浙大第四版概率论与数理统计知识点总结

1、第1章随机事件及其概率（1）排列 组合公式pm m!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数（m -n）!cm -m!从m个人中挑出n个人进行组合的可能数n!（m _n）!（2）加法 和乘法原 理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m种方法完成，第二种 方法可由n种方法来完成，则这件事可由 m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mx n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m种方法完成，第二个 步骤可由n种方法来完成，则这件事可由 mx n种方法来完成。（3）一些 常见排列重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个）顺序

2、冋题（4）随机 试验和随 机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则 称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本 事件、样 本空间和 事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事 件，它具有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 0表示。一个事件就是由0中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用 大写字母A, B, C,表

3、示事件，它们是0的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件（？）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Q）的概率为1，而概率为1的事件也不一定 是必然事件。（6）事件 的关系与 运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：Au B如果同时有A二B，B二A，则称事件A与事件B等价，或称A 等于B： A=BA B中至少有一个发生的事件：AUB,或者A+Bo属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为 A-B,也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A“B，或者AB AB=?,则表示A与

4、B不可能同 时发生，称事件A与事件B互不相谷或者互斥。基本事件疋互不 相容的。O-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C)A (B U C) (A U B) A C=(AC)U (BC)QOQOH Ai = U Ai德摩根率：Zi£aUb = a. B，MTB=aUb(7)概率 的公理化 定义设0为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 ° 0 < P(A)

5、< 1，2° P( Q) =13°对于两两互不相容的事件A1，A2，有O0P U Ai =瓦 P(Ai) 丿id：常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古典 概型1 。b 1, 2 n ，12 P® 1 ) = P (灼 2 ) = P® n )=。n设任一事件A，它是由国m组成的，则有P(A)=©1)U®2)UUm) = P©1)+P©2)+P®m)mA所包含的基本事件数n 一基本事件总数(9)几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间

6、中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，P(A)-丄咚。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。L®)(10 )加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) = 0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)(11 )减P(A-B)=P(A)-P(AB)法公式当 BuA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=Q 时,P( B)=1- P(B)(12 )条件概率定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称为事件A发生条 P(A)件下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A)-旦AB2。P(A) 条件概率是概率的一

7、种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( Q /B)=1 n P(B/A)=1-P(B/A)(13 )乘 法公式乘法公式：P(AB) =P(A)P(B/A)更一般地，对事件 A, A,A,若P(AAA-1)>0，则有P(A1A2 An) = P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An | A1A2 An -l) 0(14 )独 立性 两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独 立的。若事件A、B相互独立，且P(A)a0，则有 p(b|A2P(AB)= P(A)P(B)= p(b)P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则

8、可得到A与B、A与B、A与B也都 相互独立。必然事件。和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。 多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C); P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。(15 )全概公式设事件B1,B2,，Bn满足1 ° BB2, , Bn两两互不相容，P(Bi) > 0(i =1,2, ,n),nAuU Bi2°-,(分类讨论的则有P(A) = P(B1)P(A| B1)

9、+ P(B2)P(A| B2) +P(Bn)P(A| Bn)。(16 )贝 叶斯公式设事件B1 , B2，Bn及A满足1° B1 , B2，Bn两两互不相容，P(Bi)>0, 1 = 1, 2,， n ,nAU U Bi2°i# , P(A)>0 ,(已经知道结果 求原因贝UP(Bi)P(A/BJ.彳P(Bi /A) = “i,i=1 , 2,n。Z P(Bj)P(A/Bj)此公式即为贝叶斯公式。P(Bi)，( i=1，2，n ),通常叫先验概率。P(Bi / A) , (i =1 , 2 ,，n)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概 率规律，并作

10、出了“由果朔因”的推断。(17 )伯 努利概型我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A发生或A不发生； n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1-P=q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(°兰k w n)次的概率，f 八、kk n_kPn(k) =Cn P q , k =0,1,2，,n。第二章随机变量及其分布(1)离设离散型随机变量X的可能取值为X<(k=1,2,)且取

