21.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积作业

1、精品教育资源1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积目标定位 1.了解表面与展开图的关系.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.睇前自学可再飞耍哽嗔哽盛咧吸嚼哽理直里鬻面自主预习1 .多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积2 .旋转体的表面积名称图形公式底间积：S底=2兀r圆柱r1 1侧卸积：S侧=21rl2 nr表面积：S = 2上rl + 2-r圆锥11八”A2底间积：S底=兀r侧卸积：S侧=兀rl表卸积：S="rl +冗r上底卸回积：S上底=冗r下底

2、卸闻积：S下底=山r侧卸积：S侧=兀l(r + r )表卸积：S="(r +r+rl + rl)圆台i3.体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为 S,高为h,则V=Sh.(2)锥体：锥体的底面面积为 S,高为h则V=1Sh3(3)台体：台体的上、下底面面积分别为 S'、S,高为h,则V=1(S'+坛飞+ S)h.即时自测1 .判断题(1)直棱柱的侧面展开图是矩形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.(，)(2)圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形.(X)(3)柱体的底面积为S,高为h,其体积V=Sh,特别地，圆柱的底面半径为r, 高为h;其体积V=冗人."

3、)已知圆锥SO的底面半径r = 2,高为4,则具体积为16冗.(X)提示(2)圆锥的侧面展开图是一个扇形.(4)V=1 7tx 22X4 =竽兀. 332 .圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于()A.15B.15 兀C.24兀D.30 九解析 $侧=兀1 =兀X 3X 5= 15兀.答案 B3 .将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面 积是()A.4兀B.3兀C.2九D.冗解析 底面圆半径为1,高为1,侧面积S= 2冗由=2冗X1X1=2几.故选C.答案 C4 .圆台OO的上、下底面半径分别为1和2,高为6,则其体积等于 .解析 V=1M12+ 1X2

4、+22)X6= 14 兀.3答案 14九鹏皇互期:二题逊革：；缗菖理；饕：；碧：爵:常正动上流醒j类型一空间几何体的表面积【例1】 如图所示，已知直角梯形ABCD, BC/AD, /ABC=90° , AB = 5 cm, BC=16 cm, AD = 4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.J?解 以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm,下底半径是 i6 cm,母线 DC = ,52+ (i6 4) 2 =i3(cm).该几何体的表面积为 兀(4+i6)Xi3+兀X42+兀Xi62=532兀(cm2).规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关

5、几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.【训练11如图，已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它 的表面积.欢迎下载使用解 先求 SBC的面积，过点S作SDLBC,交BC于点D.因为 BC = a, SD=MSB2BD2 =1 -_所以 Sasbc= 2BC , SD= 2ax 乎a=%因此，四面体S-ABC的表面积S= 4x3a2=>/3a2类型二空间几何体的体积(互动探究)【例2】 如图，三棱台ABCAiBiCi中，AB

6、: AiBi=1 ： 2,求三棱锥Ai-ABC,三棱锥B-AiBiC,三棱锥CAiBiCi的体积之比.耳AAC思路探究探究点一题中三棱台与三棱锥有什么关系?提示 题中三个三棱锥可看作是由三棱台分割而成的 探究点二 求体积的常用方法有哪些?提示 求几何体体积的常用方法有：公式法，等积变换法，补体法，分割法 解 设棱台的高为h, SaABC = S,则SAAiBiCi = 4S . Va1 ABC = aSABC , h = aSh, 331- 4cVc a1B1C1 = §SaA1B1C1 , h = 3Sh.4S+ 2SfSh, 33二 Vb A1B1C= V 台一Va1 ABC V

7、c A1 B1C1Sh-7O1_3Sh一 5体积比为1 ： 2 ： 4.规律方法求几何体体积的常用方法【训练2】如图,在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.B解 在三棱锥 AiABD 中，AAi,平面 ABD, AB=AD = AAi = a,AiB=BD=AiD =唇，VA1 ABD = VA A1BD,11 211c 3 c 3x5a , a= 3X 2x>/2ax ? ' V2a . d.d=a.A到平面A1BD的距离为坐a.类型三与三视图有关的表面积、体积问题【例3】一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则 该四棱

8、锥侧面积和体积分别是（）HA.4乖，8B.475, 3D.8, 8C.4N5+1), 83解析由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积由正视图知：四棱锥的底面是边长为 2的正方形，四棱锥的高为2,. V=3x 22X2= 8.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为 2,高为45, 33 S 侧= 4x1x2xV5 = 4f5.答案 B规律方法 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视 图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和【训练3】已知某三棱锥的三视

9、图如图所示，则该三棱锥的体积是 .解析 由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图,由正、俯视图可知，4ABC为等腰三角形，且AC = 2#,AC边上的高为1,&abc1=5><24><1=小.1一3由侧视图可知：二梭锥的图 h=1,.Vs-abc=§SaABch= 3.答案33课堂小结1 .圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开 图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.2 .计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要 充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴

10、截面，将空间问题转化为平面问题.3 .在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化 思想”.自主反愦区保堂达宿1.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1 ： 2 ： 3,对角线的长是214,则这个长方体的体积是（）A.6B.12C.24D.48 解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为 x、2x、3x,又对角线长为2币, 则 x2+(2x)2+(3x)2= (2/14)2,解得 x = 2；.三条棱长分别为 2、4、6. V 长方体=2 X 4 X 6 = 48.答案 D2 .一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm),则该几何体的表面积为()正捌图 侧视图俯视图

