《自动控制原理》---丁红主编---第四章习题答案

1、4.1 C4.2 B4.3 AD4.44.5解：由题目可知，本系统的闭环特征方程式如下即解之得令，易得，将其代入的表达式可得即复数根轨迹部分是以为圆心，为半径的一个圆。4.6 解：因为特征方程为：所以令得：非零实数分离点应满足：虽然，要使根轨迹只有一个非零分离点，必须有：解得：。当时得：渐近线与实轴交于；渐进线与实轴的夹角为：，；分离点为-3.根轨迹如下图所示。当时，例如，求得：根轨迹起于0，0，-10；根轨迹终止于-1和无穷远点；根轨迹的渐近线与实轴交于-4.5；根轨迹的渐近线与实轴的夹角为，；实轴上根轨迹区间为：-10,-1；根轨迹的分离点为：-2.5，-4。系统的根轨迹如下图所示当时，例

2、如，求得：渐近线与实轴的交点为：-2；渐近线与实轴的夹角为：，；根轨迹没有非零分离点。根轨迹如图所示：由上述分析可知：时，根轨迹有一个非零实数分离点；时，根轨迹有两个非零实数分离点；时，根轨迹没有非零实数分离点。4.7 解：（1）负反馈系统开环极点0，0，2，-4为根轨迹的起点；开环有限零点-1，3条根轨迹趋于无穷远处；实轴上的区间，有限轨迹；渐近线与实轴的交点：；渐近线与实轴的夹角：，；渐近线与虚轴的交点：由闭环特征方程：得： 1 8 6 0 0 0 0 由解得：或者辅助方程：将代入，求得：根据上述的分析，可绘制负反馈系统的根轨迹如图所示（2）正反馈系统4个开环极点0，0，-2，-4为根轨迹

3、的起点；1个有点零点，3条根轨迹趋于无穷远处；渐近线与实轴的交点：；渐近线与实轴的夹角：，；分离点的计算：令，求得分离点在-3.08和0处。根轨迹如下图所示：由图可以看出：负反馈系统在时是稳定的； 当时，正反馈系统恒不稳定。4.8解：，；根轨迹分离点，对应的；与虚轴的交点为，对应的，根轨迹如图所示。设复极点为根据阻尼比要求先试凑的取，得，此时，因为，不满足相角条件，因此要使加大，使s与开环极点形成的角度加大。取，得，此时。因此共轭复极点为，此时。运用长除法得另一极点为，因为，所以可认为是系统的主导极点。系统的闭环传递函数可近似地表示为：可以近似地运用典型二阶系统估算系统的时域性能指标：超调量：

4、调节时间：4.9解：由题意可知，系统开环传递函数为其中，。系统的开环增益为。1.系统有3个开环极点，；2个开环零点，；2.根轨迹有3条分支，这三条根轨迹分别起始于开环极点，两条终止于开环零点，还有一条终止于无穷远处；3.实轴上的根轨迹为，；4.渐近线为：；5分离点由解之得：，（舍去）；根据幅值方程可得：，；6.与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：劳斯矩阵如下： 1 当根轨迹和虚轴有交点时，即：，此时的辅助方程如下:解之得：根据以上分析，绘制系统的根轨迹，如图所示。（1）由根轨迹可知，系统稳定的开环放大倍数范围为；（2）系统阶跃响应含振荡分量的开环放大倍数的范围为；（3）系统阶跃响应呈单调形式变

5、化时开环放大倍数的范围为。4.10 解：先列出系统的幅值条件如下当时利用试凑法可得：满足次幅值条件。系统的闭环特征方程式为：又已知为特征方程式的一个跟，则可得解之得：所以，系统的闭环特征根为，。4.11解：开环传递函数特征方程式为：整理后的特征方程式为：此特征方程式的根轨迹，由的极点出发，其极点是的根。因此，的根轨迹由的根轨迹（见图）在时对应点出发。由图可知，出发点为与-3. 的根轨迹分成3条，其中一条朝向坐标原点，其余2条趋向去穷远处。其渐进线为：，。根据以上分析可得根轨迹如图所示。4.12解：由图知，该系统是一个正反馈控制系统，其根轨迹为零度根轨迹。该系统的开环传递函数为根据绘制零度根轨迹