11、各个值的散型随概率，即事件(X=Xk)的概率为机变量P(X=x<)=Pk, k=1,2,，的分布则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分律布列的形式给出：X| x*，,xk,P(X =xk) P1, P2,Pk,。显然分布律应满足下列条件：为 pk = 1(1)Pk 启0 , k 彳2,(2)k二。(2)连设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实续型随数x，有机变量x的分布F(x) = Lof(x)dx密度则称X为连续型随机变量。f(X)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：j f(x“0。-bo2°J

12、f(x)dx=1。(3)离 散与连 续型随 机变量 的关系P(X =x)壯 P(xcX Wx + dx)吧 f(x)dx积分元f (x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X =Xk) = pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x) =P(X 兰 x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a cX兰b) = F(b)-F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-, x内的概率。分布函数具有如下性质：1 °0 乞 F(X)乞1,£ X £ +吆；2&

13、#176;F(x)是单调不减的函数，即X1CX2时，有 F(xi)兰F(x2)；3°F(-«) = lim F(x) = 0，F(代)=lim F(x) =1;4°F(x+0)=F(x)，即 F(x)是右连续的；5°P(X =x) =F(x) _F(x_0)。对于离散型随机变量，F (x) = E pk ;xk痙X对于连续型随机变量，F(x)=Jf(x)dx。(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q32 / 33二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为01,2,n。P(kP

14、n(kC：pkq""，其 中q =1 p,0 v p <d,k =0,1,2,n，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为X B(n,p)。当 n =1 时，p(x =k) = pkq1上，k = 0.1，这就是（0-1 ）分布，所以（0-1 ）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kP(x =k) =e" k >0，k k!：=0,1,2，则称随机变量x服从参数为人的泊松分布，记为X 兀（九）或者P（丸）。泊松分布为二项分布的极限分布（np=X，nx)。超几何分布P(X=k)=CM C壮 丁0,1,2CN1 = min(M , n

15、)随机变量 X服从参数为n,N,M H（n,N,M）。的超几何分布，记为几何分布P(X =k)=qkp,k=1,2,3,，其中 p>0, q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。均匀分布设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数f（X）在 a，b上为常数 x _0x : 0其中，0，则称随机变量 X服从参数为的指数分 布。X的分布函数为厂 ATx _ e 几,F(x)-0,记住积分公式：-bo ，即b aa< x < b其他,1f (x) =<b - a0,则称随机变量X在a , b上服从均匀分布，记为XU（a, b）。分布函数为x<a，F

16、(x)二Xf (x)dx =ax - ab - a1，x>b。当awxi<x2< b时，X落在区间（Xi%）内的概率为x2 - x1P(x1 : X ： x2) = xnedx 二 n!01指数分布x _ 0x<0 ob a正态分布设随机变量X的密度函数为15f(x)=e 2J ,J2g其中< -0为常数，则称随机变量X服从参数为，、二的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为x N(,2)。f(x)具有如下性质:1°f(x)的图形是关于X"I对称的;2°当x若XN(i讥F(X)： rP2w s时，fg)二1 为最大值;J2 兀 CT

17、的分布函数为 t0 。参数"=0、丁 -1时的正态分布称为标准正态分布，记 为X N(011)，其密度函数记为(X)=e 2J2兀， oo < x £ + 旳，分布函数为1 讥x)二 2-：. j(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。L1(-x) = 1-(x)且(0) = o2X - 卩2如果 X NC12)，则N(0,1) oxt2e 2 dt o6)分 位数'x2-不Pi】ry1 b丿1 b丿P( : X 冬 x2)二 Go(7)函 数分布下分位表：P(X I 一.)= ：；上分位表：P(X 7 Jh 0离散型Xx1,X2,Xn,P(X =

18、xi)P1,P2,Pn,已知X的分布列为g(x1), g(x2), g(xn),丫二g(X)的分布列(yi二g(x互不相等)如下：YP(Y=yJ 12 n 若有某些g(xp)'相等,则应将对应的Pi相加作为g(xi)的 概率。连续型先利用X的概率密度f/(x)写出丫的分布函数FXy)=P(g(X) < y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fWy)。第三章二维随机变量及其分布(1)联合 离散型 分布如果二维随机向量 (X, Y)的所有可能取值为至多可列 个有序对(x,y )，则称©为离散型随机量。设.=(X，Y)的所有可能取值为(Xj , yj )(i, j =1,2，

