数学分布及应用

1、问题？问题？l假设对假设对1000名报考某高名报考某高中的学生进行分班考试，中的学生进行分班考试，若要按能力将这些学生若要按能力将这些学生分为分为A、B、C、D、E五个组（或等级），且五个组（或等级），且每组能力组距相等。根每组能力组距相等。根据正态分布的理论，每据正态分布的理论，每一等级应分布多少学一等级应分布多少学生生? ?？ l某套测验中有某套测验中有10道正道正误判断题，若要了解误判断题，若要了解学生对所测内容在什学生对所测内容在什么情况下是真正领会么情况下是真正领会了，或什么情况下属了，或什么情况下属猜测的成分多猜测的成分多 ，应如，应如何分析？何分析？正态分布及应用正态分布及应用二

2、项分布及应用二项分布及应用抽样分布抽样分布第一节第一节 正态分布及应用正态分布及应用l正态分布的理论正态分布的理论l正态曲线表的使用正态曲线表的使用l正态分布在心理教育研究中的应用正态分布在心理教育研究中的应用一、正态分布的理论一、正态分布的理论l服从正态分布的随机变量，在取值区间中部取服从正态分布的随机变量，在取值区间中部取值概率最高，从中间到两侧，取值概率逐渐下值概率最高，从中间到两侧，取值概率逐渐下降，接近取值区间上、下限时，取值概率越来降，接近取值区间上、下限时，取值概率越来越小，且两侧取值概率是对称的。越小，且两侧取值概率是对称的。 即高斯分布即高斯分布（一）定义与方程（一）定义与方

3、程1、定义：、定义：22221XeY2、公式、公式 一簇分布一簇分布 中央点最高，双侧对称：中央点最高，双侧对称： 面积：面积：p=1 形状，形状，3、特点、特点 位置位置（二）标准正态分布及特征（二）标准正态分布及特征2221ZeY1、方程、方程2、特点：、特点： =1， =0 一条分布一条分布 Y=0.398922221XeY二、标准正态分布曲线的使用二、标准正态分布曲线的使用（一）正态曲线表（一）正态曲线表l正态曲线表：以正态曲线表：以为测量面积的单位，用积分为测量面积的单位，用积分法则算出法则算出Z所对应的各个部分的面积（所对应的各个部分的面积（P）及）及 y 值，制成的曲线表。值，制

4、成的曲线表。 正态曲线表的三个数值正态曲线表的三个数值面积值：面积值：p高度值：高度值：y刻度值：刻度值：Z（二）三个值的求解（二）三个值的求解1、ZPl求均数与某个求均数与某个 Z 值间的值间的 P 值：查表法。值：查表法。 例例7-3：Z=0Z=1 Z=0Z=-1 1 2 3-3 - 2 -1 P=0.34134P=0.34134结果结果l求某个求某个Z值以上或以下的面积值以上或以下的面积. 例例7-5: Z=2.4以上以上P. Z=-1.2以下以下P. 1151. 00082. 0pp 求任何两个求任何两个 Z 值间的值间的 P值值 例例7-4: -1.22.4 0.61.520744.

5、08767.0pp2、PZl查表法：近似结果查表法：近似结果 例例7-5： P=0.30，Z=? 85.,30234.84.,29955.ZpZp 内插法：精确结果内插法：精确结果 例例7-5： P=0.30，Z=? 52. 0Z112121PPPPZZZZX公式：公式：85.,30234.84.,29955.2211ZpZp29955.30.29995.30234.84.85.84.XZ8416.0016.84.3、PYl查表法：近似结果查表法：近似结果l例例7-5： P=0.30，Y=?27798.,30234.28034.,29955.YpYp 内插法：精确结果。内插法：精确结果。 34

6、894.Yl公式：公式：112121PPPPYYYYX27798.,30234.28034.,29955.2211YpYp29955.30.29955.30234.28034.27798.28034.XY28072.00038.28034.（三）几个（三）几个常用值常用值11： 22：33：6827.234134.p9545.247725.p9973.24986.p41.96：52.58：95.2475.p99.249506.p（四）（四）PR与与Z的关系的关系l例例7-6：在一正态分布中，若某人的标准分数：在一正态分布中，若某人的标准分数为为1，则他在该团体中的百分等级应当为，则他在该团体中

7、的百分等级应当为 a. 34 b. 68 c. 84 d. 75-3 - 2 -1 1 2 3 .34.50三、正态理论的应用三、正态理论的应用例例7-7：假设：假设500名学生的数学成绩分布符名学生的数学成绩分布符合正态分布。且已知平均分合正态分布。且已知平均分70，标准差，标准差5分。试问分。试问60分以下，分以下，6080分，分，80分以上，分以上，这三个分数段中，学生的人数分布各为这三个分数段中，学生的人数分布各为多少？多少？（一）求分布中特定分数间个体数量（一）求分布中特定分数间个体数量已知：已知：N=500，M=70，SD=5PZ M，SD，X X Z ： Z P： 2570606