11、A.12 兀B.18 九C.24 兀D.36 九解析 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径 r=3,母线1 = 5,- S表=兀1 +冗产=24几.故选C.答案 C3 .一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为ccc CC1 + 2冗解析 设底面半径为r,侧面积为4九2/，表面积为2兀产+4冗22,其比为2兀4 .在长方体ABCD AiBiCiDi中，截下一个棱锥 C AiDDi求棱锥CAiDDi的 体积与剩余部分的体积之比.解 已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面 ADDiAi的面积为S,高为h, 则它的体积为V=Sh1而棱锥CAiDDi的底面积为2&图为h

12、,故三棱锥C AiDDi的体积：Vc aiddi = ；x ；Sh=、Sh,余下部分体积为：Sh、Sh= |sh. 3 2666所以才8锥C AiDDi的体积与剩余部分的体积之比为 1 ： 5.课时作业| 巩闾*升区 基础过关1 .圆台的上、下底面半径分别是 3和4,母线长为6,则其表面积等于（）A.72B.42 兀C.67 兀D.72 九解析 S圆台表=S圆台侧+$上底+ $下底=兀（3 + 4） &+ 兀 32+ tt 42 = 67 tt.答案 C2 .如图所示，正方体ABCD AiBiCiDi的棱长为I,则三棱锥Di ACD的体积是 （）iiiA.6B.3C.2D.i解析 三棱

13、锥 Di-ADC 的体积 V= 1szadcXDiDXXADXDCXDiDxJ33 23 2X ix ix i =.6答案 A3 .一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如下图所示该四棱锥侧面和体积分别是（）A.4 m，88C.4(亚+1),同38B.45, 3D.8, 8解析由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2,高为2,侧面上的斜高为、22+12 =75,所以 S 侧= 4X（2X2X 正 j= 4-75, V=3X22X2=a答案 B4 .一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为.解析 S 圆柱=2 兀+ 2 tt -2 Ja=

14、 2 Tta2,a 2 a 32S圆锥=入2 J +兀2 a = 4：ta , ；S圆柱：S圆锥=2 ： 1.m3.答案 2 ： 15 .一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为僻视图解析根据三视图知，该几何体上部是个底面直径为 4 m,高为2 m的圆锥,卜部是一个底面直径为2 m,高为4 m的圆柱.故该几何体的体积V=1TtX22X2+ 冗 X12X4 = 20 (m3).33答案6 .如图是某几何体的三视图o正视用o恻视图俯视图画出它的直观图（不要求写画法）;（2）求这个几何体的表面积和体积.解（1）这个几何体的直观图如图所示.（2）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是

15、一个圆柱（底面半径为1,高为2）,它的上部是一个圆锥（底面半径为1,母线长为2,高为43）, 所以所求表面积为S=兀X 12 + 2冗X1X2+冗X1X2=7冗,体积为V=兀X 12X 2+1X兀X 12xJ3=2冗+坐冗.337 .在4ABC中，AC = 3, BC = 4, AB = 5,以AB所在直线为轴，三角形面旋转 周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积.解过C点作CDXAB,垂足为D.以4ABC中边AB所在直线为轴旋转一周,所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，这两个圆锥的高的和为AB=5,底面半径 DC = ACarBC = 12,故 S表=兀 DC (BC+AC) =

16、 84几。 AB 55V=1 几 DC2 . AD + 1 冗 DC2 . BD 33=1 几 DC2 . (AD + BD) = 48 几. 358448即所行旋转体的表面积为 y冗,体积为三冗.55能力提升8.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A.54B.54 兀C.58D.58 几解析 设上底面半径为r,则由题意求得下底面半径为 3r,设圆台高为hi,则 52=1 几hi(r2 + 9r2 + 3r r),3.仃、1=12.令原圆锥的高为h,由相似知识得知a=31h h1h3h=2山，. V 原圆锥=：M3r)2x h= 3 仃2*|&#

17、187; = |x 12=54.322答案 A一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为il-.r9觇图俯视性I1 2A.&+ & 冗 3 3D. 1+醇解析棱锥, 2由二视图知，半球的半径R嚏,四棱锥为底面边长为1,图为1的正四、，1/ / / 1 412 一、3+-6九，故选c. . V= 3X ix ix 1 + 2X3TtX答案 C10.在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB=BC = 2,过 Ai, Ci,长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ABCD-AiCiDi,B三点的平面截去且这个几何体的体AiDiCi解析由题意知 Vabc

18、d一AiciDi = Vabcd aibicidi Vb aibicii I= 2X2 AAi-0X33 2 i0X 2 X 2 AAi = "3"AAi = i0, . .AAi = 3.答案 3ii若E, F是三棱柱ABC- AiBiCi侧棱BBi和CCi上的点,BiE=CF,三棱柱的体积为m,求四棱锥ABEFC的体积.解 如图所示，连接ABi, ACi.为 的积为i0,则AAi =.BiE = CF, .梯形BEFC的面积等于梯形BiEFCi的面积.又四棱锥A-BEFC的高与四棱锥ABiEFCi的高相等,.i Va BEFC= Va BiEFCi = 'Va BBiCiC.P_iou又 Va aibici = 3$4aibici ' h,3'Vabc aibici = Saaibici . h=m,Va aibici =.一一一2 Va BBICIC = VaBC AIBICI Va AIBICI = 3m,