19、)，且事件 =(Xj, yj)的概率为pjj，,称P(X,Y)=a，yj)二 Pj(i,j =1,2,)为 =( X，Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分(1) pj > 0 (i,j=1,2,);(2) 二二pj =1.i j连续型对于二维随机向量r =(X,Y)，如果存在非负函数f (x, y)(亠c x £ +=c,a < y < +=c)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D-(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y)D = JJf(x,y)dxdy,D则称©为连续型随机向量；并称f(x,y)为

20、© =( X，Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：(1) f(x,y) > 0;(2)(切J(x,y)dxdy = 1.q a(2)二维 随机变量 的本质<X =x,Y =y) =!；(X =xY = y)(3)联合设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数分布函数F(x, y) =PX Ex,丫兰 y称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(国1,灼2) I a cxgj兰x,q <y©2)兰y的概率为函数值的一个实值函数

21、。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0 兰F(x,y)兰 1;(2) F( x,y )分别对x和y是非减的，即当X2>X1时，有F ( X2,y ) > F(X1,y);当 y2>y1 时，有 F(x,y 2) > F(x,y 1)；(3) F( x,y )分别对x和y是右连续的，即F(x,y)=F(x+0, y), F(x,y) = F(x,y + 0);(4) F(T_oc)= f ( -°o, y) = F (x, -°°) = 0, F (畑，畑)=1.(5)对于x1<X2，% “2，F(X2, y2)-F(X2

22、，yj F(X1，y2)十 Fg yj HO.(4)离散 型与连续 型的关系P(X =x, Y=y) P(x c X 兰 x+dx, y £丫 兰 y 十dy)吧 f (x, y)dxdy(5)边缘 分布离散型X的边缘分布为Pi严 p(x =Xi)=E Pij(i, j=1,2,)；jY的边缘分布为Pj=P(Y = yi)Pj(i,j=i,2,)。i连续型X的边缘分布密度为"bofx(x) = j f (x, y)dy;JOY的边缘分布密度为faofy(y)= J _f(x, y)dx.(6)条件 分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PjP(Y = yj |X

23、 =人)=丄；Pi*在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为PjP(X =为|丫十)=亠P<连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为£、 f(x,y)f(x|y)；J(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为fWIx)/、)fx(X)(7)独立 性一般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)离散型Pj = Pi 4有零不独立连续型f(x,y)=fx(x)f 丫(y)直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形二维正态分 布。九珂匕厂辱"丿2兀<10 2 出-P2P = 0随机变量的函数若X1,X2,XmXm+1,X相互独立，h,g为连续函数，

24、则： h (X1, X2,Xm) 和 g (Xm+1,Xn)相互独立。特例：若X与Y独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若 X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。(9)二维 正态分布设随机向量(X, Y的分布密度函数为1刁1 _p)丿CTC2丿 If (x. v) 一e'',' 丿' 1 22 兀 CT 1 CT 2 J 一 P其中已.卩2 6 >0,2 >0.1 P|c1是5个参数，则称(X, Y)服从二维正态分布，记为(X，Y)N (卩 1.巴ei.Q；, P).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即

25、XN (41).Y “(巴严；).但是若XN(气卫门丫N(42口 2), (X , Y)未必是二维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算：FZ(z) = P(Z Ez) = P(X + YEZ)-bo对于连续型，f z(z) = J f (x.z - x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(+k2+d| )。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。C*i ,C>i2iiZ=max.mi n(X1.X2,Xn)若X1.Xrt Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1 (x), Fx2 (x)Fxn (x)，则 Z=max.min(X 1.X2.Xn)的分布 函数为：Fm

26、ax(X)= Fx(X)Fx2(X)Fxn(X)Fmin (X) =1 -1 - 鼻(x)屮 一 FX2 (X)1 一 (X)2分布设n个随机变量Xi,X2,，Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和n2W » Xii丄t分布的分布密度为1f(u)= 22】-I 辽丿0，n-J2u _0,u ： 0.我们称随机变量 W服从自由度为n的2分布，记为 W 2(n),其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设Yi -2(口)，则kZ 八 Yi 2(nin2 nk).i吕设X, Y是两个相互独立的随机变量，且XN(0,1)

