线性代数复习题

1、 矩阵一、 填空题1.矩阵与的乘积有意义，则必须满足的条件是 。2.设矩阵与都有意义，问与的关系为 ；又若与为同级方阵，问与的关系为 。3.设是一个列向量，是一个数，分析与的意义 ，两者是否相等？答： 。4.设又，问 。5.设与都是级方阵，计算 , , 。4.设矩阵,试将表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 （注意：任意阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设,计算 。8.设向量，则 ， 。9.设矩阵，则 。10.设，则 。11.设准对角矩阵,是多项式，则 。二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1、设矩阵满足，则或。 2、矩阵乘法适合交换律。3、设是级方阵，则。4、设是同级方

2、阵，若，则。5、若，则必有。 6、方阵满足，则或。三、解答题1.已知矩阵，计算,。2.设。试用矩阵分块方法求。行列式的计算一、 填空题1. 。(三阶以上的行列式没有对角线法则)2.试写出阶行列式按第一列展开的定义 。3.已知四阶行列式中第三列元素依次为 ，它们的代数余子式依次分别为 ，则=_。4.设矩阵，试写出行列式中-元的代数余子式 ，中第三行元素的代数余子式之和= 。5. 设表示中元素的代数余子式，则 6、 已知D=,为中第4行元素的代数余子式，则.7.设是矩阵 的伴随矩阵，则8.设阶矩阵可逆，则 。9.若都是阶方阵，则 。10.设 是阶方阵的伴随矩阵, ,则 。11.若，都是阶方阵，则。

3、12.设矩阵, 则 _。()13、已知是关于的一次多项式，该式中的系数为_.二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1、设是阶矩阵，则。2、若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零）3、设是阶方阵， 且， 则 。三、解答题1.计算下列行列式(常规方法将行列式化为上三角形行列式,不熟练的话一定要一步一步化才不容易出错)(1)， (2)， (3)， (4)。(注:此行列式为列等和行列式(每一列的和都相等),也是行等和行列式,方法从第2行开始到第n行都加到第1行,这样第一行的元素都相等,可以提取公因式,这样第一行的元素就都是1了)2.求。3计算4阶行列式.(列

4、等和行列式)4. 计算阶行列式 . (列等和行列式)5计算阶行列式 (列等和行列式)6计算 (三线型行列式，要利用列变换把第一列除了的元素都化为0)7计算 （三线型行列式）8. 计算行列式.（三线型行列式）9.设3阶方阵的伴随矩阵为，且，求。10.设，求。11.设， 求。12.设，求。13.设是阶方阵,且,求,其中 是的伴随矩阵。逆矩阵一、 填空题1.试写出阶方阵可逆的几个充分必要条件（越多越好） 。2.设矩阵，则 。3.设，则 。4.已知矩阵满足，则 。5.已知为同阶方阵,且可逆,若,则 (是整数)。6.设均为阶方阵，且，则。7.设均为阶方阵，且，则。二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的

5、请证明）1.矩阵可逆，且其逆为其本身。2. 矩阵，可逆，且其逆为其本身。3.若方阵可逆，则其伴随矩阵也可逆。4.设,都是阶方阵,若,都可逆,则可逆。5.阶方阵满足，则可逆。三、解答题1.已知，求逆阵。 2.设，求3.用两种方法求下列矩阵的逆 .4.已知矩阵和满足关系式：，其中，求矩阵。矩阵的秩一、 填空题1.试写出矩阵秩的定义： 。2.设矩阵，则的秩 。3.矩阵的秩为_， 的伴随矩阵= 。4.设是3阶可逆方阵，是矩阵且，则 。5.设，是矩阵且，则 。6.设是矩阵且，则的等价标准形为 。7.设，则的等价标准形为 。8.设，则的等价标准形为 。二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.若

6、矩阵的秩为，则中必有某一个阶子式不等于零。2.若阶方阵的秩，则其伴随阵。三、解答题1.写出下列矩阵的等价标准形，（对讨论）2.设矩阵的秩为2，求，。线性方程组一、 填空题1.试写出线性方程组有解的一个充分必要条件 。2.设是阶方阵，且秩，则齐次线性方程组的基础解系中含 个解向量。3.方程组的基础解系中含 个解向量。4.设是元齐次线性方程组的基础解系，则秩()= 。5.矩阵的秩为，则的基础解系一定由_个线性无关的解向量构成。6.设是阶方阵,则线性方程组的基础解系所含向量的个数是 。7.若方程组有非零解，则 。8.设是阶方阵,若线性方程组有非零解,则必有 。9. 已知齐次线性方程组 有无穷多解，则