8、0Z25708080Z47725.p 求各段的求各段的 P60以下以下:02275.47725.50.p分析步骤分析步骤6080：9545.247725.p80以上：以上：02275.p 求各区间的人数：求各区间的人数： iNpn 60以下以下:6080：80以上：以上：11375.1102275.5001n47847725.4779545.5002n1113 nn例例7-8：假设对：假设对100名报考大学的学生进行名报考大学的学生进行分班考试，要按能力将这些学生分为分班考试，要按能力将这些学生分为A、B、C、D、E五个小组（或等级），每五个小组（或等级），每组能力组距相等，若考试成绩所测得的

9、组能力组距相等，若考试成绩所测得的分数是正态的，问分数是正态的，问A、B、C、D、E各各组应当分布几名学生？组应当分布几名学生？ （二）确定能力分组或等级评定人数（二）确定能力分组或等级评定人数 确定确定 Z 值的范围值的范围 2.156iZ8 . 13:A6 . 08 . 1:B6 . 06 . 0:C8 . 16 . 0:D38 . 1:E以上或8 . 1以下或8 .1分析步骤分析步骤A=0.498650.46407=0.03458B=0.4640170.22575=0.23832C=0.225752=0.4515D=B=0.23832E=A=0.03458（或（或0.03593） Z P

10、 求各组人数：求各组人数： 3;24;45;24;4EDCBAiNpn （三）分析试题的相对难度（三）分析试题的相对难度 例例7-9：在一次共有四个试题的考试中，学生答：在一次共有四个试题的考试中，学生答对每题的人数百分比分别为：对每题的人数百分比分别为：70%，50%，30%，10%。试问各题的难度如何？各题间的。试问各题的难度如何？各题间的难度差一样吗？为什么？难度差一样吗？为什么？分析步骤分析步骤 P Z： 试题试题 P P Z 1 .70 .7.5=.2 -0.52 2 .50 .5.5=0 0.00 3 .30 .3.5=.2 0.52 4 .10 .1.5=.4 1.28表表7-1

11、 试题难度分析表试题难度分析表 线性转换线性转换:5Z134 Z试题试题 P Q P Z DP 1 .70 .30 .20 0.52 .52 4.48 11 2 .50 .50 .00 0.00 .52 5.00 13 3 .30 .70 .20 -0.52 .76 5.52 15 4 .10 .90 .40 1.28 6.28 18 求难度差求难度差表表7-2 试题相对难度比较结果试题相对难度比较结果（四）品质评定数量化（四）品质评定数量化例例7-10： 三位教三位教师对师对100名学生名学生的学习能力进的学习能力进行了等级评价行了等级评价 如表。如表。等级等级 甲甲 乙乙 丙丙 A 5 1

12、0 20 B 25 20 25 C 40 40 35 D 25 20 15 E 5 10 5 100 100 100 表表7-2 教师对学生的评定教师对学生的评定 试比较其中三位学生学习能力的高低是否试比较其中三位学生学习能力的高低是否一样？一样？ 学生学生 教师甲教师甲 教师乙教师乙 教师丙教师丙 1 B A A 2 A B A 3 D C C 表表7-3 3名学生的所获得的评定等级名学生的所获得的评定等级 是否等值？是否等值？ 能否转化？能否转化？ 1、问题分析、问题分析等级等级 甲甲 乙乙 丙丙 A 5 10 20 B 25 20 25 C 40 40 35 D 25 20 15 E 5

13、 10 5 100 100 100R nA 5B 25C 40D 25E 5 100 表表7-3 甲教师评定结果甲教师评定结果P 0.05 0. 25 0.40 0.25 0.05100.002、分析过程、分析过程 n p： Nnpi 确定位置确定位置 求各等级比率的中间值求各等级比率的中间值 确定中间值确定中间值 确定查表值确定查表值 -3 - 2 -1 1 2 3 .05.25.4.25.05CABEDA：P=.05/2+.45=.475B：P=.25/2+.2=.325C：P=（.4/2）=.2=0PF=.05/2+.95=.975PF=.25/2+.7=.825C：PF=.4/2+.5

14、=.5R nA 5B 25C 40D 25E 5 100 表表7-4 甲教师评定的相对结果甲教师评定的相对结果P 0.05 0.25 0.40 0.25 0.05100.00cump中值中值 0.975 0.825 0.500 0.175 0.025 P 0.475 0.325 0.000 0.325 0.475 Z 1.96 0.93 0.00 -0.93 -1.96 P Z： 确定查表值确定查表值 R nA 10B 20C 40D 20E 10 100 表表7-5 乙教师评定的相对结果乙教师评定的相对结果P 0.10 0.20 0.40 0.20 0.10100.00cump中值中值 0.