27、,Y2(n),可以证明函数XY/nn 1的概率密度为f(t)= i 2j i 时oh l2丿我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)ti_：.(n) 一t：.(n)F分布设X 2（n 1）,Y 2（门2），且X与Y独立，可以证明X /niF的概率密度函数为丫/应f (y)=<nin2n2221 ni yni n2'2,y -0我们称随机变量 的F分布，记为0, y 0F服从第一个自由度为 ni,第二个自由度为n2Ff（n i, n 2）.F1 _.( ni , n2 )=F-A n2,ni)第四章 随机变量的数字特征(1)离散型连续型一维期望:设X是离散型随机变量，

28、其分布设X是连续型随机变量，其概率密随机期望就是平均值度为f(x),变量律为 p( X = xk ) = pk ,-bo的数k=1,2,n ,E(X)= Jxf(x)dx字特na征E(X>Z XkPk（要求绝对收敛）k仝（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X)Y=g(X)n-boE(Y)=2： g(xQPkE(Y) = Jg(x)f(x)dxk=l方差-bo2D(X)=EX-E(X),D(X)=E Xk-E(X)2pkD(X)= Jx-E(X)2 f (x)dx标准差k<r(X)=,矩对于正整数k，称随机变量X对于正整数k,称随机变量X的的k次幕的数学期望为 X的kk次幕的数学期望为

29、X的k阶原点阶原点矩，记为Vk,即矩，记为Vk,即V k=E(Xk)= E Xik Pi ,iVk-be kk=E(X)= xk f (x)dx,k=1,2,k=1,2,对于正整数k，称随机变量X对于正整数k,称随机变量X与与E （X）差的k次幕的数学期E（X）差的k次幕的数学期望为 X望为X的k阶中心矩，记为4k，的k阶中心矩，记为Pk，即即= E(X -E(X)kkk = E(X-E(X)=乞 X - E(X)kpi,i中ck=(x-E(X)k f(x)dx,k=1,2,k=1,2,切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E （X）=卩，方差D （X） =c，则对于任意正数£ ,有

30、下列切比雪夫不等式P(2X _吗"）M笃切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P(|xy tx r,、-/、一r-Lit 、人ra . .i-i- 、 , »_ A2L的一种估计，它在理论上有里要意乂。(2)（1）E(C)=C期望（2）E(CX)=CE(X)的性nn质（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(Z GXj)=2； CiE(Xi)7i吕（4）E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。(3)（1）D(C)=0 ； E(C)=C方差（2）2D(aX)=a D(X) ； E(aX)=aE(X)的性（3）2D(aX+b)

31、= a D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b质（4）2 2D(X)=E(X )-E (X)（5）D（X± Y）=D（X）+D（Y），充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X± Y)=D(X)+D(Y)± 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。(4)期望方差常 分见布0-1分布B(1, p)PP(1 - P)的期 望和 方差二项分布B(n, p)npnP(1 - P)泊松分布P(k)h&几何分布G( p)1P1- P2P超几何分布 H(n, M,N)nMNnM h M n N i N人

32、N -1丿均匀分布U (a,b)a + b2(b-a)212指数分布e(入)1扎1 TT扎正态分布N (卩，2)ACT 232分布n2nt分布0n , c、(n >2) n -2(5) 二维 随机 变量 的数 字特 征期望nE(X)=2： Xi Pi.i =1nE(Y)=E yjP划-boE(X)= Jxfx(x)dx-boE(Y)= fyfY(y)dy函数的期望EG(X,Y)=乞迟 G(N,yj)Piji jEG(X,Y)=-be -bef fG(x, y)f (x, y)dxdy-oCod方差D(X)=I： Xi E(x)2 Pi.iD(Y)=：S j E(Y)2p癇j-boD(X)

33、= Jx E(X)2fx(x)dxboD(Y)= Jy-E(Y)2fY(y)dy协方差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩k11为X与Y的协方差或相关矩，记为 aXY或cov(X,Y)，即Jy =出1 =E(XE(X)(YE(Y).与记号CT XY相对应，X与Y的方差D( X)与D( Y)也可分别记为b XX f J O' yy。相关系数对于随机变量 X与丫，如果D( X) >0, D(Y)>0，则称° XYJd(x)Jd(y)为X与Y的相关系数，记作 PXY (有时可简记为 P )。| P| < 1,当 | P|=1 时，称 X 与 Y 完全相关：P