7、必有 .二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.元线性方程组当时有无穷多解。2.设是阶方阵,若方程组满足,则有唯一解。3.对于线性方程组 (这里为n阶方阵)，如果该方程组有解，则必有 。4.设是方程组的解，则是的解。5.设是方程组的解，则是的解。6.设是线性方程组的解，则是的解。7.设是线性方程组的解，则是的解，是任意常数。三、解答题1.求解线性方程组（1）； （2）。2.求下列各非齐次线性方程组的通解及对应齐次线性方程组的一个基础解系。(1) ； (2) ；(3) 3.求齐次线性方程组的基础解系与其通解。4.已知线性方程组，求，使得上述方程组有解，并求出所有的解。5.讨论方程组，

8、当取何值时（1）方程组无解？（2）方程组有无穷多解？并求出通解.（3）方程组有唯一解？6.讨论下列方程组中的参数，研究方程组的解。(1) ； (2) ；(3) 向量组的线形相关性一、 填空题1., , 线性相关 ,则的值为_。2.若向量 与 线性相关，则的取值为 。3.设向量组，,则向量组的秩是 。4.设向量组I： 的秩为， 向量组II： 秩为， 且向量组I 能由向量组II线性表出，则与的大小关系是_。5.设向量组 I:线性无关，而 都能由I 线性表出，则秩( )= 。6.已知一个向量组含有两个或两个以上的极大线性无关组,则各个极大线性无关组所含向量的个数必定 。二、判别说理题（错误的请举例说

9、明，正确的请证明）1.维向量组必线性相关。2.若一个向量组线性相关，则该向量组中必含有零向量。3.如果向量组线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。4.包含零向量的向量组是线性相关的。5. 维向量组与维向量组秩相等，则这两个向量组必能互相线性表出。6.若两个向量构成的向量组线性相关，则它们必成比例。三、解答题1.求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示(1) ；(2) ；(3) ，。(4) ， ， ， 2.判断下列向量组的等价性与。3.设矩阵，求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用该极大无关组线性表示。4.设，求为何值时，（1）线性相

10、关？（2）线性无关？方阵的特征值与特征向量一、填空题1.设是阶矩阵的个特征值， 则。2.阶方阵的特征值为，则_。3.若是可逆方阵的一个特征值，则必有一个特征值为 。4.设是分别属于方阵的不同特征值的特征向量，则必线性 。5.实对称矩阵 的两个特征值为_。6.设实数是实矩阵的某个特征值，则可知矩阵 的某个特征值。7.若已知阶方阵的行列式，是矩阵的一个特征值，则其伴随矩阵必有一个特征值为。8.已知阶矩阵的特征值为，则矩阵的特征值为_。9.设是幂零矩阵,即存在正整数，使得，则的特征值为 。10.设为阶方阵，且，则的特征值只能是。11.设向量和都是矩阵对应特征值的特征向量，且向量，则向量 。12.已知

11、是的一个特征值，则。二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.可逆矩阵的特征值一定不为零。2.若是阶矩阵的特征值，则是的特征值。3.设为阶方阵，则与有相同的特征值。4.设为阶方阵，则与有相同的特征多项式。5.设是矩阵的两个不同的特征值,是对应的特征向量,则也是的特征向量。三、解答题1.求下列矩阵的特征值、特征向量：(1).；(2).；(3).；(4).。2.已知阶方阵的特征值为,试求。3.已知是矩阵的一个特征向量，试确定参数及特征向量所对应的特征值。相似矩阵一、填空题1.若阶方阵与相似，且，则 。2.若与相似，则 ， 。3.与阶单位矩阵相似的矩阵是 。二、判别说理题（错误的请举例说明

12、，正确的请证明）1.相似矩阵的行列式相等。2. 设矩阵相似于矩阵, 则与也必相似。3.设,都是阶方阵,若与相似,则与有相同的特征值。4.设,都是阶方阵,若,有相同的特征值,则与相似。5.设,都是阶方阵,若与相似, 与相似,则与相似。三、解答题1.设矩阵，（1）求的特征值和特征向量；（2）试求一可逆矩阵，使得为对角阵。2.设 （1）是否能对角化？说明理由。 （2）若能，试求可逆矩阵，使为对角阵。3.三阶方阵的特征值为， 对应特征向量分别为, 求。4.设 (1) 求的特征值和特征向量； (2) 是否可对角化？若可对角化，试求矩阵，使得成为对角形。实对称矩阵的正交对角化一、填空题1.设向量 与向量 相互正交， 则 = 。2.向量与正交，则_。3.已知。则内积 。4.设,若与正交,则应满足的关系为 。5.设为阶正交阵，则必可逆，且。6.设向量分别为实对称阵的两个不同特征