15、95 0.80 0.50 0.20 0.05 P 0.45 0.30 0.00 0.30 0.45 Z 1.64 0.84 0.00 -0.84 -1.64 R nA 20B 25C 35D 15E 5 100 表表7-6 丙教师评定的相对结果丙教师评定的相对结果P 0.20 0.25 0.35 0.15 0.05100.00cump中值中值 0.900 0.675 0.375 0.125 0.025 P 0.400 0.175 0.125 0.375 0.475 Z 1.28 0.45 -0.32 -1.15 -1.96 比较学生的能力高低比较学生的能力高低学学生生 1 2 3甲教师甲教师R

16、 ZB 0.93A 1.96D -0.93乙教师乙教师R ZA 1.64B 0.84C 0.00乙教师乙教师R ZA 1.28A 1.28C -0.32 平均平均 成绩成绩 1.28 1.36 -0.42表表7-7 三名学生的等级比较结果三名学生的等级比较结果l某区要在某区要在2500名初三学生中选名初三学生中选50名学生参加名学生参加全市初中物理竞赛。已知该区初三上学期物理全市初中物理竞赛。已知该区初三上学期物理考试成绩近似正态分布，且平均数考试成绩近似正态分布，且平均数57分，标准分，标准差差16分。若以这次考试为准来选拔参加竞赛的分。若以这次考试为准来选拔参加竞赛的学生，分数线应定为多少

17、？学生，分数线应定为多少？分析结果分析结果 求入选率：求入选率： P Z： 确定确定P：02. 0250050p48. 002. 050. 0p05. 2Z Z X：ZX908 .891605. 257一、二项分布的理论一、二项分布的理论（一）定义（一）定义l定义：离散型随机变量的概率分布。定义：离散型随机变量的概率分布。nqp 数学模型：数学模型：第三节第三节 二项分布二项分布（二）特点（二）特点1n3,2项数为例如qp l项数：项数： 方次：方次： 系数：各项系数是成、败总人数的组合数系数：各项系数是成、败总人数的组合数nq0:升冥0:np 降冥 项数为奇数时：中间系数最大；项数为奇数时：

18、中间系数最大； 项数为偶数时：中间两项系数相等且最大。项数为偶数时：中间两项系数相等且最大。 二、二项式概率分布二、二项式概率分布rnrrnrqpCP组合数组合数rnrrqprnrnP!（一）二项式概率分布函数（一）二项式概率分布函数（二）二项分布曲线（二）二项分布曲线l形成形成l以成功次数为以成功次数为X X，组合数为，组合数为Y Y绘制的多边图。绘制的多边图。l特点特点l当当p=q=1/2p=q=1/2时，不论时，不论n n有多大，二项分布曲线都总是有多大，二项分布曲线都总是对称的；对称的；l当当p p q q时，且时，且n n相当小，图形呈偏态；相当小，图形呈偏态；l当当n n相当大（相

19、当大（30）时，图形逐渐接近正态分布。）时，图形逐渐接近正态分布。 三、二项分布的应用三、二项分布的应用l二项分布的均数与标准差；二项分布的均数与标准差；l应用前提应用前提l应用举例应用举例（一）均数与标准差（一）均数与标准差l平均数平均数npnpq 标准差标准差三、二项分布的应用三、二项分布的应用（二）应用前提（二）应用前提,qp ,qp ;5np5nq（三）应用（三）应用猜测性猜测性例例7-1：某测验中有：某测验中有10道正误选择题，试道正误选择题，试分析学生的掌握情况或猜测的可能性。分析学生的掌握情况或猜测的可能性。 条件分析条件分析21,10:qpn已知5,:npqp满足 求均数和标准

20、差求均数和标准差52110 np58.1212110npq 确定一定可信度时的掌握程度确定一定可信度时的掌握程度:%95D645.1k:%99D33.2k858.1645.1505.0k958.133.2501.0k 结果解释：结果解释：l1、某测验有、某测验有30个正误题，试问学生要做对多个正误题，试问学生要做对多少题，才属掌握了所学的内容。少题，才属掌握了所学的内容。5152130,21npqp74. 2212130,152074. 2645. 115k2、设有设有10个正误判断题和个正误判断题和10个选择题（每题个选择题（每题4个备选答案中只有一个正确），试比较两套试个备选答案中只有一个