34、(X=aY + b)=1完全相关:正相关，当P i时(a = 0)， 兀王'负相关，当P = _1时(acO),而当P =0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的： 匕丫 =0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵依 xx J “ f YX ° YY J混合矩对于随机变量X与丫如果有E(XkYl)存在，则称之为 X与Y的 k+l阶混合原点矩，记为 vk| ； k+l阶混合中心矩记为：klUkl =E(X - E(X) (丫-E(Y).(6) 协方 差的 性质(i) cov

35、 (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7)独立和不相关(i )(ii )若随机变量X与Y相互独立，则-XY =0 ；反之不真。若(X, Y)N ( 2，打，；打小)，则X与Y相互独立的充要条件是 X和Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理(1 )大数定律X切比雪 夫大数 定律设随机变量Xi, X2,相互独立，均具有有限方差，且被同一 常数C所界：D(X) <C(i=1,2,)，则对于任意

36、的正数£，有lim pH Xi 1迟 E(Xi) n 护 Qn i二n y |特殊情形：若Xi, X2,具有相同的数学期望 E (X)=卩， 则上式成为lim Pn :! -Z Xi、n y伯努利 大数定 律设卩是n次独立试验中事件 A发生的次数，p是事件A在 每次试验中发生的概率，则对于任意的正数£，有岬-pH"伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件 A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，艮卩JRlim P-p=0In卩丿这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设Xi, X2,，Xn,是相互独立同分布的随机变量序列，且E(Xn) = ，则对

37、于任意的正数 £有J-z Xi、lim Pl< w、n y)-1.(2)中心极限定理.2 Nt N (巴二) n列维 林德伯 格定理设随机变量Xi, X 相同的数E(Xk) = »,D(Xk) =的分布函数Fn(X)对任意lim Fn (x) =lim Pn' /n_jpc1此定理也称为独立同分;2,相互独立，服从同一分布，且具有学期望和方差：口2芒0(k=1,2,)，则随机变量n送 Xk -n4YkJn_ 后予的实数X,有n、Z Xk - nAt2k 4孑 x(f e2 dt二x fi edt.J no|J 2兀nJ布的中心极限定理。棣莫弗 拉普 拉斯定 理

38、设随机变量 Xn为具有参数 n, p(0<p<1)的二项分布，则对于 任意实数x,有-1t2Xn -np1 十右-lim P,< x 卜一e 2 dt.Y 小p(1-p) ,V'2n 皿(3 )二项定理若当Nt田时，t p(n,k不变)，则NC k 厂 n kc：pk(1p)z(Nt «).Cn超几何分布的极限分布为二项分布。(4 )泊松定理右当nT处时，npT h>0，贝V-kk k”、n-k儿-X,、CnP (1 p)T ef(nT 旳)k!其中k=0, 1, 2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布(1)数理 统计的基 本概

39、念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全 体称为总体(或母体)。我们总是把总体看成一个具有分布的随 机变量(或随机向量)。个体总体中的每一个单兀称为样品(或个体)。样本我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2r , xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下， 总是把样本看成是 n个相互独立的且与总体有相冋分布的随机 变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结 果时，X!,X2,，Xn表示n个随机变量(样本)；在具体的一次抽取之后，x1,x2/l , xn表示n个具体的数值(样本值)。我们 称之为样本的两重性。样本函数和 统计量设Xi

40、,X2 "- ,Xn为总体的一个样本，称®( Xi,X2,，Xn)为样本函数，其中 申为一个连续函数。如果 申中不包含任何未 知参数，则称申(X-X2,Xn )为一个统计量。常见统计量 及其性质-1 n样本均值x=丄瓦Xi.n y样本方差1 n 一S2 二七无(Xi -X)2.n - 1 i m1 1 n - 2样本标准差S =、一送(Xj _x)2.F n-1 y样本k阶原点矩1 nM k =区 xk, k =1,2,-n i仝样本k阶中心矩彳 n一.1kMk 二一送(人x) ,k=2,3，.n imCT 2E(X)-卩,D(X)-, nE(S2)厂,E(S*2) n G