6、图的法则可得（1），即根轨迹有2条分支；（2）2条根轨迹的起点分别为：，；2条根轨迹的终点分别为：，；（3）实轴上的根轨迹为。根据以上分析，可以绘制该系统的零度根轨迹如图所示。4.13解：闭环系统特征方程为：因为，则，等效的开环传递函数为则开环零点有3个：，开环极点有2个：。根据根轨迹的规则，可知：（1），有3条根轨迹。起始于开环有限极点，和无限远极点，终于开环零点，和，实轴上的根轨迹为和（2）求分离点坐标由上式解得：，（3）求与虚轴的交点闭环系统的特征方程为将代入，解得：，。4.14解：（1）由于本题给出的开环传递函数并非标准型，故需写出等效的开环传递函数，由题意，已知单位负反馈系统的开环传

7、递函数，可得到系统的闭环特征方程为：整理后得：两边同时除以，得系统的等效开环传递函数为则开环零点有2个：，开环极点有2个：。根据根轨迹的规则，可知：（1），有2条根轨迹。起始于开环有限极点和，终于开环零点和，实轴上的根轨迹为（2）求分离点坐标由上式解得：由根轨迹的幅值条件，可得分离点对应的根轨迹增益为（3）求与虚轴的交点闭环系统的特征方程为，列出劳斯矩阵如下 0 0当时，有全零解，即时，根轨迹与虚轴相交，将代入全零行的上一行，得，解出交点为（2）由，得系统为欠阻尼系统，根据欠阻尼系统的瞬态性能指标，可得：当时，阻尼角，由，阻尼角，由得：，即，由于系统的特征值为，若要求，即要求系统的共轭特征根的

8、实部<-2，而根轨迹的分离点在处，故不能同时满足，的要求。4.15 解（1）取，则系统的开环传递函数为（型），且闭环系统稳定所以，系统跟踪斜坡参考输入信号时，常值；（2）因为，所以为阶跃信号；（3）已知：若取则所以（4）设另一个闭环极点为则因为可构成一对闭环偶极子，可忽略。所以是一对主导极点简化后的闭环传函为：4.16 解num=1,2,4;den=conv(1,0,conv(1,4,conv(1,6,1,1.4,1);rlocus(num,den),axis(-10,2,-6,6); K,poles=rlocfind(num,den)Select a point in the grap

9、hics windowselected_point = 0.0000 +1.2115iK= 15.5589poles = 0.0000 + 1.2115i 0.0000 1.2115i使用同样的方法可得相应的与虚轴交点的值K,poles=rlocfind(num,den);Select a point in the graphics windowselected_point = 0.0000 +2.1545iK= 67.7351poles = 0.0000 +2.1545i 0.0000 2.1545iK,poles=rlocfind(num,den);Select a point in th

10、e graphics windowselected_point = 0.0000 +3.7538iK= 1.6345e+002poles = 0.0000 + 3.7538i 0.0000 3.7538i参看根轨迹图可知，系统稳定性范围是或。4.17解num=1;den=conv(1,0,conv(1,4,conv(1,0,4,conv(1,4,8,1,8,20);rlocus(num,den),axis(-6,2,-4,4); num0=1000;den0=conv(1,0,conv(1,4,conv(1,0,4,conv(1,4,8,1,8,20);numc,denc=cloop(num0

11、,den0);t=0:0.1:50;y,x,t=step(numc,denc,t);plot(t,y)M=(max(y)-1)/1)*100;disp('最大超调量M=' num2str(M) '%')最大超调量M=11.1368%4.18解：系统的开环传递函数为：整理后得等效开环传递函数为：（1）MATLAB程序如下：num=10,0;den= 1,5,0,10;rlocus(num,den)(2)当时，系统（a）的闭环传递函数为num0=100,10;den0=conv(1,0,conv(1,0,1,5);numa,dena=cloop(num0,den0)

12、printsys(numa,dena)执行结果为：num/den = 100 s + 10 - s3 + 5 s2 + 100 s + 10系统（a）的闭环极点为sa=roots(dena)执行结果为：sa = -2.4498 + 9.6699i -2.4498 - 9.6699i -0.1005即系统(a)的闭环极点为：，系统（b）的闭环传递函数为numg=10;deng= conv(1,0,conv(1,0,1,5);numh=1,1;denh=0,1;numb,denb=feedback(numg,deng,numh,denh)printsys(numb,denb)执行结果为：num/den = 10 - s3 + 5 s2 + 10 s + 10sb=roots(denb)执行结果为：sb = -2.6506 -1.1747 + 1.5469i -1.1