【中考冲刺】2021年上海市长宁区中考数学模拟试卷(附答案)

1、绝密启用前【中考冲刺】2021年上海市长宁区中考数学模拟试卷（附答案）注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1. 已知在ABC 中，ZC=90°, ZB=50。，AB=0.那么 的长为（）A. 10cos50°B. 10sin50°C. 10km50。D. 10cot50°2. 下列命题中，说法正确的是（）A. 四条边对应成比例的两个四边形相似B. 四个内角对应相等的两个四边形相似C. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似3. 已知&

2、;、&是两个单位向量，向虽方=3&,厶=3&,那么下列结论正确的是（）D. a = -b试卷第4页，总6页4. 己知二次函数y = X+/x+c（dH0）的图象如图所示，那么心。满足（）C “VO, c>0D “VO, c<05. 已知P, Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10,则PQ长为（）A 5(75-1)B. 5(亦+ 1)C 10(石2)- D 5(3-75)6. 如图，己知在aABC中，点6点E是边BC上的两点，连接AD. AE.且AD=AE.如果 ABECBA,那么下列等式错误的是（）AA. AB?=BEBCB cdab=adacC AEu

3、CD-BED ABAC=BECD二、填空题 1X + V7. 已知一= 那么一 的值为>T 2x-y8. 计算：£（2&5） + 方=.9. 计算：JIcos45° + sin2 60° =10. 如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5： 4.那么这两个三角形的周长之比为11. 将抛物线y = 2x2-向下平移3个单位后,所得抛物线的表达式是12. 如图，一辆汽车沿着坡度为i = 1:/3的斜坡向下行驶50米，则它距离地面的垂直髙度下降了米.13. 已知抛物线y = x2-2x + c经过点A（jj）和3（2,儿），比较）i与的大小：”y2 （选择

4、今'或“<“或"="填入空格）.14. 如图，已知AC/EF/BD.如果AE： EB=2： 3, CF=6.那么CD的长等于15. 已知，二次函数f（x） = ajc2+bx + c的部分对应值如下表，则/（-3）=X-2-1012345y50-3-4-3051216. 如图，点G为ZkABC的重心如果AG=CG, BG=2, AC=4,那么AB的长等于17如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点£处联结CE交边AD于点F.如果DF=h BC=4,那么的长等于18如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这3 个凸

5、四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中.AB = AC = ® AD = CD = -t点E、点F分别是边AD.边BC上的中点.如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于三、解答题19. 已知二次函数），=一人2 X + 2 2（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y = g（x+2）+k的形式：（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y随自变量 x的变化而变化的情况.20如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O.设BA = a CB = b -D（）试用i八乙表zfBO:（2）在图中作出而在為、丽上的分向虽:

6、，并直接用方.方表示死.（不要求写作法.但要保留作图痕迹，并写明结论）AF AE21 如图，在A3C中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE/BC,=FE EC(1)求证：DF/BE:DE（2）如果心2,上4, ABZ，求旋的值.22.某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该'测温广截而示意 图.身高16米的小聪做了如下实验：当他在地而M处时“测温门”开始显示额头温度， 此时在额头B处测得A的仰角为30。；当他在地而N处时，“测温门“停止显示额头温度， 此时在额头C处测得A的仰角为53。.如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98 米，求测温门顶部A处距地而

7、的髙度约为多少米？（注：额头到地而的距离以身髙计，sin53S0.8, cos53°=0.6, cot53S0.75, 不心173)A23已知：如图，在RtA ABC中，ZACB=90°, CH丄AB,垂足为点H点D在边BC上，联结AD,交CH于点E,且CE=CD（1）求证： ACEAABD；（2）求证： ACD的而枳是厶ACE的而积与厶ABD的而积的比例中项.24. 已知在平而直角坐标系My中，抛物线y=ax求抛物线的表达式； 点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD. 如果点D的横坐标为2.求cotZDCB的值； 如果ZDCB=2ZCBO,求点D的坐标25. 己