21、正确），试比较两套试题的优劣（题的优劣（假设学生答对了假设学生答对了8题）。题）。55.241104341npqp1）条件分析）条件分析2）正误题的概率）正误题的概率00039. 010485764054341!810! 8!10288P4）解释）解释044. 01024452121!810! 8!10288P3）选择题的概率）选择题的概率3、有、有20道四择一题呢？道四择一题呢？55,npqp1194. 133. 2501. 0k（一）概率分布（一）概率分布 离散分布：二项分布、多项分布、普离散分布：二项分布、多项分布、普 阿松分布、超几何分布阿松分布、超几何分布 连续分布：正态分布、连续分

22、布：正态分布、t分布、负指分布、负指 数分布、威布尔分布等数分布、威布尔分布等l定义：描述随机变量所有可能取值及相应定义：描述随机变量所有可能取值及相应 概率变化规律的函数。概率变化规律的函数。 类型类型连续性连续性第三节第三节 抽样分布抽样分布 经验分布经验分布 理论分布理论分布 数学模型数学模型 按数学模型算出的总体分布按数学模型算出的总体分布分布函数分布函数 来源来源数据数据特征特征 基本随机变量分布：基本随机变量分布： 理论分布理论分布总体总体 分布（正态分布、二项分布等分布（正态分布、二项分布等 ） 抽样分布：样本统计量的理论分布。抽样分布：样本统计量的理论分布。22,SXkXXXX

23、,:321即kSSSS,:321同样总体：总体：Nn1n221,SXnkkkSX ,l定义：用定义：用极限的方法极限的方法求随机变量分布的一系求随机变量分布的一系列列定理定理 。（二）中心极限定理（二）中心极限定理 内容：内容： 若总体正态，则从中抽取容量为若总体正态，则从中抽取容量为n 的的 一切可能样本的均数分布也呈正态；一切可能样本的均数分布也呈正态； 无论总体是否正态，只要无论总体是否正态，只要 n 足够大，足够大， 样本均数的分布接近正态分布。样本均数的分布接近正态分布。 从总体抽取容量为从总体抽取容量为n的一切可能样本时：的一切可能样本时：X 从总体抽取容量为从总体抽取容量为n的一

24、切可能样本时：的一切可能样本时：nX 阐明了样本均数的分布；阐明了样本均数的分布； 意义：意义： 给出样本均数分布的两个重要参数的给出样本均数分布的两个重要参数的 计算方法。计算方法。 1、随机样本、随机样本 抽样原则：随机性抽样原则：随机性 要求：要求： 机会均等机会均等 彼此独立彼此独立 n 足够大足够大l随机样本：按概率规律抽取的样本。随机样本：按概率规律抽取的样本。（三）统计术语（三）统计术语l定义：由定义：由抽样的随机性抽样的随机性引起的样本统计量引起的样本统计量 与总体参数之间的差异。与总体参数之间的差异。 2、抽样误差、抽样误差总体总体 =80M1=78M2=83D1=-2D1=

25、3X3、标准误、标准误l定义：统计量在抽样分布上的标准差。定义：统计量在抽样分布上的标准差。nXXSE 符号：符号：SE（ Standard Error） 解释：解释： SE越小，样本统计量与总体参数越小，样本统计量与总体参数越接近，样本对总体的代表性越好，越接近，样本对总体的代表性越好， 用样本统计量推断总体也越可靠。用样本统计量推断总体也越可靠。课堂练习课堂练习l请问下列标准误的内容是什么？请问下列标准误的内容是什么？ sSEpSErSEXDSE思考题思考题l试比较标准误与标准差的异同。试比较标准误与标准差的异同。 同：都是离中趋势的指标。同：都是离中趋势的指标。 异：异： S：一般变量值

26、离中趋势的指标。：一般变量值离中趋势的指标。 SE：样本统计量离中趋势的指标。：样本统计量离中趋势的指标。l定义：统计推断中，变量值独立自由定义：统计推断中，变量值独立自由 变动数值的数目。变动数值的数目。4、自由度、自由度 符号：符号：df（ degree of freedom） 注意：统计方法不同，自由度算法不同注意：统计方法不同，自由度算法不同l样本均数的自由度样本均数的自由度,NXXNdf 122NXXS1 Ndf 样本方差（或标准差）的自由度样本方差（或标准差）的自由度l假设有假设有 5 个测量值如下表，试问个测量值如下表，试问5个数中可个数中可任意变动几个任意变动几个?为什么为什么? X1 X2 X3 X4 X5 M Sn-1 S 5 7 10 12 16 10 4.30 3.85 8 12 6 ？ 14 10 3.16 2.832 ？ 15 21 8 102 86 12 ？ 1010422二、常用抽样分布二、常用抽样分布l正态分布及