，使得成为一组正交基. 现在看来的情形.因为，所以一定有向量不能被线性表出，作向量.这里是待定的系数.用与作内积，得.取.有.由的选择可知.因此是一正交向量组，根据归纳假定，可以扩充成一正交基. 于是，命题得证.附录 四种数学归纳法数学归纳法的表达形式是有很多，如第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒推归纳法和螺旋式归纳法.下面给出四种归纳法的定义.1第一数学归纳法：设是关于自然数

16、的命题，若（1）在时成立；（2）在（是任意自然数）成立的假定下，可以推出成立，则对一切自然数都成立.2第二数学归纳法：设是关于自然数的命题，若，（1）在时成立;（2）在（,其中是任意自然数）成立的假定下，可以推出成立，则对一切自然数都成立.3、倒推归纳法（反向归纳法）：设是关于自然数的命题，若：（1）验证对于无穷多个自然数命题成立；（2）假设成立，并在此基础上，推出成立；综合（1）（2），对一切自然数，命题都成立.4、螺旋式归纳法：对两个与自然数有关的命题，若：（1）验证时成立；（2）假设成立，能推出成立，假设成立，能推出成立；综合（1）（2），对一切自然数，都成立.而在本文中主要介绍第一数学

17、归纳法和第二数学归纳法在高等代数中的应用.所以对与其他的归纳法不作进一步的讲解. 三、小结 总之，在高等代数中还是在其他学科中，解题证明问题时，我们常用数学归纳法证明这些问题,使得在解决问题是显得思路清晰,又能找出相应的递推关系,非常凑效.我们常把数学归纳法作为解题的一种重要的方法.用数学归纳法解决高等代数中的问题时，让我们更简便，更快的解决问题.参考文献：【1】 北京大学数学系.高等代数m.北京：高等教育出版社.1988年.【2】 张贤科，许甫华.高等代数m.北京：清华大学出版社.2000年.【3】 李师正.高等代数复习方法与技巧m.北京：高等教育出版社.2005年.【4】 杨子胥.高等代数

18、习题解（上，下）.济南：山东科学技术出版社.2001年09月.【5】 唐忠明，戴桂生.高等代数.南京：南京大学出版社.2000年01月.【6】 钱吉林.高等代数题解精粹（2版）.北京：中央民族大学出版社.2002年10月.【7】 王萼芳，石生明.高等代数（第三版）.北京：高等教育出版社.2003年09月.【8】 闫晓红.高等代数全程导学及习题全解（北京大学第三版）.北京;中国时代经济出版社.2006年09月.【9】 刘云英，张益民，李景斋等.高等代数习作课讲义.北京师范大学出版社.1987年07月.【10】 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）.高等教育出版社.1988年.【11】 武汉教育学院，北京教育学院，上海教育学院.高等代数.高等教育出版社.1988年10月.【12】 王萼芳.高等代数教程（上，下）.清华大学出版社.1997年04月.【13】 乐茂华.高等代数.南京大学出版社.2002年7月.【14】 王萼芳.高等代数教程习题集.清华大学出版社.1997年05月.【15】 徐德余，何承源.高的代数.成都：四川大学出版社.2002年10月.【16】 丘维声.高等代数（第二版）（上，下）.高等教育出版社.200