8、知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点不重合），联结CM, 作ZCMF=90。，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F.点G为线段 MF的中点，联结DG.+bx+2经过点人（一3,-6）、8（6,0）, 与y轴交于点C111 1 1 1 1 11 1 11 1 01X试卷第8页，总6页图1图2（1）如图1,如果AD=AM=4,当点E与点G重合时，求aMFC的面积:(2) 如图2,如果AM=2, BM=4当点G在矩形ABCD内部时，设DG2=y9 求y关于x的函数解析式，并写出泄义域：(3) 如果AM=6, CD=& ZF=ZEDG,求线段AD的长.(直接写出计算结

9、果)参考答案1. A【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】BC解：VcosB=,ABBC=ABcosB = 10cos50°.【点睛】此题主要考查三角函数的立义.余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做ZA的余弦，记 作 cos A.即 cosA=.c2. D【分析】根据三角形相似和相似多边形的判左解答.【详解】A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题：C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；故选:

10、D.【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大.3. C【分析】由石、&是两个单位向量的方向不确左，从而判定A与B错误；又由平而向量模的知识, 即可判立选项C正确，选项D错误.答案第1页，总21贞【详解】 解：£.瓦是两个单位向崑 方向不一定相同石与&不一泄相等，选项A错误: £；. &是两个单位向量，方向不一楚相同，方与不一左相等，选项B错误:故选：C耳=卜3可=3,直卜”,选项C正确,选项D错误;【点睛】本题考查了单位向量的左义和向量的数量积，注意平面向量的模的求解方法与向量是有方向性的.4. C【分析】

11、根据二次函数图象开口向下确泄出为负数，再根据二次函数图象与y轴的交点即可确左出 c的正负情况，答案可解.【详解】 解：二次函数图象开口向下,二次函数图象与y轴的正半轴相交，故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、与）' 轴的交点与系数的关系是解题的关键.5. C【分析】画岀图像，根据黃金分割的概念写出对应线段的比值，求岀AQ. PB的长度,再根据PQ=AQ+PB-AB即可求出PQ的长度.【详解】解：如图，根据黄金分割点的概念，可知竺=竺=誉二1,AB AB 2.AQ=PB, AB=O,A Q=PB=x10 = 5x/5-5. P0=

12、AQ+PB-AB=5>5 5 + 5G 5 lO = lO 2O = loS-2）故选：C【点睛】本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键.6. D【分析】根据相似三角形的判左及性质对每一个选项一一证明即可.【详解】AB BE=，ZBAE=ZC, ZAEB=ZCAB,BC ABAB2=BEBC,（故选项A正确）J AD=AE, ZADE=ZAED, ZADE=ZCAB9又 vzc=zc,CDAsaCAB,CDAB=ADAC,（故选项 B 正确）Z ZADE=ZAED, ZBAE=ZC,ABEsaCAD, AE _ BE 'CDD'A

13、EAD=CDBE,又 9：AD=AE9；.AE2 = CDBE,（故选项C正确）I ZADE=ZAED<90°9 ZADB=ZAEC>90%:.AB>AD, AOAE,:.AB-AOAE2,即AB>AOCD>BE,（故选项D错误）故选:D.【点睛】本题考査了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判左及性质是解决本题的关键.7. -3【分析】根据已知得到y = 2x,代入所求式子中计算即可.【详解】y = 2x 9x-y x-2x -x故答案为：-3.【点睛】本题考查了求分式的值，利用已知得到y = 2x后再整体代入是解题的关键.1 一8. +Z?【

14、分析】 去括号，合并同类向量即可解得.【详解】【点睛】本题考查了向量的线性运算，属于基础题.9. 14【分析】根据cos45o=<! , sin60°=代入运算即可.【详解】4故答案为:【点睛】此题考査了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三 角函数值.10. 5:4【分析】根据相似三角形的性质可直接得岀结论.【详解】解：两个相似三角形的对应中线的比为5： 4,其相似比为5： 4,这两个相似三角形的周长的比为5： 4.故答案为:5： 4.【点睛】本题考査了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的 关键.11 y =

