空间向量在立体几何探索性问题中的应用林巧红

1、空间向量在立体几何探索性问题中的应用福建晋江养正中学林巧红摘要：“空间向量与立体几何”这一章是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。关键词：空间向量，立体几何，平行垂直，角，距离，探索性问题立体几何中，平行、垂直、距离和角的问题是主要问题，而以它们为背景的探索性问题是近年来高考数学命题创新的一个显著特点，既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价变换，而向量具有几何形

2、式和代数形式的“双重身份”，是联系几何与代数的桥梁。用空间向量处理空间几何问题，它的实质是将综合推理转化为代数运算，建立“由形到形，由形到数，由数到形”的新方法，即在计算或证明立体几何问题时，因地制宜的建立空间直角坐标系，把图形中的相关点用坐标表示，相关的线段用空间向量表示（它的很多原理都与平面向量相似），从而将空间问题用坐标运算求解，可以避免较为复杂的空间想象，本文以一道题为例，将“空间向量”在解决立体几何探索性问题中的作用作初步探讨：c1a1b1baded1如图：在正方体中，棱长为1，是棱的中点 （1）在棱上是否存在一点f，使面。（2）在平面内是否存在一点m，使am平面。（3）在棱上是否存

3、在一点n，使bn与平面所成角的正弦值为。（4）在棱上是否存在一点p，使点p到平面的距离为。分析：本题以正方体为载体，分别考察了以线面平行，线面垂直，线面角，点面距离为背景的探索性问题。在解决立体几何探索性问题的过程中，利用传统方法计算时，发现学生要么毫无头绪而选择放弃，要么出c1a1b1baded1fgc现以下两种解法：解法一，先猜点f为线段的中点，然后把点f为线段的中点作为已知条件，证明面 如第一问的解法：f为线段的中点，连接ef，取线段的中点g，连接egef且ef=，且=ef且ef=，c1a1b1baded1fck四边形为平行四边形，eg又面，面h点评：混淆充分性与必要性，这种解法是解决了

4、必要性问题，而不是充分性问题，解法是错误的。解法二：采用综合推理的计算方法如第一问的解法：取的中点h，bc的中点k，连接fh，ek，dk，eh且eh=，eh且eh=四边形为平行四边形，又面，面又，面，面面，面又ek，平面与平面表示同一个平面又平面平面ek，又e，k，h分别是线段的中点所以点f是线段的中点点评：要充分挖掘题目所提供的已知条件，做到看到已知想性质，做辅助线，要求比较高，步骤比较繁琐点，经常会出现跳步，该写没写而被扣分。若能注意到该题是以正方体为载体，这样就可以建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系后，标出点的坐标，终点坐标减去起点坐标，向量坐标也就顺势而成。建系如图所示：zc1a1

5、b1baded1fy(1)法一：直线的方向向量可用平面的两个不共线向量表示 设 x 所以当f是的中点时，面法二：直线的方向向量与平面的法向量垂直设平面的一个法向量 则 即取所以当f是的中点时，面点评：利用向量法探究线面平行，只须将这条直线的方向向量用平面内两个不共线的向量来线性表示或转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直来处理，再说明这条直线不在已知平面上。c1a1b1baded1mz（2）法一：直线am的方向向量与平面内两条直线的的方向向量垂直。 yx设 即所以当m是的中点时，am平面法二：直线am的方向向量与平面的法向量平行， 即所以当m是的中点时，am平面z点评：用向量方法探究线线垂直、

6、线面垂直，就是利用这条直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量垂直或利用这条直线的方向向量与平面的法向量共线即可。c1a1b1baded1n(3)先求平面的法向量，再套用线面角的向量公式解决问题，,y 设 x, 设bn与平面所成角为则= 又 所以当时，bn与平面所成角的正弦值为点评：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角是立体几何中空间角的三种类型。传统综合推理法的三步是“作证算”，但作这几个角的过程对空间想象能力和逻辑推理能力的要求比较高，而利用向量法解此类问题就可以避开抽象、复杂地寻找角的过程。只要能够熟练应用公式，就可以避烦就简，从而顺利地解决问题。 c1a1b1badd1ep（4）先求平面的法向量，再套用点面距离的向量公式 设 ，点p到平面的距离为=又所以 所以当，点p到平面的距离为。点评：立体几何中的点面距离可由公式解决，其中向量为平面的法向量，向量为平面外一点点与面上任一点所构成的向量。线面距离和面面距离都可以转化为点面距离来处理。总之，利用空间向量可以融“作”“证”“算”为一体，将立体几何问题模式化，从而找到一条很简洁