41、2,n2 1 n 2其中S*(Xi X)，为二阶中心矩。n i#(2)正态 总体下的 四大分布正态分布设Xi,X2,Xn为来自正态总体本函数N(4q2)的一个样本，则样def X 卩UN(0,1).© /斤t分布设Xi,X2,Xn为来自正态总体N(4q2)的一个样本，则样本函数def X 一 卩s/jn t(n -1),其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。尤2分布设Xi,X2,Xn为来自正态总体N(4,b2)的一个样本，则样本函数def (n 1)S2弋2W2上(n 1),CT其中/ 2( n1)表示自由度为n-1的笑2分布。F分布设XjX?,Xn为来自正态总体N (巴耳2)

42、的一个样本，而y1,y2,yn为来自正态总体N(巴2)的一个样本，则样本函数def Sj2/2F_s；心F (m -1,门2 -1),其中1 n1 S 送(Xi -X),1n2_S2 -瓦y);m -1 i#n -1 imF (n1 -1, n2 -1)表示第 自由度为m -1，第一自由度为n2 -1的F分布。(3)正态总体下分X与S2独立。布的性质第七章参数估计(1 )点矩估计 估计设总体X的分布中包含有未知数 门2,Cm，则其分布函数可以表成F(X；宀户2,，")它的k阶原点矩Vk =E(X k)(k=1,2,m)中也包含了未知参数宀门2,Cm ,即Vk =汕宀厂2,门m)。又设

43、Xi,X2，,Xn为总体X的n个样本值，其样本的 k阶原点矩为1 n'、Xk (k =1,2,m).n i A这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程，即有1 nvi(uu ,九)=、Xi,n i 二1 nV2(刊门2厂宀)I，Xi2,n y1 nVm(f ,%)=无 X.n im由上面的m个方程中，解出的 m个未知参数(十门2,Cm)即为参数(f 2,，'m )的矩估计量。A-若二为二的矩估计，g(X)为连续函数，则 g(国为g("的矩估计。极大似 然估计当总体 X为连续型随机变量时，设其分布密度为f（X；d，日2，日m），其中

44、日1 ,日2，日m为未知参数。又设Xi ,X2,Xn为总体的一个样本，称nL© 月2,，日 m） = f （Xi；8i ,日2,8m）i A 为样本的似然函数，简记为Ln.当总体 X为离型随机变量时，设其分布律为PX =x = P（X；也,日2，0m），则称nL（Xi,X2，X®,/,，£）= P（Xi；d ,日2,®m）y为样本的似然函数。若似然函数 L（X1 x,_ ,Xn®，日2,，&m）在& 1,会，fm处取到最大值，则称0i,02,8m分别为日仆匹，Bm的取大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。cln Ln8

45、n-0,i 1,2，m若日为日的极大似然估计，g（x）为单调函数，则g（压）为gp）的极大 似然估计。（2）估 计量的 评选标 准无偏性设$ = &X1,X2，Xn）为未知参数日的估计量。若E （）/，则称日为日的无偏估计量。E（ X）=E（ X），E（ S2）=D（ X）有效性A.A.AA设日 1=1 （X1 , X，2 , Xn ）和日 2=2（X1,X,2, , Xn ）是未知参数 日的两个无偏估计量。若D（日1）cD（日2），则称日1比日2有效。一致性A设a n是日的一串估计量，如果对于任意的正数呂，都有Alim P（|Bn8 卜毎）=0,nJpc则称日n为日的一致估计量（或相

46、合估计量）。若8为日的无偏估计，且 D（的T 0（nT 呵,则日为B的一致估计。 只要总体的E（X）和D（X）存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。（3）区 间估计置信区 间和置 信度设总体X含有一个待估的未知参数 日。如果我们从样本xx,2,xn出 发，找出两个统计量6=6 （x1, x,2，,xn）与 日2 =2（Xi,X,2 ,，Xn）但1 <日2），使得区 间日1,日2以1 _ot（0 <a <1）的概率包含这个待估参数 e，即P6兰日兰日2 =1_a,那么称区间6，I32为日的置信区间，1 -口为该区间的置信度（或置信水平）。单正态 总体的 期望和 方差的 区间估 计设x1, x,2, xn为总体XN（4,b ）的一个样本，