15、2x2 一 4【分析】 函数图象上下平移时，根拯“上加下减“求解即可.【详解】抛物线y = 2x2-1向下平移3个单位后表达式为：y = 2x2-l-3 = 2x2-4, 故答案为：y = 2x2-4.【点睛】本题考査函数图象平移，熟记平移法则是解题关键.12. 25【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股左理求解即可.【详解】解：设垂直高度下降了 x米，则水平前进了/x米.根据勾股泄理可得：X2+ （筋X）2=52.解得x=25,即它距离地而的垂直高度下降了 25米.【点睹】此题考査三角函数的应用关键是熟悉且会灵活应用公式：uma （坡度）=垂直高度十水平宽 度，综合利用了勾股世理.1

16、3. >【分析】把点A、B的坐标分別代入已知抛物线解析式，并分别求得”与儿的值，然后比较它们的 大小即可.【详解】抛物线 y = x2 - 2x+c 经过点 A（-l, yj 和 B（2/2），:.开=3 + c, y2 = c ,处一力=3>°,故答案为：>.答案第6页总21贞【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数关 系式.14. 15【分析】根据平行线分线段成比例定理列岀比例式首先求得CF的长，再求得DC的长.【详解】解：:AC/EF/BD, CF=6,AE _CF _2BE _ DF _ 3 *DF=9,.CD=

17、DF+CF=9+6=15.故答案是：15.【点睛】本题考査了平行线分线段成比例左理和比例的基本性质，解题的关键是注意数形结合思想的 应用.15. 12【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x=-3时的函数值与x=5时的函数值相同.【详解】由图表数据可知，抛物线的对称轴为：x=l且 f (-3) =f (5) =12.故答案为12.【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解 题的关键.16. V13【分析】先延长BG交AC与点D,再根据重心的性质得岀BD=3； iiEAADG= ACDG,得出BD丄AC, 再利用勾股左理求出AB的长.【详解】

18、解：（如图）延长BG交AC与点D,:.AD=CD, BD=3,又AG=CG, GD=GD, SADG = CDG、:.ZADG=ZCDG,BD 丄 AC,VAC=49AD=2,:AB=Qad2 +BD? =a/22 4-32 =713 »故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，三角形全等和勾股立理，正确做岀辅助线，求岀BD、 AD的长以及证明SADG=SCDG是解决本题的关键.17. 墮5【分析】由折叠的性质可得RtABCD = RtBED,由矩形的性质可证明RtADAB = RtABCD,故 可得RtADAB = RtBED,再证明RlABCDRl'CDF求得CD

19、=2,在RtMEF中由勾 股左理可得解.【详解】解：四边形ABCD是矩形，ABED是由aBCD翻折得到，RtABCD = RtBED, CELBD,答案第8页，总21贞A AD = BC = 4. AB = CD = ED,.四边形ABCD是矩形，AAD=BC> AB=CD,又 BD=DB RM)AB = RlABCD RtADAB = RtBEDAB = ED, ZABD = ZEDB.四边形ABDE是等腰梯形，: CE丄 BD, AE/BDCE 丄 AE, Z EAD = ZADB = ZDBC'：Z DBC + ZFCB = 90°, ZFBC + ZFCD =

20、90°:ZDBC = ZFCD RtBCD RtCDFCD BC CD 4:CD = 2或2 (舍去)CD 21BC 42在 R3CB 中，tanZDBC = =：ZEAD = ADBC:.tan ZEAD =2在 RtAEF 中，EF = -AE2由勾股泄理得，ae2 = af2-ef2即 AE2 =(AD-FD)2 一(-AE)2 AE2=(4-1)2-AE2故答約寒【点睛】本题考査了矩形的性质、解直角三角形，勾股左理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称 变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位宜变化，对应边和对应角相等.4【分析】根据相似三角形的判左及性质可得BC,

21、 ZACB = ZCAD.继而可证BCIIAD ,根据等腰1 3三角形三线合一性质可得CF=BF=_BC=1, AE = -f ZAFC=ZFAE=90%继而在2 4©AFC中，根据勾股左理可得AF,继而在RtA AEF中，由勾股泄理即可求解.【详解】解：AC, DA = DCJ ABCs/XmcA AC2 = BC -AD 9 ZACB = ZCAD3AB = AC = /3 , AD = CD = BC = 2又 ZACB = ACAD, BCIIAD,VAB=AC又点£、点F分別是边AD,边BC上的中点.13AF丄BC, AF丄AD, CF=BF= BC=1, AE

22、= -,即 ZAFC=ZFAE=90°,在RtA AFC中，由勾股定理,得:在RtA AEF中，由勾股左理，得:答案第10页总21页【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、勾股左理的应用，解题的关键是 求岀综合利用所学知识求得BC, AF的长度.19. (1) y = -l(A + l)2+4； (2)开口向下，顶点(-1,4),对称轴直线x = -, ©I 时，y随x增大而增大：x>i时，y随增大而减小.【分析】(1) 根据配方法，先提取然后配成完全平方式，整理即可:2(2) 根拯a是负数以及顶点式解析式分别求解即可.【详解】解:(l)y = -

23、+(十 +2.丫) + £ =-扣+ 1)'+4(2)二次函数开口方向向下, 顶点坐标(1,4),对称轴直线x = -l, xs-i时，y随x增大而增大：x>-i时，y随*增大而减小.【点睹】本题考査化一般式为顶点式和二次函数的性质.熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式 写岀对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键.2 1一 2 2 -20. (1) BO = a 一b ； (2)见解析，CO = b + a3 333【分析】2(1) 首先证明BO = -BE9求出班即可求解：2(2) 证明CO = CA9求出鬲即可解决问题.【详解】解(1) AD/BC .OE _AE&#

24、39;BOBC22:.BO = BE3.Bd = -BE = -(BA + AE)= -(a-b = -a-b;33312 J 33(2) VAE/BC,.AO _ AE _ 1'cdCB2'2:.CO = -CA93：.Cd = -CA = -(CB + BA = -(b + a = -b + -a33、丿 3、丿 33如图所示，帀在CB. CD上的分向虽分别为cW和丽.本题考査作图一复杂作图，平行线的性质、平而向量等知识，解题的关键是正确理解题意, 灵活运用所学知识点.21（1）见解析：（2）迺3【分析】AF An Ap（1）由平行线分线段成比例，得到卞= k =即可得到D

25、F/BE:EC BD FEDE（2）根据题意，由相似三角形的判加左理，先证明 ADE sMEB 即可求出乔 的值.BE【详解】证明：（1） DE/BC.AE AD云一而,AF_AE' FEEC'.AD _AF''bdfe' DF/BE:（2）AF=2, EF=4, AB = 6®AD AF 2 I而一旋一才一丁AD = 2苗，BD = 4>/3 , AE=AF+EF=6, AD _2书忑 AE _ 6 _卡旋一一 '.AD AE =,AE AB又 ZA = ZA，厶ADE sMEB , DE AE *., =, =, ;BE AB

26、 3【点睛】本题考査了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例.解题的关键是利用平行线得岀 相似三角形及比例，从而进行解题.22. 2.6【分析】延长BC交AD于点E,构造直角aABE和矩形EDNC,设AEn米，通过解直角三角形分 别求岀BE、CE的长度，继而求出BC,进而可得关于x的方程，解方程求得X,即AE,继 而即可求解.【详解】解：延长BC交AD于点E,VBM=CN 且 CN丄DM, BM丄DM.-.BM/7CN,四边形BCNM是平行四边形，VZCNM=ZBMN = 90°.四边形BCNM是矩形,同理：四边形CEDN是矩形.DE=CN = BM=16 米ZAEC = 90&

27、#176;VBC = MN,设AE=x米,皿=击 tan30o=AEBE答案第16页，总21页xxCE=-=0.75心 BE = :=1.73 tan53°tan30°.BC=BE-CE=1.73x-0.75A=0.98xf又 MN=0.98,Z. 0.98x=0.98, .x=l,即AE=1米VDE=CN = BM=1.6 米AE+DE= 1 + 1.6=2.6 米答：测温门顶部A处距地而的髙度约为2.6米.【点睛】本题考査解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到矩形的判左及其性质解题的关键是做 辅助线构造直角三角形并解直角三角形.23. (1)见解析：(2)见解析【分析

28、】(1)先证ZACH = ZB再证ZAEC = ZADB,利用相似三角形的判左求解即可：(2)根据同髙的三角形的面积比等于底边的比，得出严-=斗彳和售也=箸，再根 S皿AQ s圖BDACE-AABD,得出结果.【详解】证明(1) V ZACB=90°, CH丄AB,AZCHA=90°=ZACB, Z ACH+ ZCAH= Z CBH+ ZC AH,. ZACH = ZB，：CE = CD, ZCED = ZCDE, Z CED+ Z AEC= ZCDE+ Z ADB=180°,. ZAEC = ZADB,： aACEsaBD :(2) ACE 与 ACD 同髙，.

29、S皿 _He ADfVAACD fejA ABD 同高， S nd _ CDSqABD BDVCD=CE,CEVAACEAABD, AE _CE 'ADBD ' S"CE _ S"CDsACD的而积是厶ACE的而积与厶ABD的而积的比例中项.【点睛】本题考査了相似三角形的判立与性质.解题的关键是掌握相似三角形的判左与性质.24-）一£宀討+ 2(2)+ :Q【分析】（1）根据点4, B的坐标利用待左系数法即可求出抛物线的表达式：（2）根据（1）中所求抛物线表达式，可以得到点3、C、D的坐标，根据坐标系中两 点间距离公式求岀DB、BC、DC的值，证明

30、三角形为直角三角形，进而求出colZDCB 的值：过C作轴的平行线，过D作）'轴平行线交于根据平行线的性质推导出ZDCH = ZCBO,从而得岀三角形相似，利用相似比求出点D的坐标.【详解】（1）将 A（3,6）、B（6,0）代入 ywF+bx+2,®a_3b + 2 = -6得，36。+ 6/? + 2 = 0解得:抛物线的表达式为y = -x2+-x+2；(2) ®当兀=2时，y = -x22+-x2 + 2 = 4,_33当x=0时，$=2,.D(2,4), C(0,2), B(6,0), DB = J(2 6尸 + (4 0)2 = 4近,BC = 7(6-

31、O)2+(O-2)2 = 2 何DC = J(2_ 0尸+(4 2尸=2 迈,BD + CD2 = BC2，.BDC为直角三角形，其中ZD = 90。，DC cot ZDCB =-DB答案第20页总21页过C作X轴的平行线， 过d作y轴平行线交于h，设点D坐标为（，则H(”2)1 . 5 DH =nr +-in ,33 ZDCB = 2ZCBO = 2ZBCH = 2ADCH , ZDCH = ZCBO,.ZCHD = ZBOC = %。、：./CHDHBOC.OC = 2,OB = 6, DH 二 CO _ * CH 3*1 , 5 _nr +-m i-33,1m 3解得：m = 4 , m = 0 (舍),【点睛】本题考查了待左系数法求二次函数解析式、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距离公式、 余切三角函数、平行线的性质、相似三角形的判左、相似比等，解答本题的关键是熟练运用 这些知识点并根据已知条件做好辅助线.4225. （1） 20：（2） y = - + 4（2>/2 <x<4）：（3） AD = 2丘或20644 v'【分析】（1）运用ASA证明 AME = ADFE求出FD的长再运用三角形而积公式即可得到答案：（2）证明阳A/sZWZC,根据相似